Enfoque Papoulis-Marks-Cheung

Teorema de la teoría del muestreo

El enfoque de Papoulis-Marks-Cheung ^[1] es un teorema de la teoría de muestreo multidimensional de Shannon que muestra que la densidad de muestreo de una función bidimensional limitada en banda se puede reducir al soporte de la transformada de Fourier de la función. Aplicando una generalización multidimensional de un teorema de Athanasios Papoulis ^[2] , el enfoque fue propuesto por primera vez por Robert J. Marks II y Kwang Fai Cheung. ^{[3] [4]} El enfoque ha sido calificado de "elegante", ^[5] "notablemente" cerrado, ^[6] e "interesante". ^[7]

El teorema

La transformada de Fourier bidimensional , o espectro de frecuencias, de una función  es ^[8] donde  y  son las frecuencias espaciales correspondientes a  y . Cuando  y son longitudes, la frecuencia espacial tiene unidades de ciclos por unidad de longitud. ${\displaystyle f(x,y)}$ $${\displaystyle F(u_{x},y_{y})=\iint \limits _{x,y}f(x,y){\rm {e}}^{-i2\pi (xu_{x}+yu_{y})}\operatorname {d} \!x\operatorname {d} \!y}$$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Prelee y Neuhoff ^[1] describen el enfoque de Papoulis-Marks-Cheung de la siguiente manera.

"Marks y Cheung se centraron en imágenes con una región de soporte espectral dada y una red de muestreo base inicial de modo que las réplicas espectrales inducidas de esta región de soporte no se superpusieran. Luego demostraron que los cosets de alguna subred se podían eliminar de la red base hasta que la densidad de muestreo fuera mínima... o se acercara al mínimo... [Esto] permite reducir la tasa de muestreo hasta que iguale o se acerque a... [un] mínimo". En este contexto, el límite es el área de soporte del espectro".

Para obtener su resultado, Marks y Cheung se basaron en la expansión de muestreo generalizada de Papoulis. ^{[2] [9]}

Explicación

Figura 1: (Izquierda) Soporte espectral en semicírculo . Fuera del semicírculo, el espectro es idéntico a cero. (Derecha) Réplica rectangular sin superposición y sin alias del soporte del espectro de la izquierda.

El método Papoulis-Marks-Cheung se explica mejor con un ejemplo. Consideremos en la Figura 1 el semicírculo que se muestra en el semiplano derecho. El espectro de una señal, , es cero fuera del semicírculo. Dentro del círculo, el espectro es arbitrario pero se comporta bien. ^[9] El semicírculo, con radio unitario, tiene un área de   (ciclos por unidad de longitud) al cuadrado. ${\displaystyle F(u_{x},u_{y})}$ ${\displaystyle \pi /2=1.5708}$

Según el método de Papoulis-Marks-Cheung, la densidad de muestreo de la imagen  se puede reducir a muestras por unidad de área. El método de Papoulis-Marks-Cheung explica cómo hacerlo. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle 1.5708}$

A la derecha de la Figura 1 se muestra una réplica rectangular del semicírculo que se produce cuando se muestrea la función bidimensional en las ubicaciones espaciales que se muestran en la Figura 2.

Figura 2: Esta geometría de muestreo da lugar a la replicación espectral de la derecha en la Figura 1.

Esta replicación es una consecuencia del teorema de muestreo multidimensional que muestra que el muestreo de una señal bidimensional en el  dominio espacial da como resultado una replicación del espectro en el dominio de Fourier. Si la densidad de muestreo uniforme fuera menor, las replicaciones se superpondrían y un intento de reconstrucción de la función original daría como resultado un aliasing de imagen . La densidad de muestreo para lograr esto es igual al área de la celda reticular rectangular de la replicación del espectro. El área correspondiente del rectángulo utilizado en la replicación es igual a (ciclos por unidad de longitud) al cuadrado. Como lo confirma la Figura 2, la densidad de muestreo necesaria para lograr la replicación espectral es, por lo tanto, muestras por unidad de área. El enfoque de Papoulis-Marks-Cheung dice que esta densidad de muestreo se puede reducir al área del semicírculo, es decir, de a muestras por unidad de área. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1.5708}$

Figura 3: El espectro de soporte del semicírculo dividido en 32 cuadrados.

Para ver cómo se produce esta reducción, considere la Figura 3, donde la celda reticular rectangular está dividida en cuadrados idénticos. Observe que dos de estos cuadrados se encuentran totalmente en un área donde la replicación espectral es idénticamente cero. Estos cuadrados están sombreados en verde claro. Piense en cada uno de los cuadrados como espectros de diferentes señales bidimensionales. Todas las muestras de las señales correspondientes a las áreas de color verde claro son cero y no tienen que considerarse. El área de los dos cuadrados verdes es . Dado que las muestras correspondientes a estos cuadrados no tienen que considerarse (son todas cero), la densidad de muestreo general se reduce de muestras por unidad de área a muestras por unidad de área. ${\displaystyle 1\times 2}$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle 2/32=1/16=0.0625}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2-0.0625=1.9375}$

Figura 4: Reducción de la densidad de muestreo: Los puntos rojos son lugares donde no es necesario tomar muestras.

La reducción correspondiente en la densidad de muestreo se muestra en la Figura 4, donde los puntos rojos son lugares donde no es necesario tomar muestras. Una sola celda que contiene un punto rojo se muestra sombreada. El área de la celda es La reducción correspondiente en la densidad de muestreo se muestra en la Figura 4, donde los puntos rojos son lugares donde no es necesario tomar muestras. Una sola celda que contiene un punto rojo se muestra sombreada. El área de la celda es unidades. Por lo tanto, la densidad de muestreo se reduce en muestras por unidad de área, como también se ve en las áreas de dos cuadrados verdes en la Figura 3 . ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 1/16}$

Extensión

En el ejemplo anterior, los cuadrados de la Figura 3 pueden hacerse arbitrariamente pequeños y aumentarse en número de modo que, asintóticamente, se pueda cubrir toda el área igual a cero. De este modo, la densidad de muestreo puede reducirse hasta el soporte del espectro, es decir, hasta el área donde el espectro no es idénticamente cero.

El método de Papoulis-Marks-Cheung se puede generalizar sin problemas a dimensiones superiores. Además, la geometría de replicación no tiene por qué ser rectangular, sino que puede tener cualquier forma que cubra todo el  plano, como paralelogramos y hexágonos. ^[10] ${\displaystyle (x,y)}$

Una descripción matemática más detallada del enfoque de Papoulis-Marks-Cheung está disponible en el artículo original de Marks y Cheung ^[4] y su trabajo derivado. ^{[11] [9]}

Referencias

1. Prelee, Matthew A.; Neuhoff, David L. (mayo de 2016). "Muestreo y reconstrucción multidimensional de Manhattan". IEEE Transactions on Information Theory . 62 (5): 2772–2787. arXiv : 1502.01694 . doi : 10.1109/TIT.2016.2542081 . ISSN  0018-9448. S2CID  3199882.
2. Papoulis, A. (noviembre de 1977). "Expansión de muestreo generalizada". IEEE Transactions on Circuits and Systems . 24 (11): 652–654. doi :10.1109/TCS.1977.1084284. ISSN  0098-4094.
3. Marks, Robert J. (1986-02-01). "Dependencia de la muestra de señales multidimensionales en densidades de Nyquist". JOSA A . 3 (2): 268–273. Bibcode :1986JOSAA...3..268M. doi :10.1364/JOSAA.3.000268. ISSN  1520-8532.
4. Cheung, Kwan F.; Marks, Robert J. (1990-01-01). "Muestreo de imágenes por debajo de la densidad de Nyquist sin aliasing". JOSA A . 7 (1): 92–105. Bibcode :1990JOSAA...7...92C. doi :10.1364/JOSAA.7.000092. ISSN  1520-8532.
5. Gardos, TR; Mersereau, RM (1991). "Filtración FIR de imágenes en una red con muestras borradas periódicamente". [Actas] ICASSP 91: Conferencia internacional de 1991 sobre acústica, habla y procesamiento de señales . pp. 2873–2876 vol.4. doi :10.1109/ICASSP.1991.151002. ISBN 0-7803-0003-3.S2CID 121408946  .
6. Bresler, Y.; Feng, Ping (1996). "Muestreo de frecuencia mínima ciego al espectro y reconstrucción de señales multibanda 2-D". Actas de la 3.ª Conferencia Internacional IEEE sobre Procesamiento de Imágenes . Vol. 1. págs. 701–704 vol.1. doi :10.1109/ICIP.1996.559595. ISBN 0-7803-3259-8.S2CID 44441155  .
7. Herley, Cormac; Wong, Ping Wah; Miembro sénior (1999). "Muestreo de frecuencia mínima y reconstrucción de señales con soporte de frecuencia arbitraria". IEEE Trans. Inform. Theory . 45 (5): 1555–1564. CiteSeerX 10.1.1.83.8638 . doi :10.1109/18.771158. 
8. Cohen, Leon (1995). Análisis de tiempo-frecuencia . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-594532-1.OCLC 31516509  .
9. Marks, Robert J. II (2009). Manual de análisis de Fourier y sus aplicaciones . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-533592-7.OCLC 227191901  .
10. Dudgeon, Dan E. (1984). Procesamiento de señales digitales multidimensionales . Russell M. Mersereau. Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-604959-1.OCLC 9282699  .
11. Cheung, Kwang F. (6 de diciembre de 2012). "Una extensión multidimensional de la expansión de muestreo generalizada de Papoulis con aplicación en densidad de muestreo mínima". En Marks, Robert J. II (ed.). Temas avanzados en muestreo de Shannon y teoría de interpolación . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-9757-1.