Diagonalización ortogonal

En álgebra lineal , una diagonalización ortogonal de una matriz normal (por ejemplo, una matriz simétrica ) es una diagonalización mediante un cambio ortogonal de coordenadas. ^[1]

El siguiente es un algoritmo de diagonalización ortogonal que diagonaliza una forma cuadrática q ( x ) en ⁿ por medio de un cambio ortogonal de coordenadas X  =  PY . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Paso 1: encuentra la matriz simétrica A que representa q y encuentra su polinomio característico ${\displaystyle \Delta (t).}$
• Paso 2: encuentra los valores propios de A que son las raíces de . ${\displaystyle \Delta (t)}$
• Paso 3: para cada valor propio de A del paso 2, encuentre una base ortogonal de su espacio propio . ${\displaystyle \lambda }$
• Paso 4: normalizar todos los vectores propios en el paso 3 que luego forman una base ortonormal de ⁿ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Paso 5: sea P la matriz cuyas columnas son los vectores propios normalizados en el paso 4.

Entonces X = PY es el cambio ortogonal de coordenadas requerido, y las entradas diagonales de serán los valores propios que corresponden a las columnas de P. ${\displaystyle P^{T}AP}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

Referencias

1. Poole, D. (2010). Álgebra lineal: una introducción moderna (en holandés). Cengage Learning. pág. 411. ISBN 978-0-538-73545-2. Recuperado el 12 de noviembre de 2018 .
2. Seymour Lipschutz 3000 problemas resueltos en álgebra lineal.

• Maxime Bôcher (con EPR DuVal) (1907) Introducción al álgebra superior , § 45 Reducción de una forma cuadrática a una suma de cuadrados a través de HathiTrust