Optimización de Enjambre de partículas

Método de simulación iterativo.

Un enjambre de partículas en busca del mínimo global de una función

En ciencia computacional , la optimización por enjambre de partículas ( PSO ) ^[1] es un método computacional que optimiza un problema tratando iterativamente de mejorar una solución candidata con respecto a una medida de calidad determinada. Resuelve un problema al tener una población de soluciones candidatas, aquí denominadas partículas , y mover estas partículas en el espacio de búsqueda de acuerdo con una fórmula matemática simple sobre la posición y velocidad de la partícula . El movimiento de cada partícula está influenciado por su posición local más conocida, pero también se guía hacia las posiciones mejor conocidas en el espacio de búsqueda, que se actualizan a medida que otras partículas encuentran mejores posiciones. Se espera que esto impulse al enjambre hacia las mejores soluciones.

PSO se atribuye originalmente a Kennedy , Eberhart y Shi ^{[2] [3]} y inicialmente estaba destinado a simular el comportamiento social , ^[4] como una representación estilizada del movimiento de organismos en una bandada de pájaros o un banco de peces . Se simplificó el algoritmo y se observó que estaba realizando optimización. El libro de Kennedy y Eberhart ^[5] describe muchos aspectos filosóficos de PSO y la inteligencia de enjambre . Poli realiza un estudio exhaustivo de las solicitudes de PSO . ^{[6] [7]} En 2017, Bonyadi y Michalewicz publicaron una revisión exhaustiva de trabajos teóricos y experimentales sobre PSO. ^[1]

PSO es una metaheurística ya que hace pocas o ninguna suposición sobre el problema que se está optimizando y puede buscar espacios muy grandes de soluciones candidatas. Además, PSO no utiliza el gradiente del problema que se está optimizando, lo que significa que PSO no requiere que el problema de optimización sea diferenciable como lo requieren los métodos de optimización clásicos, como el descenso de gradiente y los métodos cuasi-newton . Sin embargo, metaheurísticas como PSO no garantizan que alguna vez se encuentre una solución óptima.

Algoritmo

Una variante básica del algoritmo PSO funciona teniendo una población (llamada enjambre) de soluciones candidatas (llamadas partículas). Estas partículas se mueven en el espacio de búsqueda según unas pocas fórmulas sencillas. ^[8] Los movimientos de las partículas están guiados por su propia posición más conocida en el espacio de búsqueda, así como por la posición más conocida de todo el enjambre. Cuando se descubran posiciones mejoradas, éstas guiarán los movimientos del enjambre. El proceso se repite y al hacerlo se espera, aunque no se garantiza, que finalmente se descubra una solución satisfactoria.

Formalmente, sea f : ℝ ⁿ  → ℝ la función de costos que debe minimizarse. La función toma una solución candidata como argumento en forma de un vector de números reales y produce un número real como salida que indica el valor de la función objetivo de la solución candidata dada. Se desconoce el gradiente de f . El objetivo es encontrar una solución a para la cual f ( a ) ≤  f ( b ) para todo b en el espacio de búsqueda, lo que significaría que a es el mínimo global.

Sea S el número de partículas en el enjambre, cada una de las cuales tiene una posición x _i  ∈ ℝ ⁿ en el espacio de búsqueda y una velocidad v _i  ∈ ℝ ⁿ . Sea p _i la posición mejor conocida de la partícula i y sea g la posición mejor conocida de todo el enjambre. Un algoritmo PSO básico para minimizar la función de costos es entonces: ^[9]

para cada partícula i  = 1, ...,  S  inicialice la posición de la partícula con un vector aleatorio distribuido uniformemente : x i  ~  U ( b lo ,  b up ) Inicialice la posición más conocida de la partícula a su posición inicial: p i  ←  x i  si  f ( p i ) < f ( g ) luego actualice la posición más conocida del enjambre: g  ←  p i Inicialice la velocidad de la partícula: v i  ~  U (- | b arriba - b lo |, | b arriba - b lo |) mientras no se cumpla un criterio de terminación hacer : para cada partícula i  = 1, ...,  S  hacer  para cada dimensión d  = 1, ...,  n  Elija números aleatorios: r p , r g ~ U (0,1) Actualiza la velocidad de la partícula: v i,d  ← w v i,d + φ p  r p ( p i,d - x i,d ) + φ g  r g ( g d - x i,d ) Actualiza la posición de la partícula: x i  ←  x i + v i  si  f ( x i ) < f ( p i ) entonces Actualiza la posición más conocida de la partícula: p i  ←  x i  si  f ( p i ) < f ( g ) entonces Actualiza la posición más conocida del enjambre: g  ←  p i

Los valores b _lo y b _up representan los límites inferior y superior del espacio de búsqueda respectivamente. El parámetro w es el peso de inercia. Los parámetros φ _p y φ _g a menudo se denominan coeficiente cognitivo y coeficiente social.

El criterio de terminación puede ser el número de iteraciones realizadas o una solución donde se encuentre el valor adecuado de la función objetivo. ^[10] Los parámetros w, φ _p y φ _g son seleccionados por el profesional y controlan el comportamiento y la eficacia del método PSO (a continuación).

Selección de parámetros

Panorama de rendimiento que muestra cómo se desempeña una variante de PSO simple en conjunto en varios problemas de referencia al variar dos parámetros de PSO.

La elección de los parámetros de PSO puede tener un gran impacto en el rendimiento de la optimización. Por lo tanto, la selección de parámetros de PSO que produzcan un buen rendimiento ha sido objeto de mucha investigación. ^{[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]}

Para evitar la divergencia ("explosión"), el peso de inercia debe ser menor que 1. Los otros dos parámetros pueden luego derivarse gracias al enfoque de constricción, ^[16] o seleccionarse libremente, pero los análisis sugieren dominios de convergencia para restringirlos. Los valores típicos están en . ${\displaystyle [1,3]}$

Los parámetros de PSO también se pueden ajustar utilizando otro optimizador superpuesto, un concepto conocido como metaoptimización , ^{[20] [21] [22] [23]} o incluso ajustarse durante la optimización, por ejemplo, mediante lógica difusa. ^{[24] [25]}

También se han ajustado los parámetros para varios escenarios de optimización. ^{[26] [27]}

Barrios y topologías

La topología del enjambre define el subconjunto de partículas con las que cada partícula puede intercambiar información. ^[28] La versión básica del algoritmo utiliza la topología global como estructura de comunicación de enjambre. ^[10] Esta topología permite que todas las partículas se comuniquen con todas las demás partículas, por lo que todo el enjambre comparte la misma mejor posición g de una sola partícula. Sin embargo, este enfoque podría llevar al enjambre a quedar atrapado en un mínimo local, ^[29] por lo que se han utilizado diferentes topologías para controlar el flujo de información entre las partículas. Por ejemplo, en topologías locales, las partículas sólo comparten información con un subconjunto de partículas. ^[10] Este subconjunto puede ser geométrico ^[30] – por ejemplo "las m partículas más cercanas" – o, más a menudo, social, es decir, un conjunto de partículas que no depende de ninguna distancia. En tales casos, se dice que la variante PSO es la mejor a nivel local (frente a la mejor opción global para la PSO básica).

Una topología de enjambre comúnmente utilizada es la de anillo, en la que cada partícula tiene sólo dos vecinas, pero hay muchas otras. ^[10] La topología no es necesariamente estática. De hecho, dado que la topología está relacionada con la diversidad de comunicación de las partículas, ^[31] se han hecho algunos esfuerzos para crear topologías adaptativas (SPSO, ^[32] APSO, ^[33] estrella estocástica, ^[34] TRIBES, ^{[35] ]} Cyber ​​Swarm, ^[36] y C-PSO ^[37] )

Al utilizar la topología en anillo, PSO puede lograr un paralelismo a nivel de generación, mejorando significativamente la velocidad evolutiva. ^[38]

funcionamiento interno

Existen varias escuelas de pensamiento sobre por qué y cómo el algoritmo PSO puede realizar la optimización.

Una creencia común entre los investigadores es que el comportamiento del enjambre varía entre un comportamiento exploratorio, es decir, buscar en una región más amplia del espacio de búsqueda, y un comportamiento explotador, es decir, una búsqueda orientada localmente para acercarse a un (posiblemente local) óptimo. Esta escuela de pensamiento ha prevalecido desde los inicios de PSO. ^{[3] [4] [12] [16]} Esta escuela de pensamiento sostiene que el algoritmo PSO y sus parámetros deben elegirse de manera que se equilibre adecuadamente entre exploración y explotación para evitar una convergencia prematura a un óptimo local y aún así garantizar una buena tasa. de convergencia al óptimo. Esta creencia es la precursora de muchas variantes de PSO, ver más abajo.

Otra escuela de pensamiento es que el comportamiento de un enjambre de PSO no se comprende bien en términos de cómo afecta el rendimiento de optimización real, especialmente para espacios de búsqueda de dimensiones superiores y problemas de optimización que pueden ser discontinuos, ruidosos y variables en el tiempo. Esta escuela de pensamiento simplemente intenta encontrar algoritmos y parámetros PSO que causen un buen desempeño independientemente de cómo se pueda interpretar el comportamiento del enjambre en relación, por ejemplo, con la exploración y la explotación. Estos estudios han llevado a la simplificación del algoritmo PSO, ver más abajo.

Convergencia

En relación con PSO, la palabra convergencia suele referirse a dos definiciones diferentes:

• Convergencia de la secuencia de soluciones (también conocida como análisis de estabilidad, convergencia ) en la que todas las partículas han convergido a un punto en el espacio de búsqueda, que puede ser o no el óptimo,
• Convergencia a un óptimo local donde todos los mejores récords personales po , alternativamente, la posición más conocida del enjambre g , se aproxima a un óptimo local del problema, independientemente de cómo se comporte el enjambre.

Se ha investigado la convergencia de la secuencia de soluciones para PSO. ^{[15] [16] [17]} Estos análisis han dado como resultado pautas para seleccionar parámetros de PSO que se cree que causan convergencia a un punto y evitan la divergencia de las partículas del enjambre (las partículas no se mueven ilimitadamente y convergerán en algún lugar). Sin embargo, Pedersen ^[22] criticó los análisis por ser demasiado simplificados, ya que suponen que el enjambre tiene una sola partícula, que no utiliza variables estocásticas y que los puntos de atracción, es decir, la posición p mejor conocida de la partícula y la posición del enjambre. La posición más conocida g permanece constante durante todo el proceso de optimización. Sin embargo, se demostró ^[39] que estas simplificaciones no afectan los límites encontrados por estos estudios para el parámetro donde el enjambre es convergente. En los últimos años se ha hecho un esfuerzo considerable para debilitar el supuesto de modelado utilizado durante el análisis de estabilidad de PSO, ^[40] y el resultado generalizado más reciente se aplicó a numerosas variantes de PSO y utilizó lo que se demostró que eran los supuestos de modelado mínimos necesarios. ^[41]

La convergencia a un óptimo local se ha analizado para PSO en ^[42] y. ^[43] Se ha demostrado que PSO necesita alguna modificación para garantizar la búsqueda de un óptimo local.

Esto significa que determinar las capacidades de convergencia de diferentes algoritmos y parámetros de PSO todavía depende de resultados empíricos . Un intento de abordar esta cuestión es el desarrollo de una estrategia de "aprendizaje ortogonal" para un uso mejorado de la información ya existente en la relación entre p y g , a fin de formar un ejemplo convergente líder y ser efectivo con cualquier topología PSO. Los objetivos son mejorar el rendimiento de PSO en general, incluida una convergencia global más rápida, una mayor calidad de la solución y una mayor solidez. ^[44] Sin embargo, estos estudios no proporcionan evidencia teórica para probar realmente sus afirmaciones.

Mecanismos adaptativos

Sin necesidad de un equilibrio entre convergencia ('explotación') y divergencia ('exploración'), se puede introducir un mecanismo de adaptación. La optimización adaptativa del enjambre de partículas (APSO) ^[45] presenta una mejor eficiencia de búsqueda que la PSO estándar. APSO puede realizar una búsqueda global en todo el espacio de búsqueda con una mayor velocidad de convergencia. Permite el control automático del peso de inercia, los coeficientes de aceleración y otros parámetros algorítmicos en el tiempo de ejecución, mejorando así la efectividad y eficiencia de la búsqueda al mismo tiempo. Además, APSO puede actuar sobre la mejor partícula a nivel mundial para saltar del probable óptimo local. Sin embargo, APSO introducirá nuevos parámetros de algoritmo, aunque no introduce complejidad adicional de diseño o implementación.

Además, mediante la utilización de un mecanismo de evaluación de aptitud adaptativo a escala, PSO puede abordar de manera eficiente problemas de optimización computacionalmente costosos. ^[46]

Variantes

Son posibles numerosas variantes incluso de un algoritmo PSO básico. Por ejemplo, hay diferentes maneras de inicializar las partículas y las velocidades (por ejemplo, comenzar con velocidades cero), cómo amortiguar la velocidad, actualizar p _i y g solo después de que se haya actualizado todo el enjambre, etc. Algunas de estas opciones y sus El posible impacto en el rendimiento se ha discutido en la literatura. ^[14]

Investigadores destacados han creado una serie de implementaciones estándar, "destinadas a usarse como base para las pruebas de rendimiento de las mejoras de la técnica, así como para representar PSO ante la comunidad de optimización más amplia. El algoritmo estándar proporciona un valioso punto de comparación que se puede utilizar en todo el campo de la investigación para probar mejor nuevos avances". ^[10] La última es la Norma PSO 2011 (SPSO-2011). ^[47]

Hibridación

También se introducen continuamente variantes de PSO nuevas y más sofisticadas en un intento de mejorar el rendimiento de la optimización. Hay ciertas tendencias en esa investigación; Una es crear un método de optimización híbrido utilizando PSO combinado con otros optimizadores, ^{[48] [49] [50]} , por ejemplo, PSO combinado con optimización basada en biogeografía, ^[51] y la incorporación de un método de aprendizaje eficaz. ^[44]

Aliviar la convergencia prematura

Otra tendencia de investigación es tratar de aliviar la convergencia prematura (es decir, el estancamiento de la optimización), por ejemplo, invirtiendo o perturbando el movimiento de las partículas PSO, ^{[19] [52] [53] [54]} otro enfoque para lidiar con la convergencia prematura es el uso de múltiples enjambres ^[55] ( optimización de múltiples enjambres ). El enfoque de enjambre múltiple también se puede utilizar para implementar una optimización de objetivos múltiples. ^[56] Finalmente, hay avances en la adaptación de los parámetros de comportamiento de PSO durante la optimización. ^{[45] [24]}

Simplificaciones

Otra escuela de pensamiento es que PSO debería simplificarse tanto como sea posible sin perjudicar su desempeño; un concepto general al que a menudo se hace referencia como la navaja de Occam . Kennedy ^[4] sugirió originalmente la simplificación de PSO y se ha estudiado más extensamente, ^{[18] [21] [22] [57]} donde parecía que el rendimiento de la optimización mejoraba y los parámetros eran más fáciles de ajustar y funcionaban de manera más consistente. en diferentes problemas de optimización.

Otro argumento a favor de simplificar PSO es que la eficacia de las metaheurísticas sólo puede demostrarse empíricamente mediante experimentos computacionales en un número finito de problemas de optimización. Esto significa que no se puede demostrar que una metaheurística como PSO sea correcta y esto aumenta el riesgo de cometer errores en su descripción e implementación. Un buen ejemplo de esto ^[58] presentó una variante prometedora de un algoritmo genético (otra metaheurística popular), pero más tarde se descubrió que era defectuoso ya que estaba fuertemente sesgado en su búsqueda de optimización hacia valores similares para diferentes dimensiones en el espacio de búsqueda, lo que resultó ser el óptimo de los problemas de referencia considerados. Este sesgo se debió a un error de programación y ahora se ha solucionado. ^[59]

PSO básico

La inicialización de velocidades puede requerir entradas adicionales. La variante Bare Bones PSO ^[60] fue propuesta en 2003 por James Kennedy y no necesita utilizar velocidad en absoluto.

En esta variante de PSO se prescinde de la velocidad de las partículas y en su lugar se actualizan las posiciones de las partículas utilizando la siguiente regla simple:

${\displaystyle {\vec {x}}_{i}=G\left({\frac {{\vec {p}}_{i}+{\vec {g}}}{2}},||{\vec {p}}_{i}-{\vec {g}}||\right)\,,}$

donde , son la posición y la mejor posición de la partícula ; es la mejor posición global; es la distribución normal con la media y la desviación estándar ; y donde significa la norma de un vector. ${\displaystyle {\vec {x}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\vec {g}}}$ ${\displaystyle G({\vec {x}},\sigma )}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ||\dots ||}$

Optimización acelerada del enjambre de partículas

Otra variante más simple es la optimización acelerada del enjambre de partículas (APSO), ^[61] que tampoco necesita utilizar velocidad y puede acelerar la convergencia en muchas aplicaciones. Está disponible un código de demostración simple de APSO. ^[62]

En esta variante de PSO se prescinde tanto de la velocidad de la partícula como de su mejor posición. La posición de la partícula se actualiza de acuerdo con la siguiente regla,

${\displaystyle {\vec {x}}_{i}\leftarrow (1-\beta ){\vec {x}}_{i}+\beta {\vec {g}}+\alpha L{\vec {u}}\,,}$

donde es un vector aleatorio distribuido uniformemente, es la longitud típica del problema en cuestión y son los parámetros del método. Como refinamiento del método, se puede disminuir con cada iteración, donde es el número de iteración y es el parámetro de control de disminución. ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta \sim 0.1-0.7}$ ${\displaystyle \alpha \sim 0.1-0.5}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{n}=\alpha _{0}\gamma ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\gamma <1}$

Optimización multiobjetivo

PSO también se ha aplicado a problemas multiobjetivo , ^{[63] [64] [65]} en los que la comparación de la función objetivo tiene en cuenta la dominancia de Pareto cuando se mueven las partículas de PSO y las soluciones no dominadas se almacenan para aproximarse al frente de Pareto. .

Binario, discreto y combinatorio.

Como las ecuaciones PSO dadas anteriormente funcionan con números reales, un método comúnmente utilizado para resolver problemas discretos es mapear el espacio de búsqueda discreto a un dominio continuo, aplicar un PSO clásico y luego desmapear el resultado. Esta asignación puede ser muy sencilla (por ejemplo, utilizando simplemente valores redondeados) o más sofisticada. ^[66]

Sin embargo, se puede observar que las ecuaciones de movimiento hacen uso de operadores que realizan cuatro acciones:

• Calcular la diferencia de dos posiciones. El resultado es una velocidad (más precisamente un desplazamiento)
• multiplicar una velocidad por un coeficiente numérico
• sumando dos velocidades
• aplicar una velocidad a una posición

Generalmente una posición y una velocidad están representadas por n números reales, y estos operadores son simplemente -, *, + y nuevamente +. Pero todos estos objetos matemáticos se pueden definir de una manera completamente diferente, para hacer frente a problemas binarios (o más generalmente discretos), o incluso combinatorios. ^{[67] [68] [69] [70]} Un enfoque es redefinir los operadores basados ​​en conjuntos. ^[71]

Ver también

• Algoritmo de colonia de abejas artificiales
• Algoritmo de abejas
• Optimización sin derivados
• Optimización de enjambres múltiples
• Filtro de partículas
• Inteligencia de enjambre
• Búsqueda de bancos de peces
• Optimización de moscas dispersivas.

Referencias

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enlaces externos

• Particle Swarm Central es un depósito de información sobre PSO. Varios códigos fuente están disponibles gratuitamente.
• Un breve vídeo de enjambres de partículas optimizando tres funciones de referencia.
• Simulación de convergencia de PSO en un espacio bidimensional (Matlab).
• Aplicaciones de PSO.
• Liu, Yang (2009). "Calibración automática de un modelo de lluvia-escorrentía utilizando un algoritmo de enjambre de partículas multiobjetivo rápido y elitista". Sistemas Expertos con Aplicaciones . 36 (5): 9533–9538. doi :10.1016/j.eswa.2008.10.086.
• Enlaces al código fuente de PSO