Números de Euler

Números enteros que aparecen en los coeficientes de la serie de Taylor de 1/cosh t

En matemáticas , los números de Euler son una secuencia E _n de números enteros (secuencia A122045 en la OEIS ) definida por la expansión de la serie de Taylor.

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$,

donde es la función coseno hiperbólico . Los números de Euler están relacionados con un valor especial de los polinomios de Euler , a saber: ${\displaystyle \cosh(t)}$

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

Los números de Euler aparecen en los desarrollos en serie de Taylor de las funciones secante e hiperbólica . Esta última es la función que aparece en la definición. También aparecen en combinatoria , específicamente al contar el número de permutaciones alternadas de un conjunto con un número par de elementos.

Ejemplos

Los números de Euler de índice impar son todos cero . Los de índice par (secuencia A028296 en la OEIS ) tienen signos alternos. Algunos valores son:

Algunos autores reindexan la secuencia para omitir los números de Euler impares con valor cero, o cambian todos los signos a positivos (secuencia A000364 en la OEIS ). Este artículo se adhiere a la convención adoptada anteriormente.

Fórmulas explícitas

En términos de números de Stirling del segundo tipo

Las dos siguientes fórmulas expresan los números de Euler en términos de números de Stirling de segundo tipo ^{[1] [2]}

${\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(\ell )}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )}\right),}$

${\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )},}$

donde denota los números de Stirling del segundo tipo , y denota el factorial ascendente . ${\displaystyle S(n,\ell )}$ ${\displaystyle x^{(\ell )}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}$

Como una doble suma

Las dos fórmulas siguientes expresan los números de Euler como sumas dobles ^[3]

${\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},}$

${\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}$

Como una suma iterada

Una fórmula explícita para los números de Euler es: ^[4]

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}$

donde i denota la unidad imaginaria con i ² = −1 .

Como suma sobre particiones

El número de Euler E _{2 n} se puede expresar como una suma sobre las particiones pares de 2 n , ^[5]

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

así como una suma sobre las particiones impares de 2 n − 1 , ^[6]

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

donde en ambos casos K = k ₁ + ··· + k _n y

${\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

es un coeficiente multinomial . Los deltas de Kronecker en las fórmulas anteriores restringen las sumas sobre los k s a 2 k ₁ + 4 k ₂ + ··· + 2 nk _n = 2 n y a k ₁ + 3 k ₂ + ··· + (2 n − 1) k _n = 2 n − 1 , respectivamente.

A modo de ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}$

Como determinante

E _{2 n} viene dado por el determinante

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Como parte integral

E _{2 n} también viene dada por las siguientes integrales:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Congruencias

W. Zhang ^[7] obtuvo las siguientes identidades combinacionales relativas a los números de Euler, para cualquier primo , tenemos ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}$

W. Zhang y Z. Xu ^[8] demostraron que, para cualquier primo y entero , tenemos ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$

${\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}$

donde es la función totiente de Euler . ${\displaystyle \phi (n)}$

Aproximación asintótica

Los números de Euler crecen bastante rápido para índices grandes, ya que tienen el siguiente límite inferior

${\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

Números en zigzag de Euler

La serie de Taylor de es ${\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}$

donde A _n son los números en zigzag de Euler , comenzando con

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (secuencia A000111 en la OEIS )

Para todo n par ,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}$

donde E _n es el número de Euler; y para todo n impar ,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}$

donde B _n es el número de Bernoulli .

Para cada n ,

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}$^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Número de campana
• Número de Bernoulli
• Función beta de Dirichlet
• Constante de Euler-Mascheroni

Referencias

1. Jha, Sumit Kumar (2019). "Una nueva fórmula explícita para los números de Bernoulli que involucran el número de Euler". Revista de Combinatoria y Teoría de Números de Moscú . 8 (4): 385–387. doi :10.2140/moscow.2019.8.389. S2CID  209973489.
2. Jha, Sumit Kumar (15 de noviembre de 2019). "Una nueva fórmula explícita para los números de Euler en términos de los números de Stirling de segundo tipo".
3. Wei, Chun-Fu; Qi, Feng (2015). "Varias expresiones cerradas para los números de Euler". Revista de desigualdades y aplicaciones . 219 (2015). doi : 10.1186/s13660-015-0738-9 .
4. Tang, Ross (11 de mayo de 2012). "Una fórmula explícita para los números en zigzag de Euler (números ascendentes/descendentes) de series de potencias" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 9 de abril de 2014.
5. Vella, David C. (2008). "Fórmulas explícitas para números de Bernoulli y Euler". Enteros . 8 (1): A1.
6. Malenfant, J. (2011). "Expresiones finitas y cerradas para la función de partición y para los números de Euler, Bernoulli y Stirling". arXiv : 1103.1585 [math.NT].
7. Zhang, WP (1998). "Algunas identidades que involucran a Euler y los números factoriales centrales" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 36 (4): 154–157. doi :10.1080/00150517.1998.12428950. Archivado (PDF) desde el original el 23 de noviembre de 2019.
8. Zhang, WP; Xu, ZF (2007). "Sobre una conjetura de los números de Euler". Journal of Number Theory . 127 (2): 283–291. doi : 10.1016/j.jnt.2007.04.004 .

Enlaces externos

• "Números de Euler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Número de Euler". MathWorld .