Método predictor-corrector

En el análisis numérico , los métodos predictores-correctores pertenecen a una clase de algoritmos diseñados para integrar ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, para encontrar una función desconocida que satisfaga una ecuación diferencial dada. Todos estos algoritmos se desarrollan en dos pasos:

1. El paso inicial, de "predicción", parte de una función ajustada a los valores de la función y de la derivada en un conjunto de puntos anterior para extrapolar ("anticipar") el valor de esta función en un punto nuevo posterior.
2. El siguiente paso, "corrector", refina la aproximación inicial utilizando el valor predicho de la función y otro método para interpolar el valor de esa función desconocida en el mismo punto subsiguiente.

Métodos predictores-correctores para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

Al considerar la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) , un método predictor-corrector normalmente utiliza un método explícito para el paso predictor y un método implícito para el paso corrector.

Ejemplo: método de Euler con la regla del trapezoide

Se puede construir un método predictor-corrector simple (conocido como método de Heun ) a partir del método de Euler (un método explícito) y la regla trapezoidal (un método implícito).

Considere la ecuación diferencial

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},}$

y denotamos el tamaño del paso mediante . ${\displaystyle h}$

Primero, el paso del predictor: a partir del valor actual , calcule un valor de estimación inicial mediante el método de Euler, ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}).}$

A continuación, el paso corrector: mejorar la suposición inicial utilizando la regla trapezoidal,

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.}$

Ese valor se utiliza como el siguiente paso.

Modo PEC y modo PECE

Existen distintas variantes de un método predictor-corrector, según la frecuencia con la que se aplique el método corrector. El modo Predecir-Evaluar-Corregir-Evaluar (PECE) se refiere a la variante del ejemplo anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

También es posible evaluar la función f solo una vez por paso utilizando el método en modo Predecir-Evaluar-Corregir (PEC):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

Además, el paso del corrector se puede repetir con la esperanza de lograr una aproximación aún mejor a la solución verdadera. Si el método del corrector se ejecuta dos veces, se obtiene el modo PECECE:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )},\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}}$

El modo PECEC tiene una evaluación de función menos que el modo PECECE.

En términos más generales, si el corrector se ejecuta k veces, el método está en modo P(EC) ^k o P(EC) ^k E. Si el método corrector se itera hasta que converge, esto podría llamarse PE(CE) ^∞ . ^[1]

Véase también

• Fórmula de diferenciación hacia atrás
• Algoritmo de Beeman
• El método de Heun
• Método predictor-corrector de Mehrotra
• Continuación numérica

Notas

1. Carnicero 2003, pág. 104

Referencias

• Butcher, John C. (2003), Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-96758-3.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 17.6. Métodos de pasos múltiples, valores múltiples y predictores-correctores". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Métodos predictores-correctores". MathWorld .
• Métodos predictores-correctores para ecuaciones diferenciales