En teoría de números , un número k -hiperperfecto es un número natural n para el cual se cumple la igualdad, donde σ ( n ) es la función divisora (es decir, la suma de todos los divisores positivos de n ). Un número hiperperfecto es un número k -hiperperfecto para algún entero k . Los números hiperperfectos generalizan los números perfectos , que son 1-hiperperfectos. [1]
Los primeros números de la secuencia de k -hiperperfectos son 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ... (secuencia A034897 en la OEIS ), siendo los valores correspondientes de k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (secuencia A034898 en la OEIS ). Los primeros números k -hiperperfectos que no son perfectos son 21, 301, 325, 697, 1333, ... (secuencia A007592 en la OEIS ).
La siguiente tabla enumera los primeros k -números hiperperfectos para algunos valores de k , junto con el número de secuencia en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros (OEIS) de la secuencia de k -números hiperperfectos:
Se puede demostrar que si k > 1 es un entero impar y y son números primos , entonces es k -hiperperfecto; Judson S. McCranie ha conjeturado en 2000 que todos los números k -hiperperfectos para k > 1 impar son de esta forma, pero la hipótesis no ha sido probada hasta ahora. Además, se puede demostrar que si p ≠ q son primos impares y k es un entero tal que entonces pq es k -hiperperfecto.
También es posible demostrar que si k > 0 y es primo, entonces para todo i > 1 tal que sea primo, es k -hiperperfecto. La siguiente tabla enumera los valores conocidos de k y los valores correspondientes de i para los que n es k -hiperperfecto:
Hay algunos números pares que son hiperperfectos para factores impares, es decir, k * (suma de factores impares excepto 1 y él mismo) + 1 = número. por ejemplo, los primeros 5 incluyen 1300, 271872, 304640, 953344 y 1027584 para k = 3, 349, 353, 837 y 353. Todos los números hiperperfectos impares son números hiperperfectos de factores impares, ya que solo tienen factores impares y no tienen factores pares.
1300 tiene factores = 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 25, 26, 50, 52, 65, 100, 130, 260, 325, 650, 1300
Tiene factores impares excepto 1 y él mismo = 5, 13, 25, 65, 325
Suma de factores impares excepto 1 y él mismo = 5 + 13 + 25 + 65 + 325 = 433
1300 - 1 = 1299 y 1299/433 = 3, un número entero [ cita necesaria ] [ aclaración necesaria ]
El concepto matemático recién introducido de hiperdeficiencia está relacionado con los números hiperperfectos .
Definición (Minoli 2010): Para cualquier entero n y para el entero k > 0 , defina la k -hiperdeficiencia (o simplemente la hiperdeficiencia) para el número n como
Se dice que un número n es k -hiperdeficiente si
Nótese que para k = 1 se obtiene , que es la definición tradicional estándar de deficiencia .
Lema: Un número n es k -hiperperfecto (incluyendo k = 1 ) si y sólo si la k -hiperdeficiencia de n ,
Lema: Un número n es k -hiperperfecto (incluyendo k = 1 ) si y sólo si para algún k , para al menos un j > 0 .
