Teorema de recurrencia de Poincaré

Ciertos sistemas dinámicos eventualmente regresarán a (o se aproximarán a) su estado inicial.

En matemáticas y física , el teorema de recurrencia de Poincaré establece que ciertos sistemas dinámicos , después de un tiempo suficientemente largo pero finito, volverán a un estado arbitrariamente cercano (para sistemas de estado continuo), o exactamente igual (para sistemas de estado discreto), a su estado inicial.

El tiempo de recurrencia de Poincaré es el tiempo transcurrido hasta la recurrencia. Este tiempo puede variar en gran medida dependiendo del estado inicial exacto y el grado de proximidad requerido. El resultado se aplica a sistemas mecánicos aislados sujetos a algunas restricciones, por ejemplo, todas las partículas deben estar limitadas a un volumen finito. El teorema se analiza comúnmente en el contexto de la teoría ergódica , los sistemas dinámicos y la mecánica estadística . Los sistemas a los que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré se denominan sistemas conservativos .

El teorema recibe su nombre de Henri Poincaré , quien lo discutió en 1890. ^{[1] [2]} Constantin Carathéodory presentó una prueba usando la teoría de la medida en 1919. ^{[3] [4]}

Formulación precisa

Cualquier sistema dinámico definido por una ecuación diferencial ordinaria determina un mapa de flujo f ^t que mapea el espacio de fases sobre sí mismo. Se dice que el sistema es preservador de volumen si el volumen de un conjunto en el espacio de fases es invariante bajo el flujo. Por ejemplo, todos los sistemas hamiltonianos son preservadores de volumen debido al teorema de Liouville . El teorema es entonces: Si un flujo preserva el volumen y solo tiene órbitas acotadas, entonces, para cada conjunto abierto, cualquier órbita que interseca este conjunto abierto lo interseca infinitamente a menudo. ^[5] 

Discusión de la prueba

La prueba, hablando cualitativamente, se basa en dos premisas: ^[6]

1. Se puede establecer un límite superior finito para el volumen total del espacio de fases potencialmente accesible. En el caso de un sistema mecánico, este límite se puede proporcionar exigiendo que el sistema esté contenido en una región física acotada del espacio (de modo que no pueda, por ejemplo, expulsar partículas que nunca regresen); combinado con la conservación de la energía, esto encierra al sistema en una región finita en el espacio de fases .
2. El volumen de fase de un elemento finito bajo dinámica se conserva (para un sistema mecánico, esto está asegurado por el teorema de Liouville ).

Imaginemos un volumen inicial finito del espacio de fases y sigamos su trayectoria bajo la dinámica del sistema. El volumen evoluciona a través de un "tubo de fases" en el espacio de fases, manteniendo su tamaño constante. Suponiendo un espacio de fases finito, después de un cierto número de pasos el tubo de fases debe intersecarse consigo mismo. Esto significa que al menos una fracción finita del volumen inicial es recurrente. Ahora, consideremos el tamaño de la porción que no retorna del volumen de fases inicial, esa porción que nunca regresa al volumen inicial. Usando el principio que acabamos de discutir en el último párrafo, sabemos que si la porción que no retorna es finita, entonces una parte finita de ella debe regresar después de algunos pasos. Pero eso sería una contradicción, ya que en un número mcm de paso, tanto y estarían retornando, contra la hipótesis de que solo lo estuvieran. Por lo tanto, la porción que no retorna del volumen inicial no puede ser el conjunto vacío, es decir, todo es recurrente después de un cierto número de pasos. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}=}$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2})}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

El teorema no comenta ciertos aspectos de la recurrencia que esta prueba no puede garantizar:

• Puede haber algunas fases especiales que nunca regresen al volumen de la fase inicial, o que solo regresen al volumen inicial una cantidad finita de veces y luego nunca más regresen. Sin embargo, estas son extremadamente "raras" y constituyen una parte infinitesimal de cualquier volumen inicial.
• No es necesario que todas las partes del volumen de fase regresen al mismo tiempo. Algunas "perderán" el volumen inicial en la primera pasada, para luego regresar en un momento posterior.
• Nada impide que el tubo de fase vuelva por completo a su volumen inicial antes de que se agote todo el volumen de fase posible. Un ejemplo trivial de esto es el oscilador armónico . Los sistemas que cubren todo el volumen de fase accesible se denominan ergódicos (esto, por supuesto, depende de la definición de "volumen accesible").
• Lo que se puede decir es que, para "casi cualquier" fase inicial, un sistema acabará retornando a un punto arbitrariamente cercano a esa fase inicial. El tiempo de recurrencia depende del grado de proximidad requerido (el tamaño del volumen de la fase). Para lograr una mayor precisión de recurrencia, necesitamos tomar un volumen inicial menor, lo que significa un tiempo de recurrencia más largo.
• Para una fase determinada de un volumen, la recurrencia no es necesariamente periódica. El segundo tiempo de recurrencia no tiene por qué ser el doble del primero.

Declaración formal

Dejar

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

sea ​​un espacio de medida finito y sea

${\displaystyle f\colon X\to X}$

ser una transformación que preserva la medida . A continuación se presentan dos enunciados alternativos del teorema.

Teorema 1

Para cualquier , el conjunto de aquellos puntos de para los cuales existe tal que para todos tiene medida cero. ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f^{n}(x)\notin E}$ ${\displaystyle n>N}$

En otras palabras, casi todos los puntos de vuelven a . De hecho, casi todos los puntos vuelven infinitamente a menudo; es decir ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mu \left(\{x\in E:{\text{ there exists }}N{\text{ such that }}f^{n}(x)\notin E{\text{ for all }}n>N\}\right)=0.}$

Teorema 2

La siguiente es una versión topológica de este teorema:

Si es un espacio de Hausdorff de segundo orden numerable y contiene el álgebra sigma de Borel , entonces el conjunto de puntos recurrentes de tiene medida completa. Es decir, casi todos los puntos son recurrentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$

En términos más generales, el teorema se aplica a sistemas conservativos , y no sólo a sistemas dinámicos que preservan la medida. En términos generales, se puede decir que los sistemas conservativos son precisamente aquellos a los que se aplica el teorema de recurrencia.

Versión mecánica cuántica

Para sistemas mecánicos cuánticos independientes del tiempo con estados propios de energía discretos, se cumple un teorema similar. Para cada y existe un tiempo T mayor que , tal que , donde denota el vector de estado del sistema en el tiempo  t . ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T_{0}>0}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon }$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$

Los elementos esenciales de la prueba son los siguientes. El sistema evoluciona en el tiempo según:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle }$

donde son los valores propios de la energía (usamos unidades naturales, por lo que ), y son los estados propios de la energía . La norma al cuadrado de la diferencia del vector de estado en el tiempo y en el tiempo cero se puede escribir como: ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

Podemos truncar la suma en algún n  =  N independientemente de T , porque

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

que puede hacerse arbitrariamente pequeño aumentando N , ya que la suma , que es la norma al cuadrado del estado inicial, converge a 1. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

La suma finita

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

puede hacerse arbitrariamente pequeño para elecciones específicas del tiempo T , de acuerdo con la siguiente construcción. Elija un arbitrario y luego elija T tal que haya números enteros que satisfagan ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle k_{n}}$

${\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta }$,

para todos los números . Para esta elección específica de T , ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$

${\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}$

Así pues, tenemos:

${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}}$.

El vector de estado retorna entonces arbitrariamente cerca del estado inicial . ${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

Véase también

• Mapa del gato de Arnold
• Hipótesis ergódica
• Renacimiento cuántico
• Entropía de densidad del período de recurrencia
• Gráfico de recurrencia
• Conjunto errante

Referencias

1. Poincaré, H. (1890). "Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica". Acta Matemáticas . 13 : 1–270.
2. Poincaré, Œuvres VII, 262–490 (teorema 1 sección 8)
3. Carathéodory, C. (1919). "Über den Wiederkehrsatz von Poincaré". Berl. Sitzungsber : 580–584.
4. Carathéodory, Ges. matemáticas. Schr. IV, 296–301
5. Barreira, Luis (2006). Zambrini, Jean-Claude (ed.). Recurrencia de Poincaré: vieja y nueva . XIV Congreso Internacional de Física Matemática. World Scientific . pp. 415–422. doi :10.1142/9789812704016_0039. ISBN . 978-981-256-201-2.
6. Gibbs, Josiah Willard (1902). Principios elementales de mecánica estadística . Nueva York, NY: Charles Scribner's Sons . Capítulo X.
7. Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). "Teorema de recurrencia cuántica". Phys. Rev. 107 (2): 337–338. Código Bibliográfico :1957PhRv..107..337B. doi :10.1103/PhysRev.107.337.
8. Percival, IC (1961). "Casi periodicidad y el teorema cuántico H". J. Math. Phys. 2 (2): 235–239. Bibcode :1961JMP.....2..235P. doi :10.1063/1.1703705.
9. Schulman, LS (1978). "Nota sobre el teorema de recurrencia cuántica". Phys. Rev. A . 18 (5): 2379–2380. Código Bibliográfico :1978PhRvA..18.2379S. doi :10.1103/PhysRevA.18.2379.

Lectura adicional

• Page, Don N. (25 de noviembre de 1994). "¿Pérdida de información en agujeros negros y/o seres conscientes?". arXiv : hep-th/9411193 .

Enlaces externos

• Padilla, Tony. "El tiempo más largo". Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 2013-11-27 . Consultado el 2013-04-08 .Versión reciente del sitio original.
• "Mapa del gato de Arnold: una ilustración gráfica interactiva del teorema de recurrencia de Poincaré".

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