Primera conjetura de Hardy-Littlewood

Conjetura sin respuesta en la teoría de números

En teoría de números , la primera conjetura de Hardy-Littlewood ^[1] enuncia la fórmula asintótica para el número de k-tuplas primos menores que una magnitud dada generalizando el teorema de los números primos . Fue propuesta por primera vez por GH Hardy y John Edensor Littlewood en 1923. ^[2]

Declaración

Sean números enteros positivos pares tales que los números de la secuencia no formen una clase de residuo completa con respecto a ningún primo y denotemos el número de primos menores que st. son todos primos. Entonces ^{[1] [3]} ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ ${\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})}$ ${\displaystyle \pi _{P}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}}$

${\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},}$

dónde

${\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}}$

es un producto de primos impares y denota el número de residuos distintos de módulo . ${\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}$ ${\displaystyle 0,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ ${\displaystyle q}$

El caso y está relacionado con la conjetura de los primos gemelos . Específicamente, si denota el número de primos gemelos menores que n , entonces ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle m_{1}=2}$ ${\displaystyle \pi _{2}(n)}$

${\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},}$

dónde

${\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots }$

es la constante gemela prima. ^[3]

Número de Skewes

Los números de Skewes para k -tuplas primos son una extensión de la definición del número de Skewes para k -tuplas primos basada en la primera conjetura de Hardy-Littlewood. El primer primo p que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la k -tupla P , es decir, tal que

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(si tal primo existe) es el número de Skewes para P . ^[3]

Consecuencias

Se ha demostrado que la conjetura es inconsistente con la segunda conjetura de Hardy-Littlewood . ^[4]

Generalizaciones

La conjetura de Bateman-Horn generaliza la primera conjetura de Hardy-Littlewood a polinomios de grado mayor que 1. ^[1]

Notas

1. Aletheia-Zomlefer, Fukshansky y García 2020.
2. Hardy, GH ; Littlewood, JE (1923). "Algunos problemas de 'Partitio Numerorum'. III. Sobre la expresión de un número como suma de primos". Acta Math. 44 (44): 1–70. doi : 10.1007/BF02403921 ..
3. Tóth 2019.
4. Richards, Ian (1974). "Sobre la incompatibilidad de dos conjeturas concernientes a los números primos". Bull. Amer. Math. Soc . 80 : 419–438. doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13434-8 .

Referencias

• Aletheia-Zomlefer, Soren Laing; Fukshansky, Lenny; Garcia, Stephan Ramon (2020). "La conjetura de Bateman–Horn: heurística, historia y aplicaciones". Expositiones Mathematicae . 38 (4): 430–479. doi : 10.1016/j.exmath.2019.04.005 . ISSN  0723-0869.
• Tóth, László (enero de 2019). "Sobre la densidad asintótica de k-tuplas primos y una conjetura de Hardy y Littlewood". Métodos computacionales en ciencia y tecnología . 25 : 143–138. arXiv : 1910.02636 . doi :10.12921/cmst.2019.0000033.