Parámetros de Courant-Snyder

Conjunto de cantidades en física de aceleradores.

Gráfico unidimensional de posición-momento, que muestra la elipse del haz descrita en términos de los parámetros de Courant-Snyder.

En física de aceleradores , los parámetros de Courant-Snyder (frecuentemente denominados parámetros de Twiss o parámetros CS ) son un conjunto de cantidades utilizadas para describir la distribución de posiciones y velocidades de las partículas en un haz. ^[1] Cuando las posiciones a lo largo de una única dimensión y las velocidades (o momentos) a lo largo de esa dimensión de cada partícula en un haz se trazan en un diagrama de espacio de fases , la ecuación puede dar una elipse que encierre las partículas:

${\displaystyle \gamma x^{2}+2\alpha xx'+\beta x'^{2}=\epsilon }$

donde es el eje de posición y es el eje de velocidad. En esta formulación, , y son los parámetros de Courant-Snyder para el haz a lo largo del eje dado, y es la emitancia . Se pueden calcular tres conjuntos de parámetros para una viga, uno para cada dirección ortogonal , x, y y z. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Historia

El uso de estos parámetros para describir las propiedades del espacio de fase de haces de partículas fue popularizado en la comunidad de física de aceleradores por Ernest Courant y Hartland Snyder en su artículo de 1953, "Teoría del sincrotrón de gradiente alterno". ^[3] También se los conoce ampliamente en la literatura sobre física de aceleradores como "parámetros de Twiss" en honor al astrónomo británico Richard Q. Twiss , aunque no está claro cómo se asoció su nombre con la formulación. ^[4]

Descripción del área del espacio de fase

Al simular el movimiento de partículas a través de un acelerador o una línea de transporte de haz, a menudo es deseable describir las propiedades generales de un conjunto de partículas, en lugar de seguir el movimiento de cada partícula individualmente. ^{[2] : 155} Mediante el teorema de Liouville se puede demostrar que la densidad ocupada en un gráfico de espacio de fase de posición y momento es constante cuando la viga solo se ve afectada por fuerzas conservativas. El área ocupada por el haz en esta gráfica se conoce como emitancia del haz , aunque existen varias definiciones que compiten para la definición matemática exacta de esta propiedad. ^[5]

Coordenadas

En física de aceleradores, las posiciones de coordenadas generalmente se definen con respecto a una partícula de referencia idealizada , que sigue la trayectoria de diseño ideal para el acelerador. La dirección alineada con esta trayectoria se denomina "z" (a veces "s") y también se denomina coordenada longitudinal . Dos ejes de coordenadas transversales, x e y, se definen perpendiculares al eje z y entre sí. ^[6]

Además de describir las posiciones de cada partícula con respecto a la partícula de referencia a lo largo de los ejes x, y y z, también es necesario considerar la tasa de cambio de cada uno de estos valores. Normalmente, esto se da como una tasa de cambio con respecto a la coordenada longitudinal (x' = dx/dz) en lugar de con respecto al tiempo. En la mayoría de los casos, x' e y' son mucho menores que 1, ya que las partículas se moverán a lo largo de la trayectoria del haz mucho más rápido que transversalmente a él. ^{[2] : 30} Dada esta suposición, es posible utilizar la aproximación de ángulos pequeños para expresar x' e y' como ángulos en lugar de simples razones. Como tal, x' e y' se expresan más comúnmente en miliradianes .

Ecuación de elipse

Cuando se dibuja una elipse alrededor de la distribución de partículas en el espacio de fases, la ecuación de la elipse viene dada por:

${\displaystyle \gamma x^{2}+2\alpha xx'+\beta x'^{2}=area}$

"Área" aquí es un área en el espacio de fase y tiene unidades de longitud * ángulo. Algunas fuentes definen el área como la emitancia del haz , mientras que otras lo utilizan . También es posible definir el área como una fracción específica de las partículas en un haz con una distribución gaussiana bidimensional . ^{[5] : 83} ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon /\pi }$

Los otros tres coeficientes, , y , son los parámetros CS. Como esta elipse es una gráfica instantánea de las posiciones y velocidades de las partículas en un punto del acelerador, estos valores variarán con el tiempo. Como sólo hay dos variables independientes, x y x', y la emitancia es constante, sólo dos de los parámetros CS son independientes. La relación entre los tres parámetros viene dada por: ^{[2] : 160} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \beta \gamma -\alpha ^{2}=1}$

Derivación para sistemas periódicos.

Además de tratar los parámetros CS como una descripción empírica de un conjunto de partículas en el espacio de fases, es posible derivarlos basándose en las ecuaciones de movimiento de partículas en campos electromagnéticos. ^[1]

Ecuación de movimiento

En un acelerador de enfoque fuerte , el enfoque transversal lo proporcionan principalmente imanes cuadrupolos . La ecuación lineal de movimiento para el movimiento transversal paralelo a un eje del imán es:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dz^{2}}}=-k(z)x}$

donde está el coeficiente de enfoque , que tiene unidades de longitud ⁻² y solo es distinto de cero en un campo cuadrupolo. ^[6] (Tenga en cuenta que x se usa a lo largo de esta explicación, pero y podría usarse de manera equivalente con un cambio de signo para k. La coordenada longitudinal, z, requiere una derivación algo diferente). ${\displaystyle k(z)}$

Suponiendo que es periódica, por ejemplo, como en un acelerador circular, esta es una ecuación diferencial con la misma forma que la ecuación diferencial de Hill . La solución a esta ecuación es un oscilador pseudoarmónico : ${\displaystyle k(z)}$

${\displaystyle x(z)=A(z)\cos(\phi (z)+\phi _{o})}$

donde A(z) es la amplitud de la oscilación, es la "fase betatrón" que depende del valor de y es la fase inicial. La amplitud se descompone en una parte dependiente de la posición y un valor inicial , tal que: ^[6] ${\displaystyle \phi (z)}$ ${\displaystyle k(z)}$ ${\displaystyle \phi _{o}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A_{o}}$

${\displaystyle x(z)=A_{o}{\sqrt {\beta }}\cos(\phi (z)+\phi _{o})}$

${\displaystyle x'(z)=A_{o}{\frac {\beta '}{2{\sqrt {\beta }}}}\cos(\phi (z)+\phi _{o})-A_{o}{\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\sin(\phi (z)+\phi _{o})}$

(Es importante recordar que ' continúa indicando una derivada con respecto a la posición a lo largo de la dirección de viaje, no con el tiempo).

Distribuciones de partículas

Dadas estas ecuaciones de movimiento, tomando los valores promedio de las partículas en un haz se obtiene: ^{[2] : 163}

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =A_{o}^{2}\beta \langle \cos ^{2}(\phi (z)+\phi _{o})\rangle ={\frac {1}{2}}A_{o}^{2}\beta }$

${\displaystyle \langle {x'}^{2}\rangle =A_{o}^{2}{\frac {(-\beta '/2)^{2}}{2\beta }}+A_{o}^{2}{\frac {1}{2\beta }}=(1+(-\beta '/2)^{2}){\frac {A_{o}^{2}}{2\beta }}}$

${\displaystyle \langle xx'\rangle =-{\frac {A_{o}^{2}}{2}}(-\beta '/2)}$

Estos se pueden simplificar con las siguientes definiciones:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}A_{o}^{2}}$

${\displaystyle \alpha =-{\frac {\beta '}{2}}}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1+\alpha ^{2}}{\beta }}}$

donación:

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =\epsilon \beta }$

${\displaystyle \langle {x'}^{2}\rangle =\epsilon \gamma }$

${\displaystyle \langle xx'\rangle =-\epsilon \alpha }$

Estos son los parámetros CS y la emitancia en otra forma. Combinado con la relación entre los parámetros, esto también conduce a una definición de emitancia para una distribución de partículas arbitraria (no necesariamente gaussiana): ^{[2] : 163}

${\displaystyle \epsilon ^{2}=\langle x^{2}\rangle \langle x'^{2}\rangle -\langle xx'\rangle ^{2}}$

Propiedades

La ventaja de describir una distribución de partículas paramétricamente utilizando los parámetros CS es que la evolución de la distribución general se puede calcular utilizando óptica matricial más fácilmente que rastrear cada partícula individual y luego combinar las ubicaciones en múltiples puntos a lo largo de la trayectoria del acelerador. Por ejemplo, si una distribución de partículas con parámetros , y pasa por un espacio vacío de longitud L, los valores , y al final de ese espacio vienen dados por: ^{[2] : 160} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha (L)}$ ${\displaystyle \beta (L)}$ ${\displaystyle \gamma (L)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\beta (L)\\\alpha (L)\\\gamma (L)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2L&L^{2}\\0&1&-L\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta \\\alpha \\\gamma \end{pmatrix}}}$

Ver también

• Emitancia del haz
• Función beta (física del acelerador)
• Análisis de matriz de transferencia de rayos.

Referencias

1. Holzer, BJ "Introducción a la dinámica de haces transversales" (PDF) . Actas de la Escuela de Aceleradores CAS-CERN: Superconductividad para aceleradores . Escuela Aceleradora CAS-CERN 2013. Erice, Italia: CERN . págs. 21–40.
2. Wiedemann, Helmut (2007). Física del acelerador de partículas (3ª ed.). Berlín: Springer. págs. 158-161. ISBN 978-3-540-49043-2.
3. Courant, ED; Snyder, HS (abril de 2000). "Teoría del sincrotrón de gradiente alterno". Anales de Física . 3 (1–2): 360–408. Código Bib : 2000AnPhy.281..360C. CiteSeerX 10.1.1.548.6222 . doi :10.1006/aphy.2000.6012. 
4. Ruth, Ronald D. (agosto de 2002). "Introducción a los aceleradores de partículas, EJN Wilson Oxford U. Press, Nueva York, 2001. $ 90,00, $ 45,00 en papel (252 págs.). ISBN 0-19-852054-9, ISBN 0-19-850829-8 en papel". Física hoy . 55 (8): 52.doi : 10.1063 /1.1510283 . Consultado el 12 de enero de 2022 .
5. Edwards, DA; Syphers, MJ (1993). Una introducción a la física de los aceleradores de alta energía . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-55163--8.
6. Minty, Michiko G.; Zimmerman, Frank (2003). Medición y Control de Haces de Partículas Cargadas . Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. págs. 6-12. ISBN 3-540-44187-5.