Número de Descartes

En teoría de números , un número de Descartes es un número impar que habría sido un número perfecto impar si uno de sus factores compuestos fuera primo . Se denominan así en honor a René Descartes, quien observó que el número $D$ $= 3$ $2$ $\cdot7$ $2$ $\cdot11$ $2$ $\cdot13$ $2$ $\cdot22021 = (3\cdot1001)$ $2$ $\cdot (22\cdot1001 - 1) = 198585576189$ sería un número perfecto impar si solo $22021$ fuera un número primo , ya que la función suma de divisores para $D$ satisfaría, si 22021 fuera primo,

{\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)\\&=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)\\&=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)\\&=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{alineado}}

donde ignoramos el hecho de que 22021 es compuesto ( $22021 = 19 2 \cdot 61$ ).

Un número de Descartes se define como un número impar $n = m \cdot p$ donde $m$ y $p$ son coprimos y $2$ $n$ $= σ($ $m$ $) \cdot ($ $p$ $+ 1)$ , por lo que $p$ se considera un primo "falso". El ejemplo dado es el único conocido actualmente.

Si $m$ es un número impar casi perfecto , ^[1] es decir, $σ(m) = 2 m - 1$ y $2 m - 1$ se toma como un primo 'falso', entonces $n = m \cdot (2 m - 1)$ es un número de Descartes, ya que $σ(n) = σ(m \cdot (2 m - 1)) = σ(m) \cdot 2 m = (2 m - 1) \cdot 2 m = 2 n$ . Si $2 m - 1$ fuera primo, $n$ sería un número impar perfecto.

Propiedades

Banks et al. demostraron en 2008 que si $n$ es un número de Descartes sin cubo no divisible por , entonces $n$ tiene más de un millón de divisores primos distintos. ^[2] ${\estilo de visualización 3}$

Tóth demostró en 2021 que si denota un número de Descartes (distinto del ejemplo de Descartes), con factor pseudoprimo , entonces . $D=pq$ ${\estilo de visualización p}$ $estilo de visualización q>10^{12}}$

Generalizaciones

John Voight generalizó los números de Descartes para permitir bases negativas. Encontró el ejemplo . ^[3] Un trabajo posterior de un grupo de la Universidad Brigham Young encontró más ejemplos similares al ejemplo de Voight, ^[3] y también permitió una nueva clase de falsificaciones donde uno también puede no notar que un primo es el mismo que otro primo en la factorización. ^[4] $3^{4}7^{2}11^{2}19^{2}(-127)^{1}$

Véase también

Número de Erdős-Nicolas , otro tipo de número casi perfecto

Notas

^ Actualmente, los únicos números casi perfectos conocidos son las potencias no negativas de 2 , de donde el único número casi perfecto impar conocido es $20 = 1.$
^ Banks, William D.; Güloğlu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip (2008), "Números de Descartes", Anatomía de los números enteros. Basado en el taller CRM, Montreal, Canadá, 13-17 de marzo de 2006 , Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), pp. 167-173, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl 1186.11004 , consultado el 13 de mayo de 2024
^ ab Nadis, Steve (10 de septiembre de 2020). "Los matemáticos abren un nuevo frente en un antiguo problema numérico". Quanta Magazine . Consultado el 3 de octubre de 2021 .
^ Andersen, Nickolas; Durham, Spencer; Griffin, Michael J.; Hales, Jonathan; Jenkins, Paul; Keck, Ryan; Ko, Hankun; Molnar, Grant; Moss, Eric; Nielsen, Pace P.; Niendorf, Kyle; Tombs, Vandy; Warnick, Merrill; Wu, Dongsheng (2020). "Factorizaciones perfectas extrañas y falsas". J. Number Theory (234): 31–47. arXiv : 2006.10697 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )Versión arXiv

Referencias

Banks, William D.; Güloğlu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip (2008). "Números de Descartes". En De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrew ; Luca, Florian (eds.). Anatomía de los números enteros. Basado en el taller CRM, Montreal, Canadá, 13--17 de marzo de 2006 . Actas y notas de conferencias de CRM. Vol. 46. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9.Zbl 1186.11004 .
Klee, Victor ; Wagon, Stan (1991). Problemas nuevos y viejos sin resolver en geometría plana y teoría de números . The Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 11. Washington, DC: Mathematical Association of America . ISBN 0-88385-315-9.Zbl 0784.51002 .
Tóth, László (2021). "Sobre la densidad de números perfectos impares falsos" (PDF) . Comput. Methods Sci. Technol . 27 (1). arXiv : 2101.09718 ..