Precursor (física)

Fenómeno de onda de doble velocidad

Los precursores son patrones de onda característicos causados ​​por la dispersión de los componentes de frecuencia de un impulso a medida que se propaga a través de un medio. Clásicamente, los precursores preceden a la señal principal, aunque en ciertas situaciones también pueden seguirla. Los fenómenos de precursores existen para todos los tipos de ondas, ya que su aparición solo se basa en la prominencia de los efectos de dispersión en un modo dado de propagación de ondas. Esta falta de especificidad ha sido confirmada por la observación de patrones de precursores en diferentes tipos de radiación electromagnética ( microondas , ^[1] luz visible , ^[2] y radiación de terahercios ^[3] ) así como en ondas superficiales de fluidos ^[4] y ondas sísmicas . ^[5]

Historia

Los precursores fueron predichos teóricamente por primera vez en 1914 por Arnold Sommerfeld para el caso de la radiación electromagnética propagándose a través de un dieléctrico neutro en una región de dispersión normal. ^[6] El trabajo de Sommerfeld fue ampliado en los años siguientes por Léon Brillouin , quien aplicó la aproximación del punto de silla para calcular las integrales involucradas. ^[6] Sin embargo, no fue hasta 1969 que los precursores se confirmaron experimentalmente por primera vez para el caso de las microondas propagándose en una guía de ondas, ^[1] y gran parte del trabajo experimental de observación de precursores en otros tipos de ondas solo se ha realizado desde el año 2000. Este retraso experimental se debe principalmente al hecho de que en muchas situaciones, los precursores tienen una amplitud mucho menor que las señales que les dan lugar (una cifra de referencia dada por Brillouin es seis órdenes de magnitud menor). ^[6] Como resultado, las confirmaciones experimentales solo se pudieron hacer después de que la tecnología estuvo disponible para detectar precursores.

Teoría básica

Como fenómeno dispersivo, la amplitud a cualquier distancia y tiempo de una onda precursora que se propaga en una dimensión puede expresarse mediante la integral de Fourier.

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int {\hat {\zeta }}_{0}(\omega )\exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]d\omega }$

donde es la transformada de Fourier del impulso inicial y la exponencial compleja representa las ondículas componentes individuales sumadas en la integral. Para tener en cuenta los efectos de la dispersión, la fase de la exponencial debe incluir la relación de dispersión (aquí, el factor) para el medio particular en el que se propaga la onda. ${\displaystyle {\hat {\zeta }}_{0}(\omega )}$ ${\displaystyle \exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]}$ ${\displaystyle k(\omega )}$

La integral anterior solo se puede resolver en forma cerrada cuando se hacen suposiciones idealizadas sobre el impulso inicial y la relación de dispersión, como en la derivación de Sommerfeld que se muestra a continuación. En la mayoría de los casos realistas, se requiere integración numérica para calcular la integral.

Derivación de Sommerfeld para ondas electromagnéticas en un dieléctrico neutro

Suponiendo que el impulso inicial toma la forma de una sinusoide que se activa abruptamente en el momento , ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{rl}0&t<0\\\sin {\frac {2\pi t}{\tau }}&t\geq 0\end{array}}\right.,}$

entonces podemos escribir la integral en forma general dada en la sección anterior como

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int e^{-i(k(\omega )x-\omega t)}{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

Para simplificar, suponemos que las frecuencias involucradas están todas en un rango de dispersión normal para el medio, y dejamos que la relación de dispersión tome la forma

${\displaystyle k(\omega )={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}}$

donde , siendo el número de osciladores atómicos en el medio, y la carga y masa de cada uno, la frecuencia natural de los osciladores, y la permitividad del vacío . Esto produce la integral ${\displaystyle a^{2}={\frac {Nq^{2}}{m\epsilon _{0}\omega _{0}^{2}}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left(x{\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}-\omega t\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

Para resolver esta integral, primero expresamos el tiempo en términos del tiempo retardado , que es necesario para garantizar que la solución no viole la causalidad al propagarse más rápido que . También tratamos como grande e ignoramos el término en deferencia al término de segundo orden. Por último, sustituimos , obteniendo ${\displaystyle t'=t-{\frac {x}{c}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |\omega |}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\tau }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \xi ={\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{2c}}x}$

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left({\frac {\xi }{\omega }}+\omega t'\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

Reescribiendo esto como

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i{\sqrt {\xi t'}}\left({\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {\xi }{t'}}}+\omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

y haciendo las sustituciones

${\displaystyle \omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}=e^{ik},\qquad {\frac {d\omega }{\omega }}=idk,\qquad {\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}=i{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}e^{-ik}dk}$

permite transformar la integral en

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {i}{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\int \exp \left[-2i{\sqrt {\xi t'}}\cos k\right]e^{-ik}dk,}$

donde es simplemente una variable ficticia y, finalmente ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(\xi ,t')={\frac {2\pi }{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}J_{1}\left(2{\sqrt {\xi t'}}\right),}$

donde es una función de Bessel de primera especie. Esta solución, que es una función oscilatoria con amplitud y período que aumentan con el tiempo, es característica de un tipo particular de precursor conocido como precursor de Sommerfeld . ^[7] ${\displaystyle J_{1}}$

Análisis de períodos basado en la aproximación de la fase estacionaria

La aproximación de fase estacionaria se puede utilizar para analizar la forma de las ondas precursoras sin resolver la integral de forma general dada en la sección Teoría básica anterior. La aproximación de fase estacionaria establece que para cualquier velocidad de propagación de onda determinada a partir de cualquier distancia y tiempo , la frecuencia dominante del precursor es la frecuencia cuya velocidad de grupo es igual a : ${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \omega _{D}}$ ${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$

${\displaystyle v_{g}(\omega _{D})=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{\omega _{D}}={\frac {x}{t}}.}$

Por lo tanto, se puede determinar el período aproximado de una forma de onda precursora a una distancia y tiempo particulares calculando el período del componente de frecuencia que llegaría a esa distancia y tiempo en función de su velocidad de grupo. En una región de dispersión normal, los componentes de alta frecuencia tienen una velocidad de grupo más rápida que los de baja frecuencia, por lo que el frente del precursor debería tener un período correspondiente al del componente de frecuencia más alta del impulso original; a medida que aumenta el tiempo, llegan componentes con frecuencias cada vez más bajas, por lo que el período del precursor se hace cada vez más largo hasta que llega el componente de frecuencia más baja. A medida que llegan más y más componentes, también aumenta la amplitud del precursor. El tipo particular de precursor que se caracteriza por un período y una amplitud crecientes se conoce como precursor de Sommerfeld de alta frecuencia .

En una región de dispersión anómala, donde los componentes de baja frecuencia tienen velocidades de grupo más rápidas que los de alta frecuencia, ocurre lo opuesto a la situación anterior: el inicio del precursor se caracteriza por un período largo y el período de la señal disminuye con el tiempo. Este tipo de precursor se denomina precursor de Sommerfeld de baja frecuencia .

En ciertas situaciones de propagación de ondas (por ejemplo, ondas superficiales de fluidos), dos o más componentes de frecuencia pueden tener la misma velocidad de grupo para rangos de frecuencia particulares; esto suele ir acompañado de un extremo local en la curva de velocidad de grupo. Esto significa que para ciertos valores de tiempo y distancia, la forma de onda precursora consistirá en una superposición de precursores de Sommerfeld de baja y alta frecuencia. Cualquier extremo local solo corresponde a frecuencias individuales, por lo que en estos puntos habrá una contribución de una señal precursora con un período constante; esto se conoce como precursor de Brillouin .

Referencias

1. Pleshko, Peter; Palócz, István (2 de junio de 1969). "Observación experimental de precursores de Sommerfeld y Brillouin en el dominio de las microondas". Physical Review Letters . 22 (22). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1201–1204. doi :10.1103/physrevlett.22.1201. ISSN  0031-9007.
2. Aaviksoo, J.; Kuhl, J.; Ploog, K. (1991-11-01). "Observación de precursores ópticos en propagación de pulsos en GaAs". Physical Review A . 44 (9). American Physical Society (APS): R5353–R5356. doi :10.1103/physreva.44.r5353. ISSN  1050-2947.
3. Ni, Xiaohui; Alfano, RR (2006). "Propagación del precursor de Brillouin en la región de THz en medios de Lorentz". Optics Express . 14 (9). The Optical Society: 4188–4194. doi : 10.1364/oe.14.004188 . ISSN  1094-4087.
4. Falcon, Éric; Laroche, Claude; Fauve, Stéphan (7 de agosto de 2003). "Observación de precursores de Sommerfeld en una superficie fluida". Physical Review Letters . 91 (6). American Physical Society (APS): 064502. arXiv : physics/0307032 . doi :10.1103/physrevlett.91.064502. ISSN  0031-9007.
5. Rost, Sebastian; Garnero, Edward J.; Williams, Quentin; Manga, Michael (2005). "Restricciones sismológicas sobre una posible raíz de pluma en el límite núcleo-manto". Nature . 435 (7042). Springer Science and Business Media LLC: 666–669. doi :10.1038/nature03620. ISSN  0028-0836.
6. Véase L. Brillouin, Propagación de ondas y velocidad de grupo (Academic Press, Nueva York, NY, 1960), cap. 1.
7. Véase A. Sommerfeld, Lectures on Theoretical Physics (Academic Press, Nueva York, NY, 1950), Vol. 4, p. 88-101, para más detalles de esta derivación.