Línea filo

Tipo de segmento de línea

En geometría , la línea de Filón es un segmento de línea definido a partir de un ángulo y un punto dentro del ángulo como el segmento de línea más corto a través del punto que tiene sus extremos en los dos lados del ángulo. También conocida como la línea de Filón , recibe su nombre de Filón de Bizancio , un escritor griego sobre dispositivos mecánicos, que vivió probablemente durante el siglo I o II a. C. Filón usó la línea para duplicar el cubo ; ^{[1] [2]} porque duplicar el cubo no se puede hacer con una construcción con regla y compás , tampoco se puede construir la línea de Filón. ^{[1] [3]}

Caracterización geométrica

La línea filo de un punto P y un ángulo DOE , y la igualdad definitoria de las distancias desde P y Q hasta los extremos de DE , donde Q es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo.

El punto de definición de una línea de Philo y la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo a la línea son equidistantes de los puntos finales de la línea. Es decir, supongamos que el segmento es la línea de Philo para el punto y el ángulo , y sea la base de una línea perpendicular a . Entonces y . ^[1] ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle DOE}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle OQ}$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle DP=EQ}$ ${\displaystyle DQ=EP}$

Por el contrario, si y son dos puntos cualesquiera equidistantes de los extremos de un segmento de línea , y si es cualquier punto en la línea que pasa por que es perpendicular a , entonces es la línea de Filón para el ángulo y el punto . ^[1] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle DOE}$ ${\displaystyle P}$

Construcción algebraica

Una fijación adecuada de la línea dadas las direcciones desde a y desde a y la ubicación de en ese triángulo infinito se obtiene mediante el siguiente álgebra: ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$

El punto se coloca en el centro del sistema de coordenadas, la dirección de a define la coordenada horizontal y la dirección de a define la línea con la ecuación en el sistema de coordenadas rectilíneas. es la tangente del ángulo en el triángulo . Luego tiene las coordenadas cartesianas y la tarea es encontrar en el eje horizontal y en el otro lado del triángulo. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle y{=}mx}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle DOE}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P_{x},P_{y})}$ ${\displaystyle E=(E_{x},0)}$ ${\displaystyle D=(D_{x},D_{y})=(D_{x},mD_{x})}$

La ecuación de un conjunto de rectas con inclinaciones que pasan por el punto es ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (x,y)=(P_{x},P_{y})}$

${\displaystyle y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}.}$

Estas líneas intersecan el eje horizontal en

${\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=0}$

cual tiene la solucion

${\displaystyle (E_{x},E_{y})=\left(P_{x}-{\frac {P_{y}}{\alpha }},0\right).}$

Estas líneas intersecan el lado opuesto en ${\displaystyle y=mx}$

${\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=mx}$

cual tiene la solucion

${\displaystyle (D_{x},D_{y})=\left({\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}},m{\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}}\right).}$

La distancia euclidiana al cuadrado entre las intersecciones de la línea horizontal y la diagonal es

${\displaystyle ED^{2}=d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {m^{2}(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}.}$

La línea de Philo se define por el mínimo de esa distancia en menos . ${\displaystyle \alpha }$

Una expresión aritmética para la ubicación del mínimo se obtiene fijando la derivada , de modo que ${\displaystyle \partial d^{2}/\partial \alpha =0}$

${\displaystyle -2m^{2}{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})[(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{3}(\alpha -m)^{3}}}=0.}$

Entonces, calculando la raíz del polinomio en el numerador,

${\displaystyle (mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m=0}$

determina la pendiente de la línea particular en el conjunto de líneas que tiene la longitud más corta. [El mínimo global en la inclinación desde la raíz del otro factor no es de interés; no define un triángulo, pero significa que la línea horizontal, la diagonal y la línea del conjunto se intersecan en .] ${\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}$ ${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle -\alpha }$es la tangente del ángulo . ${\displaystyle OED}$

Invirtiendo la ecuación anterior como y reemplazando esto en la ecuación anterior, se encuentra que es una raíz del polinomio cúbico. ${\displaystyle \alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle mx^{3}+(2P_{y}-3mP_{x})x^{2}+3P_{x}(mP_{x}-P_{y})x-(mP_{x}-P_{y})(P_{x}^{2}+P_{y}^{2}).}$

Entonces, al resolver esa ecuación cúbica, se encuentra la intersección de la línea de Philo en el eje horizontal. Al introducir la misma expresión en la expresión para la distancia al cuadrado, se obtiene

${\displaystyle d^{2}={\frac {P_{y}^{2}+x^{2}-2xP_{x}+P_{x}^{2}}{(P_{y}+mx-mP_{x})^{2}}}x^{2}m^{2}.}$

Ubicación de Q {\estilo de visualización Q}

Como la línea es ortogonal a , su pendiente es , por lo que los puntos de esa línea son . Las coordenadas del punto se calculan intersectando esta línea con la línea de Philo, . da como resultado ${\displaystyle OQ}$ ${\displaystyle ED}$ ${\displaystyle -1/\alpha }$ ${\displaystyle y=-x/\alpha }$ ${\displaystyle Q=(Q_{x},Q_{y})}$ ${\displaystyle y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}}$ ${\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=-x/\alpha }$

${\displaystyle Q_{x}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})\alpha }{1+\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle Q_{y}=-Q_{x}/\alpha ={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{1+\alpha ^{2}}}}$

Con las coordenadas que se muestran arriba, la distancia al cuadrado de a es ${\displaystyle (D_{x},D_{y})}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle DQ^{2}=(D_{x}-Q_{x})^{2}+(D_{y}-Q_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha m)^{2}}{(1+\alpha ^{2})(\alpha -m)^{2}}}}$.

La distancia al cuadrado de a es ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle EP^{2}\equiv (E_{x}-P_{x})^{2}+(E_{y}-P_{y})^{2}={\frac {P_{y}^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}}$.

La diferencia entre estas dos expresiones es

${\displaystyle DQ^{2}-EP^{2}={\frac {[(P_{x}m+P_{y})\alpha ^{3}+(P_{x}-2P_{y}m)\alpha ^{2}-P_{y}m][(P_{x}m-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{2}(1+\alpha ^{2})(a-m)^{2}}}}$.

Dada la ecuación cúbica anterior, que es uno de los dos polinomios cúbicos del numerador, este es cero. Esta es la prueba algebraica de que la minimización de conduce a . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle DQ=PE}$

Caso especial: ángulo recto

La ecuación de un conjunto de rectas con inclinación que pasan por el punto , , tiene una intersección con el eje dado anteriormente. Si forman un ángulo recto, el límite del apartado anterior da como resultado el siguiente caso especial: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (x,y)=(P_{x},P_{y})}$ ${\displaystyle P_{x},P_{y}>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle DOE}$ ${\displaystyle m\to \infty }$

Estas líneas intersecan el eje en ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \alpha (-P_{x})+P_{y}}$

cual tiene la solucion

${\displaystyle (D_{x},D_{y})=(0,P_{y}-\alpha P_{x}).}$

La distancia euclidiana al cuadrado entre las intersecciones de la línea horizontal y las líneas verticales es

${\displaystyle d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}.}$

La línea de Philo se define por el mínimo de esa curva (en negativo ). Una expresión aritmética para la ubicación del mínimo es donde la derivada , por lo que ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \partial d^{2}/\partial \alpha =0}$

${\displaystyle 2{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})(P_{x}\alpha ^{3}+P_{y})}{\alpha ^{3}}}=0}$

equivalente a

${\displaystyle \alpha =-{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle d={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{|\alpha |}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}=P_{x}[1+(P_{y}/P_{x})^{2/3}]^{3/2}.}$

Alternativamente, invirtiendo las ecuaciones anteriores como y reemplazando esto en otra ecuación anterior, se encuentra ${\displaystyle \alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})}$

${\displaystyle E_{x}=P_{x}+P_{y}{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}.}$

Duplicando el cubo

La línea de Filón se puede utilizar para duplicar el cubo , es decir, para construir una representación geométrica de la raíz cúbica de dos, y este fue el propósito de Filón al definir esta línea. Específicamente, sea un rectángulo cuya relación de aspecto es , como en la figura. Sea la línea de Filón del punto con respecto al ángulo recto . Defina punto como el punto de intersección de la línea y del círculo a través de los puntos . Debido a que el triángulo está inscrito en el círculo con como diámetro, es un triángulo rectángulo y es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo a la línea de Filón. ${\displaystyle PQRS}$ ${\displaystyle PQ:QR}$ ${\displaystyle 1:2}$ ${\displaystyle TU}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle QRS}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle TU}$ ${\displaystyle PQRS}$ ${\displaystyle RVP}$ ${\displaystyle RP}$ ${\displaystyle V}$

Sea el punto donde la recta cruza una recta perpendicular a través de . Entonces las igualdades de los segmentos , , y se siguen de la propiedad característica de la recta de Filón. La semejanza de los triángulos rectángulos , , y se sigue de la bisección perpendicular de los triángulos rectángulos. Combinando estas igualdades y semejanzas se obtiene la igualdad de proporciones o, de manera más concisa , . Dado que el primer y el último término de estas tres proporciones iguales están en la razón , las proporciones mismas deben ser todas , la proporción que se requiere para duplicar el cubo. ^[4] ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle QR}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle RS=PQ}$ ${\displaystyle RW=QU}$ ${\displaystyle WU=RQ}$ ${\displaystyle PQU}$ ${\displaystyle RWV}$ ${\displaystyle VWU}$ ${\displaystyle RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ}$ ${\displaystyle RS:RW=RW:WV=WV:RQ}$ ${\displaystyle 1:2}$ ${\displaystyle 1:{\sqrt[{3}]{2}}}$

Dado que duplicar el cubo es imposible con una construcción con regla y compás , es igualmente imposible construir la línea de Philo con estas herramientas. ^{[1] [3]}

Minimizar el área

Dados el punto y el ángulo , una variante del problema puede minimizar el área del triángulo . Con las expresiones para y dadas anteriormente, el área es la mitad del producto de la altura por la longitud de la base, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle DOE}$ ${\displaystyle OED}$ ${\displaystyle (E_{x},E_{y})}$ ${\displaystyle (D_{x},D_{y})}$

${\displaystyle A=D_{y}E_{x}/2={\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}}{2\alpha (\alpha -m)}}}$.

Encontrar la pendiente que minimiza el área significa establecer , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \partial A/\partial \alpha =0}$

${\displaystyle -{\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})[(mP_{x}-2P_{y})\alpha +P_{y}m]}{2\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}=0}$.

Descartando nuevamente la raíz que no define un triángulo, la pendiente es en ese caso ${\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}$

${\displaystyle \alpha =-{\frac {mP_{y}}{mP_{x}-2P_{y}}}}$

y el área mínima

${\displaystyle A={\frac {2P_{y}(mP_{x}-P_{y})}{m}}}$.

Referencias

1. Eves, Howard (1965). Un estudio de la geometría . Vol. 2. Boston: Allyn y Bacon. págs. 39, 234–236.
2. Wells, David (1991). "La línea de Philo". Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante . Penguin Books. págs. 182-183.
3. Kimberling, Clark (2003). Geometría en acción: un enfoque de descubrimiento utilizando el cuaderno de dibujo del geómetra. Emeryville, California: Key College Publishing. págs. 115-116. ISBN 1-931914-02-8.
4. Coxeter, HSM ; van de Craats, Jan (1993). "Líneas de Philon en planos no euclidianos". Journal of Geometry . 48 (1–2): 26–55. doi :10.1007/BF01226799. MR  1242701. S2CID  120488240.

Lectura adicional

• Neovio, Eduard (1888). "Ueber eine specielle geometrische Aufgabe des Mínimos". Annalen Matemáticas . 31 (3): 359–362. doi :10.1007/BF01206220. S2CID  123120289.
• Neuberg, J. (1907). "Sobre un mínimo". Matesis : 68–69.
• Wetterling, WWE (1996). "La línea de Philon generalizada: un problema de optimización desde la geometría" (PDF) . Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 90 (3): 517–521. doi :10.1007/BF02189793. MR  1402620. S2CID  119699906.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Línea Philo". MundoMatemático .