En álgebra abstracta , un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en sus submódulos , donde los submódulos están parcialmente ordenados por inclusión . [1]
Históricamente, Hilbert fue el primer matemático que trabajó con las propiedades de los submódulos finitamente generados . Demostró un teorema importante conocido como el teorema de la base de Hilbert , que dice que cualquier ideal en el anillo polinómico multivariante de un cuerpo arbitrario es finitamente generado . Sin embargo, la propiedad recibe su nombre de Emmy Noether , quien fue la primera en descubrir la verdadera importancia de la propiedad.
En presencia del axioma de elección , [2] [ se necesita una mejor fuente ] son posibles otras dos caracterizaciones:
Si M es un módulo y K un submódulo, entonces M es noetheriano si y solo si K y M / K son noetherianos. Esto contrasta con la situación general con módulos finitamente generados: un submódulo de un módulo finitamente generado no necesita ser finitamente generado. [4]
Un anillo noetheriano derecho R es, por definición, un módulo noetheriano derecho sobre sí mismo que utiliza la multiplicación por la derecha. Asimismo, un anillo se denomina anillo noetheriano izquierdo cuando R es noetheriano considerado como un módulo R izquierdo. Cuando R es un anillo conmutativo, los adjetivos izquierda-derecha pueden omitirse, ya que son innecesarios. Además, si R es noetheriano en ambos lados, se acostumbra a llamarlo noetheriano y no "noetheriano izquierdo y derecho".
La condición noetheriana también se puede definir en estructuras bimódulo : un bimódulo noetheriano es un bimódulo cuyo conjunto de sub-bimódulos satisface la condición de cadena ascendente. Dado que un sub-bimódulo de un bimódulo R - S M es en particular un R -módulo izquierdo, si M considerado como un R -módulo izquierdo fuera noetheriano, entonces M sería automáticamente un bimódulo noetheriano. Puede ocurrir, sin embargo, que un bimódulo sea noetheriano sin que sus estructuras izquierda o derecha sean noetherianas.