Sucesión de polinomios definida recursivamente
En matemáticas , los polinomios de Fibonacci son una secuencia polinómica que puede considerarse como una generalización de los números de Fibonacci . Los polinomios generados de manera similar a partir de los números de Lucas se denominan polinomios de Lucas .
Definición Estos polinomios de Fibonacci se definen mediante una relación de recurrencia : [1]
F norte ( incógnita ) = { 0 , si norte = 0 1 , si norte = 1 incógnita F norte − 1 ( incógnita ) + F norte − 2 ( incógnita ) , si norte ≥ 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}n=0\\1,&{\mbox{si }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2\end{cases}}} Los polinomios de Lucas utilizan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales: [2]
yo norte ( incógnita ) = { 2 , si norte = 0 incógnita , si norte = 1 incógnita yo norte − 1 ( incógnita ) + yo norte − 2 ( incógnita ) , si norte ≥ 2. {\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{si }}n=0\\x,&{\mbox{si }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2.\end{cases}}} Se pueden definir para índices negativos por [3]
F − norte ( incógnita ) = ( − 1 ) norte − 1 F norte ( incógnita ) , {\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),} yo − norte ( incógnita ) = ( − 1 ) norte yo norte ( incógnita ) . {\displaystyle L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).} Los polinomios de Fibonacci forman una secuencia de polinomios ortogonales con y . A norte = do norte = 1 {\displaystyle A_{n}=C_{n}=1} B norte = 0 {\displaystyle B_{n}=0}
Ejemplos Los primeros polinomios de Fibonacci son:
F 0 ( x ) = 0 {\displaystyle F_{0}(x)=0\,} F 1 ( x ) = 1 {\displaystyle F_{1}(x)=1\,} F 2 ( x ) = x {\displaystyle F_{2}(x)=x\,} F 3 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,} F 4 ( x ) = x 3 + 2 x {\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,} F 5 ( x ) = x 4 + 3 x 2 + 1 {\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,} F 6 ( x ) = x 5 + 4 x 3 + 3 x {\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,} Los primeros polinomios de Lucas son:
L 0 ( x ) = 2 {\displaystyle L_{0}(x)=2\,} L 1 ( x ) = x {\displaystyle L_{1}(x)=x\,} L 2 ( x ) = x 2 + 2 {\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,} L 3 ( x ) = x 3 + 3 x {\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,} L 4 ( x ) = x 4 + 4 x 2 + 2 {\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,} L 5 ( x ) = x 5 + 5 x 3 + 5 x {\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,} L 6 ( x ) = x 6 + 6 x 4 + 9 x 2 + 2. {\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}
Propiedades El grado de F n n − 1 y el grado de L n n . Los números de Fibonacci y Lucas se recuperan evaluando los polinomios en x = 1; los números de Pell se recuperan evaluando F n x = 2. Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son: [4] ∑ n = 0 ∞ F n ( x ) t n = t 1 − x t − t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}} ∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n = 2 − x t 1 − x t − t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.} Los polinomios se pueden expresar en términos de secuencias de Lucas como F n ( x ) = U n ( x , − 1 ) , {\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,} L n ( x ) = V n ( x , − 1 ) . {\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,} También se pueden expresar en términos de polinomios de Chebyshev y como T n ( x ) {\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(x)} U n ( x ) {\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}(x)} F n ( x ) = i n − 1 ⋅ U n − 1 ( − i x 2 ) , {\displaystyle F_{n}(x)=i^{n-1}\cdot {\mathcal {U}}_{n-1}({\tfrac {-ix}{2}}),\,} L n ( x ) = 2 ⋅ i n ⋅ T n ( − i x 2 ) , {\displaystyle L_{n}(x)=2\cdot i^{n}\cdot {\mathcal {T}}_{n}({\tfrac {-ix}{2}}),\,} ¿Dónde está la unidad imaginaria ? i {\displaystyle i}
Identidades Como casos particulares de secuencias de Lucas, los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades, tales como [3]
F m + n ( x ) = F m + 1 ( x ) F n ( x ) + F m ( x ) F n − 1 ( x ) {\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,} L m + n ( x ) = L m ( x ) L n ( x ) − ( − 1 ) n L m − n ( x ) {\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,} F n + 1 ( x ) F n − 1 ( x ) − F n ( x ) 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,} F 2 n ( x ) = F n ( x ) L n ( x ) . {\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,} Las expresiones de forma cerrada, similares a la fórmula de Binet son: [3]
F n ( x ) = α ( x ) n − β ( x ) n α ( x ) − β ( x ) , L n ( x ) = α ( x ) n + β ( x ) n , {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},} dónde
α ( x ) = x + x 2 + 4 2 , β ( x ) = x − x 2 + 4 2 {\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}} son las soluciones (en t ) de
t 2 − x t − 1 = 0. {\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,} Para polinomios de Lucas n > 0, tenemos
L n ( x ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ n n − k ( n − k k ) x n − 2 k . {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}x^{n-2k}.} Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar se da en [5]
x n = F n + 1 ( x ) + ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k [ ( n k ) − ( n k − 1 ) ] F n + 1 − 2 k ( x ) . {\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).} Por ejemplo,
x 4 = F 5 ( x ) − 3 F 3 ( x ) + 2 F 1 ( x ) {\displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,} x 5 = F 6 ( x ) − 4 F 4 ( x ) + 5 F 2 ( x ) {\displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+5F_{2}(x)\,} x 6 = F 7 ( x ) − 5 F 5 ( x ) + 9 F 3 ( x ) − 5 F 1 ( x ) {\displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,} x 7 = F 8 ( x ) − 6 F 6 ( x ) + 14 F 4 ( x ) − 14 F 2 ( x ) {\displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,}
Interpretación combinatoria Los coeficientes de los polinomios de Fibonacci se pueden leer a partir de un triángulo de Pascal alineado a la izquierda siguiendo las diagonales (mostradas en rojo). Las sumas de los coeficientes son los números de Fibonacci. Si F ( n , k ) es el coeficiente de x k en F n ( x ), es decir
F n ( x ) = ∑ k = 0 n F ( n , k ) x k , {\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,} entonces F ( n , k ) es el número de formas en que un rectángulo n −1 por 1 puede ser cubierto con fichas de dominó de 2 por 1 y cuadrados de 1 por 1 de modo que se usen exactamente k cuadrados. [1] De manera equivalente, F ( n , k ) es el número de formas de escribir n −1 como una suma ordenada que involucra solo 1 y 2, de modo que 1 se usa exactamente k veces. Por ejemplo, F(6,3)=4 y 5 se puede escribir de 4 formas, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1, como una suma que involucra solo 1 y 2 con 1 usado 3 veces. Al contar el número de veces que se usan 1 y 2 en dicha suma, es evidente que F ( n , k ) = { ( 1 2 ( n + k − 1 ) k ) if n ≢ k ( mod 2 ) , 0 else . {\displaystyle F(n,k)={\begin{cases}\displaystyle {\binom {{\frac {1}{2}}(n+k-1)}{k}}&{\text{if }}n\not \equiv k{\pmod {2}},\\[12pt]0&{\text{else}}.\end{cases}}}
Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal como se muestra a la derecha.
Referencias ^ de Benjamin y Quinn, pág. 141 ^ Benjamin y Quinn pág. 142 ^abc Springer ^ Weisstein, Eric W. "Polinomio de Fibonacci". MundoMatemático ^ Una prueba comienza en la página 5 del Paquete de soluciones de álgebra (sin autor). Benjamin, Arthur T. ; Quinn, Jennifer J. (2003). "Fibonacci y el polinomio de Lucas". Demostraciones que realmente cuentan: el arte de la demostración combinatoria . Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 27. Asociación Matemática de América . p. 141. ISBN 978-0-88385-333-7 Philippou, Andreas N. (2001) [1994], "Polinomios de Fibonacci", Enciclopedia de Matemáticas EMS Press Philippou, Andreas N. (2001) [1994], "Polinomios de Lucas", Enciclopedia de Matemáticas EMS Press Weisstein, Eric W. "Polinomio de Lucas". MundoMatemático Jin, Z. Sobre los polinomios de Lucas y algunas de sus nuevas identidades. Advances in Differential Equations 2018, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9
Lectura adicional Hoggatt, VE ; Bicknell, Marjorie (1973). "Raíces de los polinomios de Fibonacci". Fibonacci Quarterly 11 : 271–274. ISSN 0015-0517. MR 0332645.Hoggatt, VE; Long, Calvin T. (1974). "Propiedades de divisibilidad de polinomios de Fibonacci generalizados". Fibonacci Quarterly 12 : 113. MR 0352034. Ricci, Paolo Emilio (1995). "Polinomios de Lucas generalizados y polinomios de Fibonacci". Rivista di Matematica della Università di Parma . V. Ser. 4 : 137-146. SEÑOR 1395332. Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Algunas identidades que involucran los polinomios de Fibonacci". Fibonacci Quarterly . 40 (4): 314. MR 1920571. Cigler, Johann (2003). "Polinomios q-Fibonacci". Fibonacci Quarterly (41): 31–40. MR 1962279.
Enlaces externos Secuencia OEIS A162515 (Triángulo de coeficientes de polinomios definidos por la forma de Binet)Secuencia OEIS A011973 (Triángulo de coeficientes de polinomios de Fibonacci) 
![{\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5b8d7a17f74e975d5f66d3bc9674ae1a21e2e8)
![{\displaystyle F(n,k)={\begin{cases}\displaystyle {\binom {{\frac {1}{2}}(n+k-1)}{k}}&{\text{si }}n\no es \equiv k{\pmod {2}},\\[12pt]0&{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4a7dce904fe9477a6eff0ded434ef50c56121b)