Lema de Osgood

En matemáticas, el lema de Osgood , introducido por William Fogg Osgood  (1899), es una proposición de análisis complejo que afirma que una función continua de varias variables complejas que es holomorfa en cada variable por separado es holomorfa. La suposición de que la función es continua se puede descartar, pero esa forma del lema es mucho más difícil de demostrar y se conoce como teorema de Hartogs .

No existe un análogo de este resultado para variables reales. Si suponemos que una función es globalmente continua y diferenciable por separado en cada variable (todas las derivadas parciales existen en todas partes), no es cierto que necesariamente sea diferenciable. Un contraejemplo en dos dimensiones viene dado por ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x,y)={\dfrac {2x^{2}y+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Si además definimos , esta función es continua en todas partes y tiene derivadas parciales bien definidas en y en todas partes (también en el origen), pero no es diferenciable en el origen. ${\displaystyle f(0,0)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Referencias

• Osgood, William F. (1899), "Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen" (PDF) , Mathematische Annalen , 52 , Springer Berlin / Heidelberg: 462–464, doi :10.1007/BF01476172, ISSN  0025-5831
• Gunning, Robert Clifford; Rossi, Hugo (2009). Funciones analíticas de varias variables complejas. ISBN 978-0-8218-2165-7.