Efecto Poole-Frenkel

Modelo en física del estado sólido

En física del estado sólido , el efecto Poole-Frenkel (también conocido como emisión de Frenkel-Poole ^[1] ) es un modelo que describe el mecanismo de transporte de electrones asistido por trampas en un aislante eléctrico . Recibe su nombre de Yakov Frenkel , quien lo publicó en 1938, ^[2] ampliando la teoría previamente desarrollada por H. H. Poole.

Los electrones pueden moverse lentamente a través de un aislante mediante el siguiente proceso. Los electrones generalmente están atrapados en estados localizados (en términos generales, están "pegados" a un solo átomo y no son libres de moverse por el cristal). Ocasionalmente, las fluctuaciones térmicas aleatorias le darán a un electrón suficiente energía para dejar su estado localizado y moverse a la banda de conducción . Una vez allí, el electrón puede moverse a través del cristal, por un breve período de tiempo, antes de relajarse en otro estado localizado (en otras palabras, "pegarse" a un átomo diferente). El efecto Poole-Frenkel describe cómo, en un campo eléctrico grande , el electrón no necesita tanta energía térmica para ser promovido a la banda de conducción (porque parte de esta energía proviene de ser atraído por el campo eléctrico), por lo que no necesita una fluctuación térmica tan grande y podrá moverse con mayor frecuencia. En teoría, el efecto Poole-Frenkel es comparable al efecto Schottky , que es la disminución de la barrera energética metal-aislante debido a la interacción electrostática con el campo eléctrico en una interfaz metal-aislante. Sin embargo, la conductividad que surge del efecto Poole-Frenkel se detecta en presencia de conducción limitada en masa (cuando el proceso de conducción limitante ocurre en la masa de un material), mientras que la corriente Schottky se observa cuando la conductividad está limitada por contacto (cuando el mecanismo de conducción limitante ocurre en la interfaz metal-aislante). ^[3]

Ecuación de Poole-Frenkel

Efecto Poole-Frenkel para un pozo de potencial coulombiano en presencia de un campo eléctrico aplicado. ^[4]

Diagrama de bandas de energía de la emisión de Poole-Frenkel. ^[4]

La conductividad eléctrica de los dieléctricos y semiconductores en presencia de campos eléctricos elevados (más que para los aislantes y hasta para los semiconductores) aumenta aproximadamente como lo describe la ley de Poole ^[2] (lo que finalmente conduce a una ruptura eléctrica ): ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 10^{5}V/cm}$ ${\displaystyle 10^{3}V/cm}$

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\exp {(\alpha E)}}$

dónde

${\displaystyle \sigma _{0}}$es la conductividad eléctrica del campo cero

${\displaystyle \alpha }$es una constante

E es el campo eléctrico aplicado .

En este modelo se supone que la conducción la lleva a cabo un sistema de electrones libres que se mueve en un potencial periódico autoconsistente. Por el contrario, Frenkel derivó su fórmula describiendo el dieléctrico (o el semiconductor) como simplemente compuesto por átomos neutros que actúan como estados trampa cargados positivamente (cuando están vacíos, es decir, cuando los átomos están ionizados). Para estados trampa localizados con potenciales de Coulomb , la altura de la barrera que un electrón debe cruzar para moverse de un átomo a otro es la profundidad del pozo de potencial de la trampa. Sin ningún campo eléctrico aplicado externamente, el valor máximo del potencial es cero y se encuentra a una distancia infinita del centro de la trampa. ^[5] Cuando se aplica un campo eléctrico externo, la altura de la barrera de potencial se reduce en un lado de la trampa en la cantidad ^[2]

${\displaystyle \Delta U=qEr_{0}+{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon r_{0}}}}$

dónde:

q es la carga elemental

${\displaystyle \epsilon }$es la permitividad dinámica .

La primera contribución se debe al campo eléctrico aplicado, la segunda se debe a la atracción electrostática entre el sitio de la trampa iónica y el electrón de conducción. El potencial tiene ahora un máximo a una distancia del centro de la trampa de Coulomb, dada por . ^[2] Por lo tanto y ^[2] ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle q^{2}/(4\pi \epsilon r_{0}^{2})=qE}$ ${\displaystyle r_{0}={\sqrt {q/(4\pi \epsilon E)}}}$

${\displaystyle \Delta U=qE{\sqrt {\frac {q}{4\pi \epsilon E}}}+{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon }}{\sqrt {\frac {4\pi \epsilon E}{q}}}=2{\sqrt {\frac {q^{3}E}{4\pi \epsilon }}}={\sqrt {\frac {q^{3}E}{\pi \epsilon }}}}$.

Esta expresión es similar a la obtenida para el efecto Schottky . El factor 2 en el exponente, que hace que la reducción de la barrera en el efecto Poole-Frenkel sea dos veces mayor que la experimentada en el efecto Schottky, se debe a la interacción del electrón excitado térmicamente con la carga positiva inmóvil del ion que actúa como centro de trampa, en lugar de con su carga de imagen móvil inducida en el metal en la interfaz Schottky. ^[6] Ahora bien, si, sin ningún campo eléctrico aplicado, el número de electrones ionizados térmicamente es proporcional a ^[2]

${\displaystyle \exp \left({\frac {-q\phi _{B}}{k_{B}T}}\right)}$

dónde:

${\displaystyle \phi _{B}}$es la barrera de voltaje (en campo eléctrico aplicado cero) que un electrón debe cruzar para moverse de un átomo a otro en el material

${\displaystyle k_{B}}$¿es la constante de Boltzmann?

T es la temperatura

entonces, en presencia de un campo eléctrico externo la conductividad eléctrica será proporcional a ^[2]

${\displaystyle \exp \left({\frac {-q\left(\phi _{B}-{\sqrt {qE/(\pi \epsilon )}}\ \right)}{k_{B}T}}\right)}$

obteniendo así ^[2]

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\exp \left({\frac {q{\sqrt {qE/(\pi \epsilon )}}}{k_{B}T}}\right)}$

difiere de la ley de Poole en la dependencia de . Teniendo todo en cuenta (tanto la frecuencia con la que los electrones son excitados en la banda de conducción como su movimiento una vez que están allí) y suponiendo una movilidad de electrones independiente del campo, la expresión cuantitativa estándar para la corriente de Poole-Frenkel es: ^{[1] [7] [8]} ${\displaystyle E}$

${\displaystyle J\propto E\exp \left({\frac {-q\left(\phi _{B}-{\sqrt {qE/(\pi \epsilon )}}\ \right)}{k_{B}T}}\right)}$

donde J es la densidad de corriente . Haciendo explícitas las dependencias del voltaje aplicado y la temperatura, la expresión queda así: ^[1]

${\displaystyle J\propto V\exp \left({\frac {q}{k_{B}T}}\left(2{\sqrt {qV/(4\pi \epsilon d)}}-\phi _{B}\right)\right)}$

donde d es el espesor del dieléctrico. Para un dieléctrico dado, pueden predominar diferentes procesos de conducción en diferentes rangos de voltaje y temperatura.

Para materiales como Si ₃ N ₄ , Al ₂ O ₃ y SiO ₂ , a alta temperatura y regímenes de campo elevados, la corriente J probablemente se deba a la emisión de Poole-Frenkel. ^[1] La detección de la emisión de Poole-Frenkel como el proceso de conducción limitante en un dieléctrico se realiza habitualmente estudiando la pendiente en el llamado diagrama de Poole-Frenkel, donde se representa el logaritmo de la densidad de corriente dividido por el campo ( ) frente a la raíz cuadrada del campo ( ). La idea de un gráfico de este tipo se origina a partir de la expresión de la densidad de corriente de Poole-Frenkel, que contiene esta proporcionalidad ( vs ), y por tanto daría como resultado una línea recta en este gráfico. Para un valor fijo de la barrera de tensión en ausencia de cualquier campo eléctrico aplicado, la pendiente está influenciada por un solo parámetro: la permitividad dieléctrica. ^[9] A pesar de la misma dependencia funcional de la densidad de corriente con respecto a la intensidad del campo eléctrico, se podría diferenciar entre la conducción Poole-Frenkel y la conducción Schottky, ya que darían como resultado líneas rectas con diferentes pendientes en un diagrama de Poole-Frenkel. Las pendientes teóricas se pueden evaluar conociendo la constante dieléctrica de alta frecuencia del material ( , donde es la permitividad del vacío ), y comparándolas con las pendientes detectadas experimentalmente. Como alternativa, se puede evaluar el valor para igualar las pendientes teóricas con las detectadas experimentalmente, siempre que se sepa si la conductividad está limitada por electrodos o limitada por volumen. Dicho valor de la constante dieléctrica de alta frecuencia debería entonces conformar la relación , donde es el índice de refracción del material. ^[3] ${\displaystyle ln(J/E)}$ ${\displaystyle {\sqrt {E}}}$ ${\displaystyle ln(J/E)}$ ${\displaystyle {\sqrt {E}}}$ ${\displaystyle \kappa =\epsilon /\epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa =n^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Modelos Poole-Frenkel mejorados

Aunque se han hecho muchos avances en el tema desde el trabajo clásico de Frenkel, la fórmula de Poole-Frenkel se ha utilizado ampliamente para interpretar varias corrientes experimentales no óhmicas observadas en dieléctricos y también semiconductores. ^{[10] [11]} El debate sobre los supuestos subyacentes del modelo clásico de Poole-Frenkel ha dado vida a varios modelos Poole-Frenkel mejorados. Estas hipótesis se presentan a continuación. ^[10]

Se considera únicamente la conducción de electrones (monoportadores), suponiendo la existencia de contactos óhmicos capaces de rellenar los electrones liberados de la trampa en los electrodos, y se desprecian los efectos de la carga espacial , suponiendo que el campo es uniforme. Una revisión de este último supuesto se puede encontrar, por ejemplo, en la “teoría de la corriente limitada por la carga espacial mejorada por el efecto Frenkel” desarrollada por Murgatroyd. ^[5]

Se supone que la movilidad de los portadores es independiente del campo. Despreciando todo tipo de proceso de difusión para los portadores des-atrapados, ^[5] el factor pre-exponencial en la fórmula de Poole-Frenkel es proporcional a . Esta representación sería adecuada para la descripción de la conducción tanto en dieléctricos como en semiconductores. Sin embargo, es probable que el efecto Poole-Frenkel se observe solo en materiales caracterizados por valores de baja movilidad, ya que, en sólidos de alta movilidad, el re-atrapamiento de portadores se inhibiría gradualmente por el agotamiento de portadores. ^[12] Aún así, se pueden encontrar diferentes dependencias del factor pre-exponencial del campo: suponiendo que los portadores podrían ser re-atrapados, se obtiene proporcionalidad a o , dependiendo del re-atrapamiento de electrones que ocurre por la trampa vecina más cercana o después de una deriva. ^[12] Además, se encuentra que un factor pre-exponencial proporcional a es el resultado de procesos de difusión aleatorios, ^[13] mientras que las dependencias de y son el resultado de procesos de transporte de salto y difusión respectivamente. ^[14] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{-1/2}}$ ${\displaystyle E^{1/2}}$ ${\displaystyle E^{1/2}}$ ${\displaystyle E^{-3/2}}$ ${\displaystyle E^{-3/4}}$

En la teoría clásica de Poole-Frenkel se supone un potencial de trampa coulombiana, pero también se consideran potenciales más pronunciados que pertenecen a defectos multipolares o potenciales hidrogénicos apantallados. ^[10]

En cuanto a la tipología de las trampas, se describe que el efecto Poole-Frenkel ocurre para sitios de trampa cargados positivamente, es decir, trampas que son positivas cuando están vacías y neutras cuando están llenas, para que el electrón experimente una barrera de potencial coulombiano debido a la interacción con la trampa cargada positivamente. Los sitios donantes o aceptores y los electrones en la banda de valencia también exhibirán el efecto Poole-Frenkel. Por el contrario, un sitio de trampa neutral, es decir, un sitio que es neutral cuando está vacío y cargado (negativamente para los electrones) cuando está lleno, no exhibirá el efecto Poole-Frenkel. Entre otros, Simmons ha propuesto una alternativa al modelo clásico con trampas neutrales poco profundas y donantes profundos, capaces de exhibir una conducción limitada en volumen con una dependencia del campo eléctrico Schottky, incluso en presencia de un mecanismo de conducción Poole-Frenkel, explicando así el "efecto Poole-Frenkel anómalo" revelado por las _películas de Ta2O5 _y SiO. ^[3] Existen modelos que consideran la presencia de trampas tanto donantes como aceptoras, en una situación llamada compensación de trampas . El modelo de Yeargan y Taylor, por ejemplo, extiende la teoría clásica de Poole-Frenkel incluyendo diversos grados de compensación: cuando se considera un solo tipo de trampa, la pendiente de la curva en un diagrama de Poole-Frenkel reproduce la obtenida a partir de la emisión Schottky, a pesar de que la reducción de la barrera es el doble que para el efecto Schottky; la pendiente es el doble en presencia de compensación. ^[15]

Como hipótesis adicional, se supone un único nivel de energía para las trampas. Sin embargo, se discute la existencia de otros niveles donantes, incluso si se supone que están completamente llenos para cada campo y régimen de temperatura, y por lo tanto no proporcionan ningún portador de conducción (esto es equivalente a afirmar que los niveles donantes adicionales están ubicados muy por debajo del nivel de Fermi ). ^[10]

Ecuación de Hartke

El cálculo realizado para la reducción de la profundidad de la trampa es un cálculo unidimensional, lo que da como resultado una sobrestimación de la reducción efectiva de la barrera. De hecho, solo en la dirección del campo eléctrico externo la altura del pozo de potencial se reduce tanto como se estima de acuerdo con la expresión de Poole-Frenkel. Un cálculo más preciso, realizado por Hartke ^[6] haciendo un promedio de las probabilidades de emisión de electrones con respecto a cualquier dirección, muestra que el crecimiento de la concentración de portadores libres es aproximadamente un orden de magnitud menor que el predicho por la ecuación de Poole-Frenkel. ^[5] La ecuación de Hartke es equivalente a ^[5]

${\displaystyle J\propto E\exp \left({\frac {-q\phi _{B}}{k_{B}T}}\right)\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\beta ^{2}E}}\left(1+\left(\beta {\sqrt {E}}-1\right)\exp(\beta {\sqrt {E}})\right)\right)}$

dónde

${\displaystyle \beta ={\frac {q}{k_{B}T}}{\sqrt {\frac {q}{\pi \epsilon }}}}$.

Desde un punto de vista teórico, la expresión de Hartke debe preferirse a la ecuación de Poole-Frenkel, ya que se considera la tridimensionalidad del problema de la reducción de la barrera de trampa. ^[5] Se han desarrollado modelos tridimensionales adicionales, que difieren en el tratamiento que hacen del proceso de emisión en la dirección contra el viento. ^[10] Ieda, Sawa y Kato, por ejemplo, han propuesto un modelo que incluye la variación de la barrera en direcciones tanto hacia adelante como en dirección opuesta al campo eléctrico. ^[16]

Saturación de Poole-Frenkel

La saturación de Poole-Frenkel se produce cuando todos los sitios de la trampa se ionizan, lo que da como resultado un máximo del número de portadores de conducción. El campo de saturación correspondiente se obtiene a partir de la expresión que describe la desaparición de la barrera: ^[10]

${\displaystyle \phi _{B}-{\sqrt {\frac {qE_{s}}{\pi \epsilon }}}=0}$

donde es el campo de saturación. Por lo tanto ^[10] ${\displaystyle E_{s}}$

${\displaystyle E_{s}={\frac {\pi \epsilon {\phi _{B}}^{2}}{q}}}$.

Los sitios de trampa están ahora necesariamente vacíos, al estar en el borde de la banda de conducción . El hecho de que el efecto Poole-Frenkel se describa mediante una expresión para la conductividad (y para la corriente) que diverge con campos crecientes y no experimenta una saturación, es atribuible a la suposición simplificadora de que la población de trampas sigue las estadísticas de Maxwell-Boltzmann . Ongaro y Pillonnet han ideado un modelo Poole-Frenkel mejorado, que incluye una descripción más precisa de las estadísticas de la trampa con la fórmula de Fermi-Dirac y es capaz de representar cuantitativamente la saturación. ^[10]

Transporte de Poole-Frenkel en dispositivos de memoria electrónica

En las memorias flash con trampa de carga , la carga se almacena en un material de captura, típicamente una capa de nitruro de silicio, a medida que la corriente fluye a través de un dieléctrico. En el proceso de programación, los electrones se emiten desde el sustrato hacia la capa de captura debido a una gran polarización positiva aplicada a la compuerta. El transporte de corriente es el resultado de dos mecanismos de conducción diferentes, que se deben considerar en serie: la corriente a través del óxido es por tunelización, el mecanismo de conducción a través del nitruro es un transporte de Poole-Frenkel. La corriente de tunelización se describe mediante una ecuación de tunelización de Fowler-Nordheim modificada , es decir, una ecuación de tunelización que tiene en cuenta que la forma de la barrera de tunelización no es triangular (como se supone para la derivación de la fórmula de Fowler-Nordheim), sino que está compuesta por la serie de una barrera trapezoidal en el óxido y una barrera triangular en el nitruro. El proceso de Poole-Frenkel es el mecanismo limitante de la conducción al comienzo del régimen de programación de la memoria debido a la mayor corriente proporcionada por la tunelización. A medida que la carga del electrón atrapado aumenta y comienza a filtrar el campo, el efecto túnel de Fowler-Nordheim modificado se convierte en el proceso limitante. La densidad de carga atrapada en la interfaz óxido-nitruro es proporcional a la integral de la corriente Poole-Frenkel que fluye a través de ella. ^[1] Con un número creciente de ciclos de escritura y borrado de memoria, las características de retención empeoran debido a la creciente conductividad en masa del nitruro. ^[8]

Véase también

• Efecto Schottky
• Destello de trampa de carga
• Avería eléctrica
• Dieléctricos

Referencias

1. Sze, SM, Física de dispositivos semiconductores , 2.ª edición, Sección 4.3.4.
2. Frenkel, J. (15 de octubre de 1938). "Sobre los fenómenos de pre-ruptura en aislantes y semiconductores electrónicos". Physical Review . 54 (8). American Physical Society (APS): 647–648. Bibcode :1938PhRv...54..647F. doi :10.1103/physrev.54.647. ISSN  0031-899X.
3. Simmons, John G. (15 de marzo de 1967). "Efecto Poole–Frenkel y efecto Schottky en sistemas metal-aislante-metal". Physical Review . 155 (3): 657–660. Código Bibliográfico :1967PhRv..155..657S. doi :10.1103/PhysRev.155.657.
4. Pan, QF; Liu, Q. (31 de diciembre de 2019). "Saturación de emisión de Poole-Frenkel y sus efectos en el tiempo hasta el fallo en condensadores Ta-TaO-MnO". Avances en ciencia e ingeniería de materiales . 2019 : 1–9. doi : 10.1155/2019/1690378 .
5. Murgatroyd, PN (1 de febrero de 1970). "Teoría de la corriente limitada por la carga espacial mejorada por el efecto Frenkel". Journal of Physics D: Applied Physics . 3 (2): 151–156. Bibcode :1970JPhD....3..151M. doi :10.1088/0022-3727/3/2/308. ISSN  0022-3727. S2CID  250765910.
6. Hartke, JL (1 de septiembre de 1968). "El efecto Poole-Frenkel tridimensional". Journal of Applied Physics . 39 (10): 4871–4873. Bibcode :1968JAP....39.4871H. doi :10.1063/1.1655871. ISSN  0021-8979.
7. Rottländer, P.; Hehn, M.; Schuhl, A. (11 de enero de 2002). "Determinación de la altura de la barrera interfacial y su relación con la magnetorresistencia de túnel". Physical Review B . 65 (5). American Physical Society (APS): 054422. Bibcode :2002PhRvB..65e4422R. doi :10.1103/physrevb.65.054422. ISSN  0163-1829.
8. Takahashi, Y.; Ohnishi, K. (1993). "Estimación de la conductancia de la capa de aislamiento en la estructura MNOS". IEEE Transactions on Electron Devices . 40 (11): 2006–2010. Bibcode :1993ITED...40.2006T. doi :10.1109/16.239741.
9. Schroeder, Herbert (5 de junio de 2015). "El efecto Poole-Frenkel como mecanismo de corriente dominante en películas delgadas de óxido: ¿una ilusión?". Journal of Applied Physics . 117 (21): 215103. Bibcode :2015JAP...117u5103S. doi : 10.1063/1.4921949 . ISSN  0021-8979.
10. Ongaro, R.; Pillonnet, A. (1989). "Efecto Poole-Frenkel (PF) alta saturación de campo" (PDF) . Revista de Physique Appliquée . 24 (12): 1085-1095. doi :10.1051/rphysap:0198900240120108500. ISSN  0035-1687.
11. Lui, Basil; Migliorato, P (1997-04-01). "Un nuevo modelo de recombinación de generación para simulación de dispositivos que incluye el efecto Poole-Frenkel y la tunelización asistida por fonones". Electrónica de estado sólido . 41 (4): 575–583. doi :10.1016/S0038-1101(96)00148-7. ISSN  0038-1101.
12. Jonscher, AK (1 de noviembre de 1967). "Propiedades electrónicas de películas dieléctricas amorfas". Thin Solid Films . 1 (3): 213–234. Bibcode :1967TSF.....1..213J. doi :10.1016/0040-6090(67)90004-1. ISSN  0040-6090.
13. Hill, Robert M. (1 de enero de 1971). "Conducción de Poole–Frenkel en sólidos amorfos". Revista filosófica . 23 (181): 59–86. Bibcode :1971PMag...23...59H. doi :10.1080/14786437108216365. ISSN  0031-8086.
14. Hall, RB (1 de octubre de 1971). "El efecto Poole-Frenkel". Thin Solid Films . 8 (4): 263–271. Bibcode :1971TSF.....8..263H. doi :10.1016/0040-6090(71)90018-6. ISSN  0040-6090.
15. Yeargan, JR; Taylor, HL (1 de noviembre de 1968). "El efecto Poole‐Frenkel con compensación presente". Revista de Física Aplicada . 39 (12): 5600–5604. Bibcode :1968JAP....39.5600Y. doi :10.1063/1.1656022. ISSN  0021-8979.
16. Ieda, Masayuki; Sawa, Goro; Kato, Sousuke (1 de septiembre de 1971). "Una consideración del efecto Poole‐Frenkel sobre la conducción eléctrica en aislantes". Revista de Física Aplicada . 42 (10): 3737–3740. Bibcode :1971JAP....42.3737I. doi :10.1063/1.1659678. ISSN  0021-8979.