Poromecánica

Campo de estudio que combina física, mecánica y acústica.

La poromecánica es una rama de la física y, específicamente, de la mecánica de medios continuos que estudia el comportamiento de los medios porosos saturados de fluidos . ^[1] Un medio poroso o un material poroso es un sólido que constituye la matriz y que está permeado por una red interconectada de poros o huecos llenos de un fluido . En general, el fluido puede estar compuesto por fases líquidas o gaseosas o ambas. En el caso más simple, tanto la matriz sólida como el espacio poroso constituyen dos dominios separados y continuamente conectados. Un ejemplo arquetípico de un material poroso de este tipo es la esponja de cocina, que está formada por dos continuos interpenetrantes. Algunos medios porosos tienen una microestructura más compleja en la que, por ejemplo, el espacio poroso está desconectado. El espacio poroso que no puede intercambiar fluido con el exterior se denomina espacio poroso ocluido. Alternativamente, en el caso de los medios porosos granulares , la fase sólida puede constituir dominios desconectados, denominados "granos", que soportan carga bajo compresión, aunque pueden fluir cuando se cortan.

Fig. 1: Volumen elemental representativo de un medio poroso. Un medio poroso está compuesto por dominios fluidos y sólidos, que actúan juntos para describir el comportamiento mecánico del material.

Las sustancias naturales, incluidas las rocas , ^[2] los suelos , ^[3] los tejidos biológicos , incluido el corazón ^[4] y el hueso esponjoso , ^[5] y los materiales artificiales, como las espumas , la cerámica y el hormigón ^[6], pueden considerarse medios porosos. Los medios porosos cuya matriz sólida es elástica y el fluido es viscoso se denominan poroviscoelásticos. Un medio poroviscoelástico se caracteriza por su porosidad , permeabilidad y las propiedades de sus constituyentes: matriz sólida y fluido. La distribución de los poros, la presión del fluido y la tensión en la matriz sólida dan lugar al comportamiento viscoelástico del volumen. ^[7] Los medios porosos cuyo espacio poroso está lleno de una sola fase fluida, normalmente un líquido, se consideran saturados. Los medios porosos cuyo espacio poroso es solo parcialmente fluido son un fluido que se sabe que está insaturado.

El concepto de medio poroso surgió originalmente en la mecánica de suelos , y en particular en los trabajos de Karl von Terzaghi , el padre de la mecánica de suelos. ^[8] Sin embargo, un concepto más general de un medio poroelástico, independientemente de su naturaleza o aplicación, generalmente se atribuye a Maurice Anthony Biot (1905-1985), un ingeniero belga-estadounidense. En una serie de artículos publicados entre 1935 y 1962, Biot desarrolló la teoría de la poroelasticidad dinámica (ahora conocida como teoría de Biot) que da una descripción completa y general del comportamiento mecánico de un medio poroelástico. ^{[9] [10] [11] [12] [13]} Las ecuaciones de Biot de la teoría lineal de la poroelasticidad se derivan de las ecuaciones de elasticidad lineal para una matriz sólida, las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido viscoso y la ley de Darcy para un flujo de fluido a través de una matriz porosa.

Uno de los hallazgos clave de la teoría de la poroelasticidad es que en los medios poroelásticos existen tres tipos de ondas elásticas : una onda transversal y dos tipos de ondas longitudinales o de compresión, que Biot llamó ondas tipo I y tipo II. Las ondas transversales y longitudinales tipo I (o rápidas) son similares a las ondas transversales y longitudinales en un sólido elástico, respectivamente. La onda de compresión lenta (onda lenta de Biot) es exclusiva de los materiales poroelásticos. La predicción de la onda lenta de Biot generó controversia hasta que Thomas Plona la observó experimentalmente en 1980. ^[14] Otros importantes contribuyentes tempranos a la teoría de la poroelasticidad fueron Yakov Frenkel y Fritz Gassmann . ^{[15] [16] [17]}

La conversión de energía de ondas de compresión y de corte rápidas en ondas de compresión lentas altamente atenuantes es una causa importante de atenuación de ondas elásticas en medios porosos.

Las aplicaciones recientes de la poroelasticidad a la biología, como el modelado de los flujos sanguíneos a través del miocardio palpitante, también han requerido una extensión de las ecuaciones a la elasticidad no lineal (gran deformación) y la inclusión de fuerzas de inercia.

Teoría de la poromecánica

Descripciones de porosidad

La poromecánica relaciona la carga de las fases sólida y fluida dentro de un cuerpo poroso con la deformación del esqueleto sólido y el espacio poroso. En la figura 1 se muestra un volumen elemental (REV) representativo de un medio poroso y la superposición de los dominios del esqueleto y los poros conectados. Al rastrear la deformación del material, se debe tener cuidado de distribuir adecuadamente los subvolúmenes que corresponden a la matriz sólida y al espacio poroso. Para hacer esto, a menudo es conveniente introducir una porosidad , que mide la fracción del REV que constituye el espacio poroso. Para realizar un seguimiento de la porosidad en un volumen de material deformable, los mecánicos consideran dos descripciones, a saber: ^[1]

• La porosidad euleriana , , mide la porosidad con respecto a la configuración actual o deformada . En concreto, si representa un volumen infinitesimal en el cuerpo material deformado, entonces el volumen de poro se calcula a partir de . ${\displaystyle n(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V_{t}}$ ${\displaystyle n(\mathbf {x} )\mathrm {d} V_{t}}$
• La porosidad lagrangiana , , mide la porosidad con respecto a la configuración inicial o no deformada . En una descripción lagrangiana de la porosidad, el volumen de poro se mide por , donde representa un volumen infinitesimal del material en su estado no deformado. ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )\mathrm {d} V_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V_{0}}$

Las descripciones euleriana y lagrangiana de la porosidad se relacionan fácilmente al observar que

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=n(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} V_{t}}{\mathrm {d} V_{0}}}=J(\mathbf {x} )n(\mathbf {x} ),}$

donde es el jacobiano de la deformación siendo el gradiente de deformación . En una teoría de deformación linealizada de pequeña deformación, la relación de volumen se aproxima mediante , donde es la deformación infinitesimal por volumen . Otro descriptor útil del espacio poroso de REV es la relación de vacíos , que compara el volumen actual de los poros con el volumen actual de la matriz sólida. Como tal, la relación de vacíos toma una definición en un marco de referencia euleriano y se calcula como ${\displaystyle J=\det(\mathbf {F} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle J\simeq (1+\epsilon _{\mathrm {v} })}$ ${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {v} }}$

${\displaystyle e={\frac {n}{1-n}},}$

donde mide la fracción del volumen ocupado por el esqueleto sólido. ${\displaystyle 1-n}$

Cuando un elemento material de un medio poroso sufre una deformación, la porosidad cambia debido a i) la dilatación macroscópica observable del material y ii) la dilatación del volumen del esqueleto sólido del material. Esto último no se puede evaluar a partir de experimentos sobre la estructura en masa del material. El volumen del esqueleto sólido en un elemento material infinitesimal, que se denota por , está relacionado con los volúmenes totales del material deformado y no deformado por ${\displaystyle \mathrm {d} V_{t}^{\mathrm {s} }}$

${\displaystyle \mathrm {d} V_{t}^{\mathrm {s} }=(1-n)\mathrm {d} V_{t}=\mathrm {d} V_{t}-\phi \mathrm {d} V_{0}}$

donde la definición de la porosidad lagrangiana requiere además . Por lo tanto, bajo el supuesto de la teoría de la deformación infinitesimal, la deformación volumétrica total de un elemento material se puede separar en contribuciones de deformación de la matriz sólida y el espacio poroso de la siguiente manera: ${\displaystyle 1-\phi _{0}=\mathrm {d} V_{0}^{\mathrm {s} }/\mathrm {d} V_{0}}$

${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {v} }=\underbrace {(1-\phi _{0})\epsilon _{\mathrm {s} }} _{\text{solid}}+\underbrace {\phi -\phi _{0}} _{\text{pore}},}$

donde se reconoce como la deformación volumétrica linealizada que actúa en el sólido. ${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {s} }=\mathrm {d} V_{t}^{\mathrm {s} }/\mathrm {d} V_{0}^{\mathrm {s} }-1}$

Poroelasticidad lineal de pequeña deformación

Al linealizar la deformación en un cuerpo sólido poroelástico, deben cumplirse varias condiciones. En primer lugar, como es el requisito para un sólido continuo general, los gradientes de desplazamiento deben ser pequeños, . En segundo lugar, para garantizar aún más pequeños cambios en los volúmenes de sólido y poro, el campo de desplazamiento del sólido, , debe ser pequeño en comparación con la escala de longitud característica que define el tamaño de grano (en el caso de un material granular) o la matriz sólida (en el caso de una fase sólida continua), . Este segundo requisito se establece como , e implica pequeños cambios en la porosidad lagrangiana . ${\displaystyle ||\nabla \mathbf {u} ||\ll 1}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {s} }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ||\mathbf {u} _{\mathrm {s} }/L||\ll 1}$ ${\displaystyle (\phi -\phi _{0})/\phi _{0}\ll 1}$

Al medir las propiedades elásticas lineales de sólidos porosos, los experimentos de laboratorio normalmente se realizan en uno de dos casos límite:

• Los sólidos poroelásticos se cargan en condiciones de drenaje , en las que el intercambio de fluidos entre los dominios del sólido poroso y el exterior se produce rápidamente, y la presión del fluido en el espacio poroso se mantiene constante. Un sistema de este tipo se considera un sistema abierto . ${\displaystyle \mathrm {d} p=0}$

• Los sólidos poroelásticos se cargan en condiciones no drenadas , en las que se impide el intercambio de fluidos entre el sólido poroso y el exterior; , donde es la masa local del fluido. Un sólido poroelástico saturado cargado en condiciones no drenadas normalmente experimenta cambios significativos en la presión del fluido. Un sistema de este tipo se considera un sistema cerrado . ${\displaystyle \mathrm {d} m_{\mathrm {f} }=0}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {f} }}$

Antecedentes históricos

Medios porosos saturados

Reinhard Woltman (1757-1837), ingeniero hidráulico y geotécnico alemán, introdujo por primera vez los conceptos de fracciones de volumen y ángulos de fricción interna dentro de medios porosos en su estudio sobre la conexión entre la humedad del suelo y su cohesión aparente. ^[18] Su trabajo abordó el cálculo de la presión de la tierra contra los muros de contención. Achille Delesse (1817-1881), geólogo y mineralogista francés, razonó que la fracción de volumen de los huecos, también denominada porosidad volumétrica, es igual a la fracción de superficie de los huecos, también denominada porosidad areal, cuando el tamaño, la forma y la orientación de los poros se distribuyen aleatoriamente. ^[19] Henry Darcy (1803-1858), ingeniero hidráulico francés, observó la proporcionalidad entre la tasa de descarga y la pérdida de presión de agua en pruebas con arena natural, ahora conocida como la ley de Darcy. ^[20] El primer concepto importante relacionado con los sólidos porosos deformables y saturados podría considerarse el principio de esfuerzo efectivo introducido por Karl von Terzaghi (1883-1963), un ingeniero austríaco. Terzaghi postuló que el esfuerzo efectivo medio experimentado por el esqueleto sólido de un medio poroso con constituyentes incompresibles, , es el esfuerzo total que actúa sobre el elemento de volumen, , menos la presión del fluido que actúa en el espacio poroso, . ^[21] Terzaghi combinó su concepto de esfuerzo efectivo con la ley de Darcy para el flujo de fluidos y derivó una teoría de consolidación unidimensional que explica la deformación dependiente del tiempo de los suelos a medida que el fluido de los poros se drena, lo que podría ser el primer tratado matemático sobre problemas hidromecánicos acoplados en medios porosos. ${\displaystyle \sigma '=\sigma -p}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p}$

Véase también

• Petrofísica
• Física de rocas
• Poroelasticidad
• Flujo de fluidos a través de medios porosos
• Permeabilidad (ciencia de los materiales)
• Ley de Darcy

Referencias

1. Coussy O (2004). Poromecánica . Hoboken: John Wiley & Sons.
2. Müller TM, Gurevich B, Lebedev M (2010). "Atenuación y dispersión de ondas sísmicas resultantes del flujo inducido por ondas en rocas porosas: una revisión". Geofísica . 75 (5): 75A147–75A164. Bibcode :2010Geop...75A.147M. doi :10.1190/1.3463417. hdl : 20.500.11937/35921 .
3. Wang HF (2000). Teoría de la poroelasticidad lineal con aplicaciones a la geomecánica y la hidrogeología . Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691037462.
4. Chapelle D, Gerbeau JF, Sainte-Marie J, Vignon-Clementel I (2010). "Un modelo poroelástico válido en grandes deformaciones con aplicaciones a la perfusión en el modelado cardíaco". Mecánica Computacional . 46 : 91–101. Bibcode :2010CompM..46..101C. doi :10.1007/s00466-009-0452-x. S2CID  18226623.
5. Aygün H, Attenborough K, Postema M, Lauriks W, Langton C (2009). "Predicciones de los efectos de la tortuosidad y la elasticidad dependientes del ángulo en la propagación del sonido en el hueso esponjoso" (PDF) . Revista de la Sociedad Acústica de América . 126 (6): 3286–3290. doi :10.1121/1.3242358. PMID  20000942. S2CID  36340512.
6. Ulm FJ, Constantinides G, Heukamp FH (2004). "¿Es el hormigón un material poromecánico? Una investigación multiescala de las propiedades poroelásticas". Materiales y estructuras . doi :10.1007/BF02481626.
7. Modelado multiescala de propiedades elásticas efectivas de materiales porosos llenos de fluidos International Journal of Solids and Structures (2019) 162, 36-44
8. Terzaghi K (1943). Mecánica teórica de suelos. Nueva York: Wiley. doi :10.1002/9780470172766. ISBN 9780471853053.
9. Biot MA (1941). "Teoría general de la consolidación tridimensional" (PDF) . Revista de Física Aplicada . 12 (2): 155–164. Bibcode :1941JAP....12..155B. doi :10.1063/1.1712886.
10. Biot MA (1956). "Teoría de la propagación de ondas elásticas en un sólido poroso saturado de fluido. I Rango de baja frecuencia" (PDF) . The Journal of the Acoustical Society of America . 28 (2): 168–178. Bibcode :1956ASAJ...28..168B. doi :10.1121/1.1908239.
11. Biot MA (1956). "Teoría de la propagación de ondas elásticas en un sólido poroso saturado de fluido. II Rango de frecuencias más alto" (PDF) . The Journal of the Acoustical Society of America . 28 (2): 179–191. Bibcode :1956ASAJ...28..179B. doi :10.1121/1.1908241.
12. Biot MA, Willis DG (1957). "Los coeficientes elásticos de la teoría de la consolidación". Journal of Applied Mechanics . 24 (4): 594–601. Bibcode :1957JAM....24..594B. doi :10.1115/1.4011606.
13. Biot MA (1962). "Mecánica de la deformación y propagación acústica en medios porosos". Revista de Física Aplicada . 33 (4): 1482–1498. Código Bibliográfico :1962JAP....33.1482B. doi :10.1063/1.1728759. S2CID  58914453.
14. Plona T (1980). "Observación de una segunda onda compresiva en un medio poroso a frecuencias ultrasónicas". Applied Physics Letters . 36 (4): 259. Bibcode :1980ApPhL..36..259P. doi :10.1063/1.91445.
15. Frenkel J (1944). "Sobre la teoría de los fenómenos sísmicos y sismoeléctricos en suelos húmedos" (PDF) . Revista de Física . 3 (4): 230–241.Republicado como Frenkel J (2005). "Sobre la teoría de los fenómenos sísmicos y sismoeléctricos en un suelo húmedo". Journal of Engineering Mechanics . 131 (9): 879–887. doi :10.1061/(ASCE)0733-9399(2005)131:9(879).
16. Gassmann F (1951). "Über die Elastizität poröser Medien". Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft en Zúrich . 96 : 1–23. (Traducción al español disponible en formato pdf aquí)
17. Gassmann F (1951). "Ondas elásticas a través de un empaquetamiento de esferas". Geofísica . 16 (4): 673–685. Bibcode :1951Geop...16..673G. doi :10.1190/1.1437718.
18. Woltmann R (1794). Beyträge zur Hydraulischen Architektur: Dritter Band . Gotinga: Johann Christian Dieterich.
19. Delesse A (1848). Procedimiento mecánico para determinar la composición chimique des roches . editor desconocido.
20. Darcy H (1856). Les fontaines publiques de la ville de Dijon . Dalmont.
21. Terzaghi K (1943). Mecánica teórica de suelos. Nueva York: Wiley. doi:10.1002/9780470172766. ISBN

Lectura adicional

• Rice JR, Cleary MP (1976). "Algunas soluciones básicas de difusión de tensiones para medios porosos elásticos saturados de fluidos con constituyentes compresibles". Reseñas de Geofísica y Física Espacial . 14 (2): 227–241. Código Bibliográfico :1976RvGSP..14..227R. doi :10.1029/RG014i002p00227.
• Bourbie T, Coussy O, Zinszner B (1987). Acústica de medios porosos . Houston: Gulf Publication Company.
• Nigmatulin RI (1990). Dinámica de medios multifásicos . Washington, DC: Hemisphere.
• Allard JF (1993). Propagación del sonido en medios porosos: modelado de materiales absorbentes del sonido . Londres: Chapman & Hall.
• Chapelle D, Moireau P (2014). "Acoplamiento general de flujos porosos y formulaciones hiperelásticas: desde los principios de la termodinámica hasta el balance de energía y los esquemas de tiempo compatibles". European Journal of Mechanics B . 46 : 82–96. Bibcode :2014EJMF...46...82C. doi :10.1016/j.euromechflu.2014.02.009.

Enlaces externos

• Poronet - Red de recursos de Internet sobre poromecánica
• APMR - Recetas de materiales porosos acústicos