Negatividad (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica , la negatividad es una medida de entrelazamiento cuántico que es fácil de calcular. Es una medida derivada del criterio PPT para separabilidad . ^[1] Se ha demostrado que es un entrelazamiento monótono ^{[2] [3]} y, por lo tanto, una medida adecuada de entrelazamiento.

Definición

La negatividad de un subsistema se puede definir en términos de una matriz de densidad como: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )\equiv {\frac {||\rho ^{\Gamma _{A}}||_{1}-1}{2}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \rho ^{\Gamma _{A}}}$es la transposición parcial de con respecto al subsistema ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle ||X||_{1}={\text{Tr}}|X|={\text{Tr}}{\sqrt {X^{\dagger }X}}}$es la norma de traza o la suma de los valores singulares del operador . ${\displaystyle X}$

Una definición alternativa y equivalente es la suma absoluta de los valores propios negativos de : ${\displaystyle \rho ^{\Gamma _{A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=\left|\sum _{\lambda _{i}<0}\lambda _{i}\right|=\sum _{i}{\frac {|\lambda _{i}|-\lambda _{i}}{2}}}$

¿Dónde están todos los valores propios? ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Propiedades

• Es una función convexa de : ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\sum _{i}p_{i}\rho _{i})\leq \sum _{i}p_{i}{\mathcal {N}}(\rho _{i})}$

• ¿Es un entrelazamiento monótono ?

${\displaystyle {\mathcal {N}}(P(\rho ))\leq {\mathcal {N}}(\rho )}$

¿Dónde se realiza una operación LOCC arbitraria? ${\displaystyle P(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$

Negatividad logarítmica

La negatividad logarítmica es una medida de entrelazamiento que se puede calcular fácilmente y un límite superior para el entrelazamiento destilable. ^[4] Se define como

${\displaystyle E_{N}(\rho )\equiv \log _{2}||\rho ^{\Gamma _{A}}||_{1}}$

donde es la operación de transposición parcial y denota la norma de traza . ${\displaystyle \Gamma _{A}}$ ${\displaystyle ||\cdot ||_{1}}$

Se relaciona con la negatividad de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle E_{N}(\rho ):=\log _{2}(2{\mathcal {N}}+1)}$

Propiedades

La negatividad logarítmica

• puede ser cero incluso si el estado está enredado (si el estado está enredado PPT ).
• no se reduce a la entropía del entrelazamiento en estados puros como la mayoría de las otras medidas de entrelazamiento.
• es aditivo en productos tensoriales: ${\displaystyle E_{N}(\rho \otimes \sigma )=E_{N}(\rho )+E_{N}(\sigma )}$
• no es asintóticamente continua. Esto significa que para una secuencia de espacios de Hilbert bipartitos (normalmente con dimensión creciente) podemos tener una secuencia de estados cuánticos que converge a (normalmente con ) en la distancia de traza , pero la secuencia no converge a . ${\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \rho ^{\otimes n_{1}},\rho ^{\otimes n_{2}},\ldots }$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle E_{N}(\rho _{1})/n_{1},E_{N}(\rho _{2})/n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle E_{N}(\rho )}$
• es un límite superior para el entrelazamiento destilable

Referencias

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1. K. Zyczkowski; P. Horodecki; A. Sanpera; M. Lewenstein (1998). "Volumen del conjunto de estados separables". Phys. Rev. A . 58 (2): 883–92. arXiv : quant-ph/9804024 . Código Bibliográfico :1998PhRvA..58..883Z. doi :10.1103/PhysRevA.58.883. S2CID  119391103.
2. J. Eisert (2001). Entrelazamiento en la teoría de la información cuántica (Tesis). Universidad de Potsdam. arXiv : quant-ph/0610253 . Bibcode :2006PhDT........59E.
3. G. Vidal; RF Werner (2002). "Una medida computable del entrelazamiento". Phys. Rev. A . 65 (3): 032314. arXiv : quant-ph/0102117 . Código Bibliográfico :2002PhRvA..65c2314V. doi :10.1103/PhysRevA.65.032314. S2CID  32356668.
4. MB Plenio (2005). "La negatividad logarítmica: un entrelazamiento completo monótono que no es convexo". Phys. Rev. Lett . 95 (9): 090503. arXiv : quant-ph/0505071 . Bibcode :2005PhRvL..95i0503P. doi :10.1103/PhysRevLett.95.090503. PMID  16197196. S2CID  20691213.