En matemáticas , la geometría no arquimediana [1] es cualquiera de varias formas de geometría en las que se niega el axioma de Arquímedes . Un ejemplo de tal geometría es el plano de Dehn . Las geometrías no arquimedianas pueden, como indica el ejemplo, tener propiedades significativamente diferentes de la geometría euclidiana .
Hay dos sentidos en los que se puede utilizar el término, refiriéndose a geometrías sobre campos que violan uno de los dos sentidos de la propiedad de Arquímedes (es decir, con respecto al orden o la magnitud).
El primer sentido del término es la geometría sobre un campo ordenado no arquimediano , o un subconjunto del mismo. El plano de Dehn antes mencionado toma el autoproducto de la porción finita de un determinado campo ordenado no arquimediano basado en el campo de funciones racionales . En esta geometría, existen diferencias significativas con la geometría euclidiana; en particular, hay infinitas paralelas a una línea recta que pasa por un punto (por lo que el postulado de las paralelas falla), pero la suma de los ángulos de un triángulo sigue siendo un ángulo llano. [2]
Intuitivamente, en tal espacio, los puntos de una línea no pueden describirse mediante números reales o un subconjunto de ellos, y existen segmentos de longitud "infinita" o "infinitesimal".
El segundo sentido del término es la geometría métrica sobre un campo valorado no arquimediano , [3] o espacio ultramétrico . En un espacio así, resultan aún más contradicciones con la geometría euclidiana. Por ejemplo, todos los triángulos son isósceles y las bolas superpuestas se anidan. Un ejemplo de tal espacio son los números p-ádicos .
Intuitivamente, en un espacio así, las distancias no logran "sumarse" ni "acumularse".