Ninguna otra desigualdad

En matemáticas , la desigualdad de Noether , que lleva el nombre de Max Noether , es una propiedad de superficies complejas mínimas compactas que restringe el tipo topológico de la 4-variedad topológica subyacente . Es válido de manera más general para superficies proyectivas mínimas de tipo general sobre un campo algebraicamente cerrado.

Formulación de la desigualdad.

Sea X una superficie proyectiva mínima suave de tipo general definida sobre un campo algebraicamente cerrado (o una superficie compleja compacta mínima suave de tipo general) con divisor canónico K = − c ₁ ( X ), y sea p _g = h ⁰ ( K ) sea la dimensión del espacio de dos formas holomorfas, entonces

${\displaystyle p_{g}\leq {\frac {1}{2}}c_{1}(X)^{2}+2.}$

Para superficies complejas, una formulación alternativa expresa esta desigualdad en términos de invariantes topológicos de la variedad cuatro orientada a lo real subyacente. Dado que una superficie de tipo general es una superficie de Kähler , la dimensión del subespacio positivo máximo en forma de intersección en la segunda cohomología viene dada por b ₊ = 1 + 2 p _g . Además, según el teorema de la firma de Hirzebruch c ₁ ² ( X ) = 2 e  + 3 σ , donde e = c ₂ ( X ) es la característica topológica de Euler y σ = b ₊  −  b ₋ es la firma de la forma de intersección . Por lo tanto, la desigualdad de Noether también se puede expresar como

${\displaystyle b_{+}\leq 2e+3\sigma +5}$

o equivalentemente usando e = 2 – 2 b ₁ + b ₊ + b ₋

${\displaystyle b_{-}+4b_{1}\leq 4b_{+}+9.}$

Combinando la desigualdad de Noether con la fórmula de Noether 12χ= c ₁ ² + c ₂ se obtiene

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 12q}$

donde q es la irregularidad de una superficie , lo que conduce a una desigualdad ligeramente más débil, que también suele denominarse desigualdad de Noether:

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ even}})}$

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+30\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ odd}}).}$

Las superficies donde se cumple la igualdad (es decir, en la línea de Noether) se denominan superficies de Horikawa .

Bosquejo de prueba

De la condición de tipo general mínima se deduce que K ² > 0. Por lo tanto, podemos suponer que p _g > 1, ya que por lo demás la desigualdad es automática. En particular, podemos suponer que existe un divisor efectivo D que representa K. Entonces tenemos una secuencia exacta.

${\displaystyle 0\to H^{0}({\mathcal {O}}_{X})\to H^{0}(K)\to H^{0}(K|_{D})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\to }$

entonces ${\displaystyle p_{g}-1\leq h^{0}(K|_{D}).}$

Supongamos que D es suave. Por la fórmula adjunta D tiene un paquete de líneas canónico , por lo tanto es un divisor especial y se aplica la desigualdad de Clifford , lo que da ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(2K)}$ ${\displaystyle K|_{D}}$

${\displaystyle h^{0}(K|_{D})-1\leq {\frac {1}{2}}\deg _{D}(K)={\frac {1}{2}}K^{2}.}$

En general, esencialmente se aplica el mismo argumento usando una versión más general de la desigualdad de Clifford para intersecciones locales completas con un paquete de líneas dualizante y secciones unidimensionales en el paquete de líneas trivial. Estas condiciones se satisfacen para la curva D por la fórmula adjunta y el hecho de que D es numéricamente conexo.

Referencias

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, SEÑOR  2030225
• Liedtke, Christian (2008), "Superficies algebraicas de tipo general con c12 pequeño en característica positiva", Nagoya Math. J. , 191 : 111-134
• Noether, Max (1875), "Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde", Math. Ana. , 8 (4): 495–533, doi :10.1007/BF02106598