Incrustación de Plücker

En matemáticas , la función de Plücker incrusta el Grassmanniano , cuyos elementos son subespacios de dimensión k de un espacio vectorial de dimensión n V , ya sea real o complejo, en un espacio proyectivo , realizándolo así como una variedad algebraica proyectiva . Más precisamente, la función de Plücker incrusta en la proyectivización de la -ésima potencia exterior de . La imagen es algebraica, y consiste en la intersección de una serie de cuádricas definidas por las § relaciones de Plücker (ver más abajo). ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

La incrustación de Plücker fue definida por primera vez por Julius Plücker en el caso como una forma de describir las líneas en el espacio tridimensional (que, como líneas proyectivas en el espacio proyectivo real, corresponden a subespacios bidimensionales de un espacio vectorial cuatridimensional). La imagen de esa incrustación es la cuádrica de Klein en RP ⁵ . ${\displaystyle k=2,n=4}$

Hermann Grassmann generalizó la incrustación de Plücker a k y n arbitrarios . Las coordenadas homogéneas de la imagen del Grassmaniano bajo la incrustación de Plücker, relativas a la base en el espacio exterior correspondiente a la base natural en (donde es el campo base ) se denominan coordenadas de Plücker . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ ${\displaystyle V=K^{n}}$ ${\displaystyle K}$

Definición

Denotando por el espacio vectorial -dimensional sobre el campo , y por el Grassmanniano de los subespacios -dimensionales de , la incrustación de Plücker es la función ι definida por ${\displaystyle V=K^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota \colon \mathbf {Gr} (k,V)&{}\rightarrow \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V),\\\iota \colon {\mathcal {W}}:=\operatorname {span} (w_{1},\ldots ,w_{k})&{}\mapsto [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],\end{aligned}}}$

donde es una base para el elemento y es la clase de equivalencia proyectiva del elemento de la ésima potencia exterior de . ${\displaystyle (w_{1},\dots ,w_{k})}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}]}$ ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

Se trata de una incorporación del Grassmanniano a la proyectivización . La imagen puede caracterizarse completamente como la intersección de una serie de cuadráticas, las cuadráticas de Plücker (véase más abajo), que se expresan mediante relaciones cuadráticas homogéneas en las coordenadas de Plücker (véase más abajo) que se derivan del álgebra lineal . ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$

El anillo de corchetes aparece como el anillo de funciones polinómicas en . ^[1] ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

Relaciones de Plücker

La imagen bajo la incrustación de Plücker satisface un conjunto simple de relaciones cuadráticas homogéneas, usualmente llamadas relaciones de Plücker o relaciones de Grassmann–Plücker , que definen la intersección de un número de cuádricas en . Esto muestra que las incrustaciones de Grassmann como una subvariedad algebraica de y da otro método para construir el Grassmanniano. Para enunciar las relaciones de Grassmann–Plücker, sea el subespacio -dimensional generado por la base representada por vectores columna . Sea la matriz de coordenadas homogéneas, cuyas columnas son . Entonces la clase de equivalencia de todas esas matrices de coordenadas homogéneas relacionadas entre sí por multiplicación derecha por una matriz invertible puede identificarse con el elemento . Para cualquier secuencia ordenada de números enteros, sea el determinante de la matriz cuyas filas son las filas de . Entonces, hasta la proyectivización, son las coordenadas de Plücker del elemento cuyas coordenadas homogéneas son . Son las coordenadas lineales de la imagen de bajo el mapa de Plücker, relativas a la base estándar en el espacio exterior . Al cambiar la base que define la matriz de coordenadas homogénea , se modifican simplemente las coordenadas de Plücker por un factor de escala distinto de cero igual al determinante de la matriz de cambio de base y, por lo tanto, se modifica simplemente el representante de la clase de equivalencia proyectiva en . ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W_{1},\dots ,W_{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W_{1},\dots ,W_{k}}$ ${\displaystyle [W]}$ ${\displaystyle Wg\sim W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle g\in \mathbf {GL} (k,K)}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots i_{k})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{W_{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\sim [W]\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \iota ({\mathcal {W}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

Para dos secuencias ordenadas cualesquiera:

${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k-1},\quad j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k+1}}$

de números enteros positivos , las siguientes ecuaciones homogéneas son válidas y determinan la imagen de bajo el mapa de Plücker: ^[2] ${\displaystyle 1\leq i_{l},j_{m}\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

donde denota la secuencia con el término omitido. Estas se conocen generalmente como relaciones de Plücker . ${\displaystyle j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l}\dots j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{1},\dots ,\dots j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{l}}$

Cuando dim( V ) = 4 y k = 2 , obtenemos , el Grassmanniano más simple que no es un espacio proyectivo, y lo anterior se reduce a una sola ecuación. Denotando las coordenadas de por ${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{2}V}$

${\displaystyle W_{ij}=-W_{ji},\quad 1\leq i,j\leq 4,}$

La imagen de debajo del mapa de Plücker está definida por la ecuación única ${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,V)}$

${\displaystyle W_{12}W_{34}-W_{13}W_{24}+W_{14}W_{23}=0.}$

En general, se necesitan muchas más ecuaciones para definir la imagen de la incrustación de Plücker, como en ( 1 ), pero éstas no son, en general, algebraicamente independientes . El número máximo de relaciones algebraicamente independientes (en conjuntos abiertos de Zariski) está dado por la diferencia de dimensión entre y , que es ${\displaystyle \mathbf {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}-k(n-k)-1.}$

Referencias

1. Björner, Anders ; Las Vergnas, Michel ; Sturmfels, Bernd ; White, Neil; Ziegler, Günter (1999), Matroides orientadas , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 46 (2.ª ed.), Cambridge University Press , pág. 79, doi :10.1017/CBO9780511586507, ISBN 0-521-77750-X, Zbl  0944.52006
2. Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library (2.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , pág. 211, ISBN 0-471-05059-8, MR  1288523, Zbl  0836.14001

Lectura adicional

• Molinero, Esdras; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 227. Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0.Zbl 1090.13001  .