Dinámica newtoniana

Formulación de la física

En física, la dinámica newtoniana (también conocida como mecánica newtoniana ) es el estudio de la dinámica de una partícula o un cuerpo pequeño según las leyes de movimiento de Newton . ^{[1] [2] [3]}

Generalizaciones matemáticas

Por lo general, la dinámica newtoniana se produce en un espacio euclidiano tridimensional , que es plano. Sin embargo, en matemáticas, las leyes del movimiento de Newton se pueden generalizar a espacios multidimensionales y curvos . A menudo, el término dinámica newtoniana se limita a la segunda ley de Newton . ${\displaystyle \displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F} }$

Segunda ley de Newton en un espacio multidimensional

Consideremos partículas con masas en el espacio euclidiano tridimensional regular . Sean sus radios vectores en algún sistema de coordenadas inercial . Entonces, el movimiento de estas partículas está regido por la segunda ley de Newton aplicada a cada una de ellas. ${\displaystyle \displaystyle N}$ ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$

Los radio-vectores tridimensionales se pueden construir en un radio-vector unidimensional. De manera similar, los vectores de velocidad tridimensionales se pueden construir en un vector de velocidad unidimensional: ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle n=3N}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle n=3N}$

En términos de los vectores multidimensionales ( 2 ) las ecuaciones ( 1 ) se escriben como

es decir, toman la forma de la segunda ley de Newton aplicada a una sola partícula con masa unitaria . ${\displaystyle \displaystyle m=1}$

Definición . Las ecuaciones ( 3 ) se denominan ecuaciones de un sistema dinámico newtoniano en un espacio euclidiano multidimensional plano , que se denomina espacio de configuración de este sistema. Sus puntos están marcados por el radio-vector . El espacio cuyos puntos están marcados por el par de vectores se denomina espacio de fases del sistema dinámico ( 3 ). ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

Estructura euclidiana

El espacio de configuración y el espacio de fases del sistema dinámico ( 3 ) son ambos espacios euclidianos, es decir, están dotados de una estructura euclidiana. La estructura euclidiana de los mismos se define de modo que la energía cinética de la partícula multidimensional única con la masa unitaria es igual a la suma de las energías cinéticas de las partículas tridimensionales con las masas : ${\displaystyle \displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$

Restricciones y coordenadas internas

En algunos casos, el movimiento de las partículas con las masas puede verse restringido. Las restricciones típicas son ecuaciones escalares de la forma ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$

Las restricciones de la forma ( 5 ) se denominan holonómicas y escleronómicas . En términos del radio-vector del sistema dinámico newtoniano ( 3 ), se escriben como ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$

Cada una de estas restricciones reduce en uno el número de grados de libertad del sistema dinámico newtoniano ( 3 ). Por lo tanto, el sistema restringido tiene grados de libertad. ${\displaystyle \displaystyle n=3\,N-K}$

Definición . Las ecuaciones de restricción ( 6 ) definen una variedad -dimensional dentro del espacio de configuración del sistema dinámico newtoniano ( 3 ). Esta variedad se denomina espacio de configuración del sistema restringido. Su fibrado tangente se denomina espacio de fases del sistema restringido. ${\displaystyle \displaystyle n}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle TM}$

Sean las coordenadas internas de un punto de . Su uso es típico de la mecánica lagrangiana . El radio-vector se expresa como una función definida de : ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$

La función vectorial ( 7 ) resuelve las ecuaciones de restricción ( 6 ) en el sentido de que al sustituir ( 7 ) en ( 6 ) las ecuaciones ( 6 ) se cumplen de forma idéntica en . ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$

Presentación interna del vector de velocidad

El vector de velocidad del sistema dinámico newtoniano restringido se expresa en términos de las derivadas parciales de la función vectorial ( 7 ):

Las magnitudes se denominan componentes internos del vector de velocidad. A veces se indican mediante un símbolo independiente. ${\displaystyle \displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}}$

y luego se tratan como variables independientes. Las cantidades

se utilizan como coordenadas internas de un punto del espacio de fases del sistema dinámico newtoniano restringido. ${\displaystyle \displaystyle TM}$

La incrustación y la métrica riemanniana inducida

Geométricamente, la función vectorial ( 7 ) implementa una incrustación del espacio de configuración del sistema dinámico newtoniano restringido en el espacio de configuración plano dimensional del sistema dinámico newtoniano no restringido ( 3 ). Debido a esta incrustación, la estructura euclidiana del espacio ambiente induce la métrica de Riemann en la variedad . Los componentes del tensor métrico de esta métrica inducida están dados por la fórmula ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle 3\,N}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$

donde es el producto escalar asociado a la estructura euclidiana ( 4 ). ${\displaystyle \displaystyle (\ ,\ )}$

Energía cinética de un sistema dinámico newtoniano restringido

Dado que la estructura euclidiana de un sistema de partículas sin restricciones se introduce a través de su energía cinética, la estructura riemanniana inducida en el espacio de configuración de un sistema restringido conserva esta relación con la energía cinética: ${\displaystyle \displaystyle N}$ ${\displaystyle \displaystyle N}$

La fórmula ( 12 ) se deriva sustituyendo ( 8 ) en ( 4 ) y teniendo en cuenta ( 11 ).

Fuerzas de restricción

Para un sistema dinámico newtoniano restringido, las restricciones descritas por las ecuaciones ( 6 ) se implementan generalmente mediante algún marco mecánico. Este marco produce algunas fuerzas auxiliares, incluida la fuerza que mantiene el sistema dentro de su variedad de configuración . Dicha fuerza de mantenimiento es perpendicular a . Se denomina fuerza normal . La fuerza de ( 6 ) se subdivide en dos componentes ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} }$

La primera componente en ( 13 ) es tangente a la variedad de configuración . La segunda componente es perpendicular a . En coincide con la fuerza normal . Al igual que el vector de velocidad ( 8 ), la fuerza tangente tiene su presentación interna ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {N} }$
${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$

Las cantidades en ( 14 ) se denominan componentes internos del vector de fuerza. ${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$

Segunda ley de Newton en un espacio curvo

El sistema dinámico newtoniano ( 3 ) restringido a la variedad de configuración por las ecuaciones de restricción ( 6 ) se describe mediante las ecuaciones diferenciales ${\displaystyle \displaystyle M}$

¿Dónde están los símbolos de Christoffel de la conexión métrica producida por la métrica de Riemann ( 11 )? ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}}$

Relación con las ecuaciones de Lagrange

Los sistemas mecánicos con restricciones se describen generalmente mediante ecuaciones de Lagrange :

donde es la energía cinética del sistema dinámico restringido dada por la fórmula ( 12 ). Las cantidades en ( 16 ) son los componentes covariantes internos del vector de fuerza tangente (ver ( 13 ) y ( 14 )). Se producen a partir de los componentes contravariantes internos del vector mediante el procedimiento estándar de reducción de índice utilizando la métrica ( 11 ): ${\displaystyle T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})}$ ${\displaystyle Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$ ${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$

Las ecuaciones ( 16 ) son equivalentes a las ecuaciones ( 15 ). Sin embargo, la métrica ( 11 ) y otras características geométricas de la variedad de configuración no están explícitas en ( 16 ). La métrica ( 11 ) se puede recuperar a partir de la energía cinética mediante la fórmula ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle T}$

Véase también

• Dinámica newtoniana modificada

Referencias

1. Fitzpatrick, Richard (22 de diciembre de 2021). Dinámica newtoniana: una introducción. CRC Press . Prefacio. ISBN 978-1-000-50957-1.
2. Kasdin, N. Jeremy; Paley, Derek A. (22 de febrero de 2011). Dinámica de ingeniería: una introducción completa. Princeton University Press . p. 11. ISBN 978-1-4008-3907-0.
3. Barbour, Julian B. (2001). El descubrimiento de la dinámica: un estudio desde un punto de vista machista del descubrimiento y la estructura de las teorías dinámicas. Oxford University Press . p. 19. ISBN 978-0-19-513202-1.