Precio de indiferencia

En finanzas , la fijación de precios de indiferencia es un método para fijar precios de valores financieros con respecto a una función de utilidad . El precio de indiferencia también se conoce como precio de reserva o valoración privada . En particular, el precio de indiferencia es el precio al que un agente tendría el mismo nivel de utilidad esperado al realizar una transacción financiera que al no hacerlo (en caso contrario, sería óptimo). Normalmente, el precio de indiferencia es un rango de precios (un diferencial entre oferta y demanda ) para un agente específico; este rango de precios es un ejemplo de límites de buen negocio . ^[1]

Matemáticas

Dada una función de utilidad y un reclamo con pagos conocidos en algún momento terminal, definamos la función por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C_{T}}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle V(x,k)=\sup _{X_{T}\in {\mathcal {A}}(x)}\mathbb {E} \left[u\left(X_{T}+kC_{T}\right)\right]}$,

donde es la dotación inicial, es el conjunto de todas las carteras autofinanciadas en el momento que comienza con la dotación y es el número del derecho a comprar (o vender). Entonces el precio de oferta de indiferencia para unidades de es la solución de y el precio de venta de indiferencia es la solución de . El límite del precio de indiferencia es el rango . ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(x)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v^{b}(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{T}}$ ${\displaystyle V(x-v^{b}(k),k)=V(x,0)}$ ${\displaystyle v^{a}(k)}$ ${\displaystyle V(x+v^{a}(k),-k)=V(x,0)}$ ${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$

Ejemplo

Considere un mercado con un activo libre de riesgo con y y un activo riesgoso con y cada uno con probabilidad . Deje que su función de utilidad esté dada por . Para encontrar el precio de indiferencia de oferta o demanda para una única opción de compra europea con ejercicio 110, primero calcule . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{0}=100}$ ${\displaystyle B_{T}=110}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{0}=100}$ ${\displaystyle S_{T}\in \{90,110,130\}}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle u(x)=1-\exp(-x/10)}$ ${\displaystyle V(x,0)}$

${\displaystyle V(x,0)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10x-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x+20\beta }{10}}\right)\right]\right]}$.

Que se maximiza cuando , por tanto . ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle V(x,0)=1-\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)}$

Ahora, para encontrar el precio de oferta de indiferencia, resuelva ${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)}$

${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x-v^{b}(1)}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}+C_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))+20\beta +20}{10}}\right)\right]\right]}$

Que se maximiza cuando , por tanto . ${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=1-{\frac {1}{3}}\exp(-1.10x/10)\exp(1.10v^{b}(1)/10)\left[1+2\exp(-1)\right]}$

Por lo tanto cuando . ${\displaystyle V(x,0)=V(x-v^{b}(1),1)}$ ${\displaystyle v^{b}(1)={\frac {10}{1.1}}\log \left({\frac {3}{1+2\exp(-1)}}\right)\approx 4.97}$

De manera similar, resuelva para encontrar el precio de venta de indiferencia. ${\displaystyle v^{a}(1)}$

Ver también

• Voluntad de pagar
• Voluntad de aceptar

Notas

• Si los precios de indiferencia son límites para un reclamo, entonces, por definición . ^[2] ${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$ ${\displaystyle v^{b}(k)=-v^{a}(-k)}$
• Si es el precio de oferta de indiferencia para un reclamo y son los precios de supercobertura y subcobertura respectivamente, entonces . Por tanto, en un mercado completo el precio de indiferencia es siempre igual al precio de cobertura del reclamo. ${\displaystyle v(k)}$ ${\displaystyle v^{sup}(k),v^{sub}(k)}$ ${\displaystyle v^{sub}(k)\leq v(k)\leq v^{sup}(k)}$

Referencias

1. John R. Birge (2008). Ingeniería financiera . Elsevier. págs. 521–524. ISBN 978-0-444-51781-4.
2. Carmona, René (2009). Precios de indiferencia: teoría y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-13883-1.