En la filosofía de las matemáticas , el término preintuicionista es el que dio LEJ Brouwer a varios matemáticos influyentes que compartían opiniones similares sobre la naturaleza de las matemáticas. El término fue introducido por Brouwer en sus conferencias de 1951 en Cambridge , donde describió las diferencias entre su filosofía del intuicionismo y sus predecesores: [1]
De orientación totalmente diferente [de la "vieja escuela formalista" de Dedekind , Cantor , Peano , Zermelo y Couturat , etc.] fue la escuela preintuicionista, dirigida principalmente por Poincaré , Borel y Lebesgue . Estos pensadores parecen haber mantenido un punto de vista observacional modificado para la introducción de los números naturales , para el principio de inducción completa [...] Para éstos, incluso para los teoremas deducidos por medio de la lógica clásica, postularon una existencia y exactitud independientes del lenguaje y la lógica y consideraron su no contradicción como cierta, incluso sin prueba lógica. Para el continuo, sin embargo, no parecen haber buscado un origen estrictamente ajeno al lenguaje y la lógica.
Los preintuicionistas, tal como los definió LEJ Brouwer , se diferenciaban del punto de vista formalista en varios aspectos, [1] en particular en lo que respecta a la introducción de los números naturales, o cómo se definen/denotan los números naturales. Para Poincaré , la definición de una entidad matemática es la construcción de la entidad en sí misma y no una expresión de una esencia o existencia subyacente.
Esto quiere decir que ningún objeto matemático existe sin la construcción humana del mismo, tanto en la mente como en el lenguaje.
Este sentido de definición permitió a Poincaré discutir con Bertrand Russell sobre la teoría axiomática de los números naturales de Giuseppe Peano .
El quinto axioma de Peano establece:
Este es el principio de inducción completa , que establece la propiedad de inducción como necesaria para el sistema. Puesto que el axioma de Peano es tan infinito como los números naturales , es difícil demostrar que la propiedad de P pertenece a cualquier x y también a x + 1. Lo que se puede hacer es decir que, si después de un cierto número n de ensayos que muestran que una propiedad P se conserva en x y x + 1, entonces podemos inferir que seguirá siendo verdadera después de n + 1 ensayos. Pero esto es en sí mismo inducción. Y, por lo tanto, el argumento plantea la cuestión .
A partir de esto Poincaré argumenta que si no logramos establecer la consistencia de los axiomas de Peano para los números naturales sin caer en la circularidad, entonces el principio de inducción completa no es demostrable mediante la lógica general .
Así, la aritmética y las matemáticas en general no son analíticas sino sintéticas . El logicismo queda así reprendido y la intuición se mantiene en pie. Lo que Poincaré y los preintuicionistas compartían era la percepción de una diferencia entre lógica y matemáticas que no es una cuestión de lenguaje únicamente, sino del conocimiento mismo.
Fue por esta afirmación, entre otras, que Poincaré fue considerado similar a los intuicionistas. Sin embargo, para Brouwer , los preintuicionistas no llegaron tan lejos como era necesario para desvincular las matemáticas de la metafísica, ya que seguían utilizando el principium tertii exclusi (la " ley del tercio excluido ").
El principio del tercio excluido conduce a algunas situaciones extrañas. Por ejemplo, afirmaciones sobre el futuro como "Mañana habrá una batalla naval" no parecen ser ni verdaderas ni falsas, pero ... Por lo tanto, hay dudas sobre si las afirmaciones deben ser verdaderas o falsas en algunas situaciones ... Para un intuicionista, esto parece clasificar la ley del tercio excluido como tan poco rigurosa como el círculo vicioso de Peano .
Sin embargo, para los preintuicionistas esto es mezclar manzanas con naranjas. Para ellos, las matemáticas eran una cosa (una invención confusa de la mente humana, es decir , sintética) y la lógica era otra (analítica).
Los ejemplos anteriores sólo incluyen las obras de Poincaré , y sin embargo Brouwer nombró también a otros matemáticos como preintuicionistas: Borel y Lebesgue . Otros matemáticos como Hermann Weyl (que finalmente se desencantó del intuicionismo, sintiendo que impone restricciones excesivas al progreso matemático) y Leopold Kronecker también desempeñaron un papel, aunque Brouwer no los cita en su discurso definitivo.
De hecho, Kronecker podría ser el más famoso de los preintuicionistas por su frase singular y frecuentemente citada: "Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra del hombre".
Kronecker va casi en la dirección opuesta a Poincaré, pues cree en los números naturales pero no en la ley del tercio excluido. Fue el primer matemático que expresó dudas sobre las pruebas de existencia no constructivas que afirman que algo debe existir porque se puede demostrar que es "imposible" que no exista.