Acción Nambu-Goto

La acción de Nambu-Goto es la acción invariante más simple en la teoría de cuerdas bosónicas , y también se utiliza en otras teorías que investigan objetos similares a cuerdas (por ejemplo, cuerdas cósmicas ). Es el punto de partida del análisis del comportamiento de cuerdas de espesor cero (infinitamente delgadas), utilizando los principios de la mecánica de Lagrange . Así como la acción de una partícula puntual libre es proporcional a su tiempo propio –es decir , la "longitud" de su línea de universo– la acción de una cuerda relativista es proporcional al área de la lámina que la cuerda traza a medida que viaja a través del espacio-tiempo.

Recibe su nombre en honor a los físicos japoneses Yoichiro Nambu y Tetsuo Goto. ^[1]

Fondo

Mecánica relativista lagrangiana

El principio básico de la mecánica de Lagrange, el principio de acción estacionaria , es que un objeto sometido a influencias externas "elegirá" un camino que hace que una cierta cantidad, la acción , sea un extremo. La acción es un funcional , una relación matemática que toma un camino completo y produce un único número. El camino físico , el que el objeto realmente sigue, es el camino para el cual la acción es "estacionaria" (o extremal): cualquier pequeña variación del camino con respecto al físico no cambia significativamente la acción. (A menudo, esto es equivalente a decir que el camino físico es aquel para el cual la acción es mínima). Las acciones se escriben típicamente utilizando lagrangianos, fórmulas que dependen del estado del objeto en un punto particular en el espacio y/o tiempo. En la mecánica no relativista, por ejemplo, el lagrangiano de una partícula puntual es la diferencia entre energía cinética y potencial: . La acción, a menudo escrita como , es entonces la integral de esta cantidad desde un tiempo de inicio hasta un tiempo de finalización: ${\displaystyle L=K-U}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}L\,dt.}$

(Normalmente, cuando utilizamos lagrangianos, asumimos que conocemos las posiciones inicial y final de la partícula y nos preocupamos por el camino que recorre la partícula entre esas posiciones).

Este enfoque de la mecánica tiene la ventaja de que es fácil de extender y generalizar. Por ejemplo, podemos escribir un lagrangiano para una partícula relativista , que será válido incluso si la partícula viaja cerca de la velocidad de la luz. Para preservar la invariancia de Lorentz , la acción solo debe depender de cantidades que sean las mismas para todos los observadores (de Lorentz), es decir, la acción debe ser un escalar de Lorentz . La cantidad más simple de este tipo es el tiempo propio , el tiempo medido por un reloj que lleva la partícula. Según la relatividad especial, todos los observadores de Lorentz que observen el movimiento de una partícula calcularán el mismo valor para la cantidad.

${\displaystyle -ds^{2}=-(c\,dt)^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\ }$

y es entonces un tiempo propio infinitesimal. Para una partícula puntual no sujeta a fuerzas externas (es decir, una que experimenta movimiento inercial), la acción relativista es ${\displaystyle ds/c}$

${\displaystyle S=-mc\int ds.}$

Hojas del mundo

Así como un punto de dimensión cero traza una línea de universo en un diagrama de espacio-tiempo, una cuerda unidimensional se representa mediante una hoja de universo . Todas las hojas de universo son superficies bidimensionales, por lo tanto, necesitamos dos parámetros para especificar un punto en una hoja de universo. Los teóricos de cuerdas usan los símbolos y para estos parámetros. Resulta que las teorías de cuerdas involucran espacios de dimensiones superiores al mundo 3D con el que estamos familiarizados; la teoría de cuerdas bosónica requiere 25 dimensiones espaciales y un eje de tiempo. Si es el número de dimensiones espaciales, podemos representar un punto mediante el vector ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).}$

Describimos una cadena utilizando funciones que asignan una posición en el espacio de parámetros ( , ) a un punto en el espacio-tiempo. Para cada valor de y , estas funciones especifican un vector espacio-tiempo único: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).}$

Las funciones determinan la forma que adopta la hoja del universo. Diferentes observadores de Lorentz no estarán de acuerdo en las coordenadas que asignan a puntos particulares de la hoja del universo, pero todos deben estar de acuerdo en el área propia total que tiene la hoja del universo. La acción Nambu–Goto se elige para que sea proporcional a esta área propia total. ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}$

Sea la métrica del espacio-tiempo de dimensión -. Entonces, ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle (d+1)}$

${\displaystyle g_{ab}=\eta _{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial y^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial y^{b}}}\ }$

es la métrica inducida en la hoja del mundo, donde y . ${\displaystyle a,b=0,1}$ ${\displaystyle y^{0}=\tau ,y^{1}=\sigma }$

Para el área de la hoja del mundo se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}}$

donde y ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle g=\mathrm {det} \left(g_{ab}\right)\ }$

Usando la notación que:

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}}$

y

${\displaystyle X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},}$

Se puede reescribir la métrica : ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle g_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\ }$

${\displaystyle g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}}$

La acción Nambu–Goto se define como ^[2]

donde . Los factores antes de la integral dan a la acción las unidades correctas, energía multiplicada por tiempo. es la tensión en la cuerda y es la velocidad de la luz. Normalmente, los teóricos de cuerdas trabajan en "unidades naturales" donde se establece en 1 (junto con la constante de Planck reducida y la constante de gravitación newtoniana ). Además, en parte por razones históricas, utilizan el "parámetro de pendiente" en lugar de . Con estos cambios, la acción de Nambu-Goto se convierte en ${\displaystyle X\cdot Y:=\eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.}$

Estas dos formas son, por supuesto, completamente equivalentes: elegir una sobre la otra es una cuestión de convención y conveniencia.

Otras dos formas equivalentes ( en concha pero no fuera de concha) son

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}},}$

y

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma ({\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}).}$

El campo de momento conjugado

${\displaystyle P=-{\frac {T}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}{X'}^{2}}}}\left[X'({\dot {X}}\cdot X')-{\dot {X}}{X'}^{2}\right]}$.

Entonces,

${\displaystyle P^{2}={\frac {T^{2}}{({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}{X'}^{2}}}\left[{X'}^{2}({\dot {X}}\cdot X')^{2}-2({\dot {X}}\cdot X')^{2}X'^{2}+{\dot {X}}^{2}{X'}^{4}\right]=-T^{2}{X'}^{2}}$

es una restricción primaria . La restricción secundaria es . Estas restricciones generan difeomorfismos temporales y difeomorfismos espaciales en la hoja del universo. El hamiltoniano . El hamiltoniano extendido viene dado por ${\displaystyle P\cdot X'=0}$ ${\displaystyle H=P\cdot {\dot {X}}-{\mathcal {L}}=0}$

${\displaystyle H=\int d\sigma \left[\lambda (P^{2}+T^{2}{X'}^{2})+\rho P\cdot X'\right]}$

donde y son multiplicadores de Lagrange . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Las ecuaciones de movimiento satisfacen las restricciones de Virasoro y . ${\displaystyle {\dot {X}}^{2}+X'^{2}=0}$ ${\displaystyle {\dot {X}}\cdot X'=0}$

Por lo general, la acción de Nambu-Goto aún no tiene la forma apropiada para estudiar la física cuántica de cuerdas. Para ello, debe modificarse de manera similar a la acción de una partícula puntual. Esta es clásicamente igual a menos la masa por la longitud invariante en el espacio-tiempo, pero debe reemplazarse por una expresión cuadrática con el mismo valor clásico. ^[3] Para las cuerdas, la corrección analógica la proporciona la acción de Polyakov , que es clásicamente equivalente a la acción de Nambu-Goto, pero proporciona la teoría cuántica "correcta". Sin embargo, es posible desarrollar una teoría cuántica a partir de la acción de Nambu-Goto en el cono de luz .

Véase también

• Membrana de Dirac

Referencias

1. Nambu, Yoichiro, Conferencias en el Simposio de Verano de Copenhague (1970), inédito.
2. Zwiebach, Barton (2003). Un primer curso de teoría de cuerdas . Cambridge University Press . ISBN 978-0521880329.
3. Véase el Capítulo 19 del libro de texto estándar de Kleinert sobre Integrales de trayectoria en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros , quinta edición, World Scientific (Singapur, 2009) Archivado el 24 de abril de 2009 en Wayback Machine (también disponible en línea)

Lectura adicional

• Ortin, Thomas, Gravedad y cuerdas , Cambridge Monographs, Cambridge University Press (2004). ISBN 978-0-521-03546-0 .