Teorema de Poincaré-Miranda

Generalización del teorema del valor intermedio

En matemáticas, el teorema de Poincaré-Miranda es una generalización del teorema del valor intermedio , de una única función en una única dimensión, a n funciones en n dimensiones. Dice lo siguiente:

Consideremos funciones continuas de valores reales de variables, . Supongamos que para cada variable , la función es no positiva cuando y no negativa cuando . Entonces hay un punto en el cubo de dimensión en el que todas las funciones son simultáneamente iguales a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\colon [-1,1]^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}=-1}$ ${\displaystyle x_{i}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle 0}$

El teorema recibe su nombre de Henri Poincaré , quien lo conjeturó en 1883, y de Carlo Miranda , quien en 1940 demostró que es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer . ^{[1] [2] : 545  [3]} A veces se le llama teorema de Miranda o teorema de Bolzano-Poincaré-Miranda. ^[4]

Descripción intuitiva

Una representación gráfica del teorema de Poincaré-Miranda para n  = 2

La imagen de la derecha muestra una ilustración del teorema de Poincaré-Miranda para funciones n  = 2. Consideremos un par de funciones ( f , g ) cuyo dominio de definición es [-1,1] ² (es decir, el cuadrado unitario). La función f es negativa en el límite izquierdo y positiva en el límite derecho (lados verdes del cuadrado), mientras que la función g es negativa en el límite inferior y positiva en el límite superior (lados rojos del cuadrado). Cuando vamos de izquierda a derecha por cualquier camino, debemos pasar por un punto en el que f sea 0 . Por lo tanto, debe haber un "muro" que separe la izquierda de la derecha, a lo largo del cual f sea 0 (curva verde dentro del cuadrado). De manera similar, debe haber un "muro" que separe la parte superior de la inferior, a lo largo del cual g sea 0 (curva roja dentro del cuadrado). Estos muros deben intersecarse en un punto en el que ambas funciones sean 0 (punto azul dentro del cuadrado).

Generalizaciones

La generalización más simple, de hecho un corolario , de este teorema es la siguiente. Para cada variable x _i , sea a _i cualquier valor en el rango [sup _{x i  = 0}  f _i , inf _{x i  = 1}  f _i ] . Entonces hay un punto en el cubo unitario en el que para todo i :

${\displaystyle f_{i}=a_{i}}$.

Esta afirmación se puede reducir al original mediante una simple traducción de ejes ,

${\displaystyle x_{i}^{\prime }=x_{i}\qquad y_{i}^{\prime }=y_{i}-a_{i}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}}$

dónde

• x _i son las coordenadas en el dominio de la función
• y _i son las coordenadas en el codominio de la función.

Utilizando la teoría de grados topológicos es posible demostrar otra generalización. ^[5] Poincaré-Miranda también se generalizó a espacios de dimensión infinita. ^[6]

Véase también

• El teorema del tablero de ajedrez de Steinhaus es un teorema discreto que puede utilizarse para demostrar el teorema de Poincaré-Miranda. ^[7]

Referencias

1. Miranda, Carlo (1940), "Un'osservazione su un teorema di Brouwer", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie 2 (en italiano), 3 : 5–7, JFM  66.0217.01, MR  0004775, Zbl  0024.02203
2. Kulpa, Wladyslaw (junio de 1997), "El teorema de Poincaré-Miranda", The American Mathematical Monthly , 104 (6): 545–550, doi :10.2307/2975081, JSTOR  2975081, MR  1453657, Zbl  0891.47040
3. Dugundji, James ; Granas, Andrzej (2003), Teoría del punto fijo , Springer Monographs in Mathematics, Nueva York: Springer-Verlag , pp. xv+690, ISBN 0-387-00173-5, MR  1987179, Zbl  1025.47002
4. Vrahatis, Michael N. (1 de abril de 2016). "Generalización del teorema de Bolzano para símplices". Topología y sus aplicaciones . 202 : 40–46. doi :10.1016/j.topol.2015.12.066. ISSN  0166-8641.
5. Vrahatis, Michael N. (1989). "Una prueba breve y una generalización del teorema de existencia de Miranda". Actas de la American Mathematical Society . 107 (3): 701–703. doi : 10.1090/S0002-9939-1989-0993760-8 . ISSN  0002-9939.
6. Schäfer, Uwe (5 de diciembre de 2007). "Un teorema del punto fijo basado en Miranda". Teoría del punto fijo y aplicaciones . 2007 (1): 078706. doi : 10.1155/2007/78706 . ISSN  1687-1812.
7. Ahlbach, Connor (12 de mayo de 2013). "Un enfoque discreto del teorema de Poincaré-Miranda". Tesis de grado de HMC .

Lectura adicional

• Alefeld, Götz; Frommer, Andreas; Heindl, Gerhard; Mayer, Jan (2004). "Sobre los teoremas de existencia de Kantorovich, Miranda y Borsuk". ETNA. Electronic Transactions on Numerical Analysis [sólo versión electrónica] . 18 : 102–111.