Multiplicidad (mecánica estadística)

Número de microestados para un macroestado dado de un sistema termodinámico

En mecánica estadística , la multiplicidad (también llamada peso estadístico ) se refiere al número de microestados correspondientes a un macroestado particular de un sistema termodinámico . ^[1] Comúnmente denotada como , está relacionada con la entropía de configuración de un sistema aislado ^[2] a través de la fórmula de entropía de Boltzmann donde es la entropía y es la constante de Boltzmann . ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle S=k_{\text{B}}\log \Omega ,}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$

Ejemplo: el paramagnético de dos estados

Un modelo simplificado del paramagnético de dos estados proporciona un ejemplo del proceso de cálculo de la multiplicidad de un macroestado particular. ^[1] Este modelo consiste en un sistema de N dipolos microscópicos μ que pueden estar alineados o antialineados con un campo magnético aplicado externamente B . Sea representa el número de dipolos que están alineados con el campo externo y representa el número de dipolos antialineados. La energía de un solo dipolo alineado es mientras que la energía de un dipolo antialineado es por lo tanto la energía total del sistema es ${\displaystyle N_{\uparrow }}$ ${\displaystyle N_{\downarrow }}$ ${\displaystyle U_{\uparrow }=-\mu B,}$ ${\displaystyle U_{\downarrow }=\mu B;}$ $${\displaystyle U=(N_{\downarrow }-N_{\uparrow })\mu B.}$$

El objetivo es determinar la multiplicidad como una función de U ; a partir de ahí, se pueden determinar la entropía y otras propiedades termodinámicas del sistema. Sin embargo, es útil como paso intermedio calcular la multiplicidad como una función de y Este enfoque muestra que el número de macroestados disponibles es N + 1 . Por ejemplo, en un sistema muy pequeño con N = 2 dipolos, hay tres macroestados, correspondientes a Dado que los macroestados y requieren que ambos dipolos estén antialineados o alineados, respectivamente, la multiplicidad de cualquiera de estos estados es 1. Sin embargo, en el se puede elegir cualquiera de los dipolos para el dipolo alineado, por lo que la multiplicidad es 2. En el caso general, la multiplicidad de un estado, o el número de microestados, con dipolos alineados se deduce de la combinatoria , lo que da como resultado donde el segundo paso se deduce del hecho de que ${\displaystyle N_{\uparrow }}$ ${\displaystyle N_{\downarrow }.}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }=0,1,2.}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }=0}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }=2}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }=1,}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }}$ $${\displaystyle \Omega ={\frac {N!}{N_{\uparrow }!(N-N_{\uparrow })!}}={\frac {N!}{N_{\uparrow }!N_{\downarrow }!}},}$$ ${\displaystyle N_{\uparrow }+N_{\downarrow }=N.}$

Dado que la energía U se puede relacionar con y de la siguiente manera: ${\displaystyle N_{\uparrow }-N_{\downarrow }=-{\tfrac {U}{\mu B}},}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }}$ ${\displaystyle N_{\downarrow }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\uparrow }&={\frac {N}{2}}-{\frac {U}{2\mu B}}\\[4pt]N_{\downarrow }&={\frac {N}{2}}+{\frac {U}{2\mu B}}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la expresión final para la multiplicidad en función de la energía interna es $${\displaystyle \Omega ={\frac {N!}{\left({\frac {N}{2}}-{\frac {U}{2\mu B}}\right)!\left({\frac {N}{2}}+{\frac {U}{2\mu B}}\right)!}}.}$$

Esto se puede utilizar para calcular la entropía de acuerdo con la fórmula de entropía de Boltzmann; a partir de allí se pueden calcular otras propiedades útiles como la temperatura y la capacidad calorífica.

Referencias

1. Schroeder, Daniel V. (1999). Introducción a la física térmica (primera edición). Pearson. ISBN 9780201380279.
2. Atkins, Peter; Julio de Paula (2002). Química física (7ª ed.). Oxford University Press.