En matemáticas , un operador compacto simetrizable es un operador compacto en un espacio de Hilbert que puede componerse con un operador positivo con núcleo trivial para producir un operador autoadjunto. Tales operadores surgieron naturalmente en el trabajo sobre operadores integrales de Hilbert, Korn, Lichtenstein y Marty necesarios para resolver problemas de valores de frontera elípticos en dominios acotados en el espacio euclidiano . Entre finales de los años 1940 y principios de los años 1960, las técnicas, previamente desarrolladas como parte de la teoría del potencial clásica , fueron abstraídas dentro de la teoría de operadores por varios matemáticos, entre ellos MG Kerin , William T. Reid, Peter Lax y Jean Dieudonné . La teoría de Fredholm ya implica que cualquier elemento del espectro es un valor propio . Los principales resultados afirman que la teoría espectral de estos operadores es similar a la de los operadores compactos autoadjuntos: cualquier valor espectral es real; forman una secuencia que tiende a cero; cualquier vector propio generalizado es un vector propio ; y los vectores propios abarcan un subespacio denso del espacio de Hilbert.
Sea H un espacio de Hilbert. Un operador compacto K en H es simetrizable si hay un operador autoadjunto acotado S en H tal que S es positivo con núcleo trivial, es decir ( Sx , x ) > 0 para todos los x distintos de cero , y SK es autoadjunto :
En muchas aplicaciones S también es compacto. El operador S define un nuevo producto interno en H
Sea H S la terminación del espacio de Hilbert de H con respecto a este producto interno.
El operador K define un operador formalmente autoadjunto en el subespacio denso H de HS . Como señalaron Kerin (1947) y Reid (1951), el operador tiene la misma norma de operador que K. De hecho [1] la condición de autoadjunción implica
Se deduce por inducción que, si ( x , x ) S = 1, entonces
Por eso
Si K es sólo compacto, Kerin dio un argumento, invocando la teoría de Fredholm, para demostrar que K define un operador compacto en HS . Hay disponible un argumento más corto si K pertenece a una clase Schatten .
Cuando K es un operador de Hilbert-Schmidt , el argumento procede de la siguiente manera. Sea R la única raíz cuadrada positiva de S y para ε > 0 defina [2]
Estos son operadores de Hilbert-Schmidt autoadjuntos en H que están uniformemente acotados en la norma de Hilbert-Schmidt:
Dado que los operadores de Hilbert-Schmidt forman un espacio de Hilbert, hay una subsecuencia que converge débilmente al operador A autoadjunto de Hilbert-Schmidt . Dado que A ε R tiende a RK en la norma de Hilbert-Schmidt, se deduce que
Así, si U es el unitario inducido por R entre HS y H , entonces el operador K S inducido por la restricción de K corresponde a A sobre H :
Los operadores K − λI y K * − λI son operadores de Fredholm de índice 0 para λ ≠ 0, por lo que cualquier valor espectral de K o K * es un valor propio y los espacios propios correspondientes son de dimensión finita. Por otro lado, según el teorema especial para operadores compactos, H es la suma directa ortogonal de los espacios propios de A , todos de dimensión finita excepto posiblemente el espacio propio 0. Dado que RA = K * R , la imagen bajo R del espacio propio λ de A se encuentra en el espacio propio λ de K *. De manera similar , R lleva el espacio propio λ de K al espacio propio λ de A. De ello se deduce que los valores propios de K y K * son todos reales. Dado que R es inyectivo y tiene un rango denso, induce isomorfismos entre los espacios propios λ de A , K y K *. Lo mismo ocurre con los valores propios generalizados, ya que las potencias de K − λI y K * − λI también son Fredholm de índice 0. Dado que cualquier vector propio λ generalizado de A ya es un vector propio, lo mismo ocurre con K y K *. Para λ = 0, este argumento muestra que K m x = 0 implica Kx = 0.
Finalmente los espacios propios de K * abarcan un subespacio denso de H , ya que contiene la imagen bajo R del espacio correspondiente para A . Los argumentos anteriores también implican que los vectores propios para valores propios distintos de cero de K S en H S se encuentran todos en el subespacio H.
Los operadores de Hilbert-Schmidt K con valores propios reales distintos de cero λ n satisfacen las siguientes identidades probadas por Carleman (1921):
Aquí tr es la traza de los operadores de clase de traza y det es el determinante de Fredholm . Para los operadores simetrizables de Hilbert-Schmidt , el resultado indica que la traza o determinante de K o K * es igual a la traza o determinante de A. Para operadores simetrizables, las identidades de K * se pueden probar tomando H 0 como el núcleo de K * y H m los espacios propios de dimensión finita para los valores propios distintos de cero λ m . Sea P N la proyección ortogonal sobre la suma directa de H m con 0 ≤ m ≤ N . Este subespacio queda invariante por K *. Aunque la suma no es ortogonal, la restricción P N K * P N de K * es similar mediante un operador acotado con inversa acotada al operador diagonal en la suma directa ortogonal con los mismos valores propios. De este modo
Dado que P N K * P N tiende a K * en la norma de Hilbert-Schmidt, las identidades para K * siguen pasando al límite cuando N tiende al infinito.
![{\displaystyle \displaystyle {\mathrm {tr} \,(P_{N}K^{*}P_{N})^{2}=\sum _{m=1}^{N}\lambda _{m }^{2}\cdot \mathrm {dim} \,H_{m},\,\,\,\mathrm {det} \,[P_{N}-z(P_{N}K^{*}P_ {N})^{2}]=\prod _{m=1}^{N}(1-z\lambda _{m}^{2})^{\mathrm {dim} \,H_{m} }.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b567e1c39841cf6f7ccb514b62b1ff520a42186e)