Número de Markov

Solución para x² + y² + z² = 3xyz

Un  número de Markov o número de Markoff es un entero positivo x , y o z que es parte de una solución a la ecuación diofántica de Markov.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

estudiado por Andrey Markoff  (1879, 1880).

Los primeros números de Markov son

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (secuencia A002559 en la OEIS )

apareciendo como coordenadas de las tripletas de Markov

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), ...

Hay infinitos números de Markov y triples de Markov.

Árbol de Markov

Los primeros niveles del árbol de números de Markov

Hay dos formas sencillas de obtener una nueva terna de Markov a partir de una antigua ( x ,  y ,  z ). En primer lugar, se pueden permutar los 3 números x , y , z , de modo que en particular se pueden normalizar las ternas de modo que x  ≤  y  ≤  z . En segundo lugar, si ( x ,  y ,  z ) es una terna de Markov entonces también lo es ( x ,  y , 3 xy  −  z ). Al aplicar esta operación dos veces se obtiene la misma terna con la que se empezó. Al unir cada terna de Markov normalizada a las 1, 2 o 3 ternas normalizadas que se pueden obtener a partir de esto se obtiene un grafo que comienza en (1,1,1) como en el diagrama. Este grafo está conexo ; en otras palabras, cada terna de Markov se puede conectar a (1,1,1) mediante una secuencia de estas operaciones. ^[1] Si uno comienza, por ejemplo, con (1, 5, 13) obtenemos sus tres vecinos (5, 13, 194) , (1, 13, 34) y (1, 2, 5) en el árbol de Markov si z se establece en 1, 5 y 13, respectivamente. Por ejemplo, comenzando con (1, 1, 2) e intercambiando y y z antes de cada iteración de la transformación, se obtienen triples de Markov con números de Fibonacci . Comenzando con ese mismo triplete e intercambiando x y z antes de cada iteración, se obtienen los triples con números de Pell .

Todos los números de Markov en las regiones adyacentes a la región de 2 son números de Pell de índice impar (o números n tales que 2 n ²  − 1 es un cuadrado , OEIS : A001653 ), y todos los números de Markov en las regiones adyacentes a la región de 1 son números de Fibonacci de índice impar ( OEIS : A001519 ). Por lo tanto, hay infinitos triples de Markov de la forma

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

donde F _k es el k- ésimo número de Fibonacci . Asimismo, existen infinitos triples de Markov de la forma

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

donde P _k es el k- ésimo número de Pell . ^[2]

Otras propiedades

Aparte de los dos triples singulares más pequeños (1, 1, 1) y (1, 1, 2), cada triple de Markov consta de tres números enteros distintos. ^[3]

La conjetura de unicidad , como señaló Frobenius en 1913, ^[4] establece que para un número de Markov dado c , hay exactamente una solución normalizada que tiene c como su elemento más grande: se han afirmado pruebas de esta conjetura , pero ninguna parece ser correcta. ^[5] Martin Aigner ^[6] examina varias variantes más débiles de la conjetura de unicidad. Su conjetura del numerador fijo fue demostrada por Rabideau y Schiffler en 2020, ^[7] mientras que la conjetura del denominador fijo y la conjetura de la suma fija fueron demostradas por Lee, Li, Rabideau y Schiffler en 2023. ^[8]

Ninguno de los divisores primos de un número de Markov es congruente con 3 módulo 4, lo que implica que un número de Markov impar es 1 más que un múltiplo de 4. ^[9] Además, si es un número de Markov entonces ninguno de los divisores primos de es congruente con 3 módulo 4. Un número de Markov par es 2 más que un múltiplo de 32. ^[10] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 9m^{2}-4}$

En su artículo de 1982, Don Zagier conjeturó que el n -ésimo número de Markov está dado asintóticamente por

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523414972\ldots \,.}$

El error se representa gráficamente a continuación. ${\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$

Error en la aproximación de números grandes de Markov

Además, señaló que , una aproximación de la ecuación diofántica original, es equivalente a con f ( t ) = arcosh (3 t /2). ^[11] La conjetura fue demostrada ^{[ disputada – discutida ]} por Greg McShane e Igor Rivin en 1995 utilizando técnicas de geometría hiperbólica . ^[12] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$ ${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$

El n -ésimo número de Lagrange se puede calcular a partir del n -ésimo número de Markov con la fórmula

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

Los números de Markov son sumas de pares de cuadrados (no únicos).

Teorema de Markov

Markoff (1879, 1880) demostró que si

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

es una forma cuadrática binaria indefinida con coeficientes reales y discriminante , entonces hay números enteros x ,  y para los cuales f toma un valor distinto de cero de valor absoluto como máximo ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

a menos que f sea una forma de Markov : ^[13] una constante multiplicada por una forma

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

de tal manera que

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}$

donde ( p ,  q ,  r ) es un triple de Markov.

Matrices

Sea tr la función traza sobre las matrices . Si X e Y están en SL ₂ ( ), entonces ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

Así que si entonces ${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

En particular, si X e Y también tienen entradas enteras, entonces tr( X )/3, tr( Y )/3 y tr( XY )/3 son una terna de Markov. Si X ⋅ Y ⋅ Z  =  I entonces tr( XtY ) = tr( Z ), por lo que, de manera más simétrica, si X , Y y Z están en SL ₂ ( ) con X ⋅ Y ⋅ Z  = I y el conmutador de dos de ellos tiene traza −2, entonces sus trazas/3 son una terna de Markov. ^[14] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Véase también

• Espectro de Markov

Notas

1. Cassels (1957) pág. 28
2. OEIS : A030452 enumera los números de Markov que aparecen en soluciones donde uno de los otros dos términos es 5.
3. Cassels (1957) pág. 27
4. Frobenius, G. (1913). "Über die Markoffschen Zahlen". SB Preuss Akad. Wiss. : 458–487.
5. Guy (2004) pág. 263
6. Aigner (2013)
7. Rabideau, Michelle; Schiffler, Ralf (2020). "Fracciones continuas y ordenamientos en los números de Markov". Avances en Matemáticas . 370 : 107231. arXiv : 1801.07155 . doi :10.1016/j.aim.2020.107231.
8. Lee, Kyungyong; Li, Li; Rabideau, Michelle; Schiffler, Ralf (2023). "Sobre el ordenamiento de los números de Markov". Avances en Matemáticas Aplicadas . 143 : 102453. doi : 10.1016/j.aam.2022.102453 .
9. Aigner (2013) pág. 55
10. Zhang, Ying (2007). "Congruencia y unicidad de ciertos números de Markov". Acta Arithmetica . 128 (3): 295–301. arXiv : math/0612620 . Código Bibliográfico :2007AcAri.128..295Z. doi :10.4064/aa128-3-7. MR  2313995. S2CID  9615526.
11. Zagier, Don B. (1982). "Sobre la cantidad de números de Markoff por debajo de un límite dado". Matemáticas de la computación . 160 (160): 709–723. doi : 10.2307/2007348 . JSTOR  2007348. MR  0669663.
12. Greg McShane; Ígor Rivin (1995). "Curvas simples sobre toros hiperbólicos". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie I. 320 (12).
13. Cassels (1957) pág. 39
14. Aigner (2013) Capítulo 4, "El árbol de Cohn", págs. 63-77

Referencias

• Aigner, Martin (29 de julio de 2013). El teorema de Markov y 100 años de la conjetura de unicidad: un viaje matemático desde los números irracionales hasta las correspondencias perfectas . Cham Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5.Sr. 3098784  .
• Cassels, JWS (1957). Introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press . Zbl  0077.04801.
• Cusick, Thomas; Flahive, Mary (1989). Los espectros de Markoff y Lagrange . Encuestas y monografías de matemáticas. Vol. 30. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-1531-8.Zbl 0685.10023  .
• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números . Springer-Verlag . Págs. 263-265. ISBN. 0-387-20860-7.Zbl 1058.11001  .
• Malyshev, AV (2001) [1994], "Problema del espectro de Markov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Annalen Matemáticas . Springer Berlín/Heidelberg. ISSN  0025-5831.

Markoff, A. (1879). "Primera memoria". Annalen Matemáticas . 15 (3–4): 381–406. doi :10.1007/BF02086269. S2CID  179177894.

Markoff, A. (1880). "Segunda memoria". Annalen Matemáticas . 17 (3): 379–399. doi :10.1007/BF01446234. S2CID  121616054.