Autómata celular móvil

Método en mecánica de sólidos computacional basado en el concepto discreto

El método del autómata celular móvil (MCA) es un método de mecánica de sólidos computacional basado en el concepto discreto. Proporciona ventajas tanto del autómata celular clásico como de los métodos de elementos discretos . Una ventaja importante ^[1] del método MCA es que permite la simulación directa de la fractura del material, incluida la generación de daños, la propagación de grietas, la fragmentación y la mezcla de masas. Es difícil simular estos procesos por medio de métodos de mecánica de medios continuos (por ejemplo: método de elementos finitos , método de diferencias finitas , etc.), por lo que se requieren algunos conceptos nuevos como la peridinámica . El método de elementos discretos es muy eficaz para simular materiales granulares, pero las fuerzas mutuas entre autómatas celulares móviles permiten simular el comportamiento de los sólidos. A medida que el tamaño de celda del autómata se acerca a cero, el comportamiento del MCA se acerca a los métodos clásicos de mecánica de medios continuos . ^[2] El método MCA fue desarrollado en el grupo de SG Psakhie ^[3]

Piedra angular del método del autómata celular móvil

El objeto (a la izquierda) se describe como un conjunto de autómatas que interactúan (en el centro). A la derecha se muestra el campo de velocidad de los autómatas.

En el marco del enfoque MCA , un objeto bajo modelado se considera como un conjunto de elementos/autómatas que interactúan. La dinámica del conjunto de autómatas se define por sus fuerzas mutuas y las reglas para sus relaciones. Este sistema existe y opera en el tiempo y el espacio. Su evolución en el tiempo y el espacio está gobernada por las ecuaciones de movimiento. Las fuerzas mutuas y las reglas para las relaciones entre elementos se definen por la función de la respuesta del autómata. Esta función tiene que especificarse para cada autómata. Debido a la movilidad de los autómatas, se deben incluir en consideración los siguientes nuevos parámetros de los autómatas celulares: R ⁱ – radio-vector del autómata; V ⁱ – velocidad del autómata; ω ⁱ – velocidad de rotación del autómata; θ ⁱ – vector de rotación del autómata; m ⁱ – masa del autómata; J ⁱ – momento de inercia del autómata.

Nuevo concepto: vecinos

Cada autómata tiene algunos vecinos

El nuevo concepto del método MCA se basa en la introducción del estado del par de autómatas (relación de pares de autómatas que interactúan) además del estado convencional de un autómata independiente. Obsérvese que la introducción de esta definición permite pasar del concepto de red estática al concepto de vecinos . Como resultado de esto, los autómatas tienen la capacidad de cambiar sus vecinos cambiando los estados (relaciones) de los pares.

Definición del parámetro de estado del par

La introducción de un nuevo tipo de estados da lugar a un nuevo parámetro que se puede utilizar como criterio para cambiar de relación . Se define como un autómata con parámetros superpuestos  h ^ij . Por tanto, la relación de los autómatas celulares se caracteriza por el valor de su superposición .

La estructura inicial se forma estableciendo ciertas relaciones entre cada par de elementos vecinos.

Criterio de conmutación del estado de las relaciones de pares

A la izquierda, el par de autómatas ij está enlazado. A la derecha, el par de autómatas ij no está enlazado.

A diferencia del método clásico de autómatas celulares, en el método MCA no solo se puede conmutar un único autómata, sino también una relación de pares de autómatas . De acuerdo con el concepto de autómata biestable, existen dos tipos de estados de pares (relaciones):

Por lo tanto, el cambio de estado de las relaciones de pares está controlado por los movimientos relativos de los autómatas y los medios formados por dichos pares pueden considerarse como medios biestables.

Ecuaciones del movimiento MCA

La evolución de los medios MCA se describe mediante las siguientes ecuaciones de movimiento para la traslación :

${\displaystyle {d^{2}h^{ij} \over dt^{2}}=\left({1 \over m^{i}}+{1 \over m^{j}}\right)p^{ij}+\sum _{k\neq j}C(ij,ik)\psi (\alpha _{ij,ik}){1 \over m^{i}}p^{ik}+\sum _{l\neq i}C(ij,jl)\psi (\alpha _{ij,jl}){1 \over m^{j}}p^{jl}}$

Fuerzas entre autómatas ij provenientes de sus vecinos.

Aquí está la masa del autómata , es la fuerza central que actúa entre los autómatas y , es cierto coeficiente asociado con la transferencia del parámetro h del par ij al par ik , es el ángulo entre las direcciones ij e ik . ${\displaystyle m^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p^{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle C(ij,ik)}$ ${\displaystyle \psi (\alpha _{ij,ik})}$

Debido al tamaño finito de los autómatas móviles, se deben tener en cuenta los efectos de la rotación. Las ecuaciones de movimiento para la rotación se pueden escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {d^{2}\theta ^{ij} \over dt^{2}}=\left({q^{ij} \over J^{i}}+{q^{ji} \over J^{j}}\right)\tau ^{ij}+\sum _{k\neq j}S(ij,ik){q^{ik} \over J^{i}}\tau ^{ik}+\sum _{l\neq j}S(ij,jl){q^{jl} \over J^{j}}\tau ^{jl}}$

Aquí Θ ^ij es el ángulo de rotación relativa (es un parámetro de conmutación como h ^ij para la traslación), q ^ij es la distancia desde el centro del autómata i hasta el punto de contacto del autómata j (brazo de momento), τ ^ij es la interacción tangencial del par, es cierto coeficiente asociado con la transferencia del parámetro Θ de un par a otro (es similar a la ecuación de traslación). ${\displaystyle S(ij,ik)}$ ${\displaystyle C(ij,ik)}$

Estas ecuaciones son completamente similares a las ecuaciones de movimiento para el enfoque de muchas partículas.

Definición de deformación en pares de autómatas

La rotación del cuerpo en su conjunto no provoca deformación en el par de autómatas

Traslación del par de autómatas El parámetro de deformación adimensional para la traslación del par de autómatas ij se puede presentar como:

${\displaystyle \varepsilon ^{ij}={h^{ij} \over r_{0}^{ij}}={\left(q^{ij}+q^{ji}\right)-\left(d^{i}+d^{j}\right){\big /}2 \over \left(d^{i}+d^{j}\right){\big /}2}}$

En este caso:

${\displaystyle \left(\Delta {\varepsilon ^{i(j)}}+\Delta {\varepsilon ^{j(i)}}\right){\left(d^{i}+d^{j}\right) \over 2}=V_{n}^{ij}\Delta {t}}$

donde Δt paso de tiempo, V _n ^ij – velocidad relativa.

La rotación del par de autómatas se puede calcular por analogía con las últimas relaciones de traslación.

Modelado de deformaciones irreversibles mediante el método MCA

La deformación está determinada por el valor de la distancia desde el centro del autómata.

Hay dos tipos de función de respuesta de los autómatas.

El parámetro ε ^ij se utiliza como medida de la deformación del autómata i bajo su interacción con el autómata j . Donde q ^ij – es la distancia desde el centro del autómata i hasta su punto de contacto con el autómata j ; R ⁱ = d ⁱ /2 ( d ⁱ – es el tamaño del autómata i ).

Como ejemplo se considera la muestra de titanio sometida a carga cíclica (tensión-compresión). El diagrama de carga se muestra en la siguiente figura:

Ventajas del método MCA

Debido a la movilidad de cada autómata, el método MCA permite tener en cuenta directamente acciones como:

• mezcla de masa
• efectos de penetración
• reacciones químicas
• deformación intensiva
• transformaciones de fase
• acumulación de daños
• fragmentación y fractura
• Generación y desarrollo de grietas

Utilizando condiciones de contorno de diferentes tipos (fijas, elásticas, viscoelásticas, etc.) es posible imitar diferentes propiedades del medio circundante que contiene el sistema simulado. Es posible modelar diferentes modos de carga mecánica (tensión, compresión, deformación cortante, etc.) estableciendo condiciones adicionales en los límites.

Véase también

• Mecánica de medios continuos  : rama de la física que estudia el comportamiento de los materiales modelados como medios continuos.
• Mecánica de sólidos  : rama de la mecánica que se ocupa de los materiales sólidos y sus comportamientos.
• Mecánica de fracturas  – Estudio de la propagación de grietas en materiales
• Peridinámica
• Simulación por computadora  : proceso de modelado matemático, realizado en una computadora.
• Método de elementos discretos  : métodos numéricos para calcular el movimiento y el efecto de una gran cantidad de partículas pequeñas
• Autómata celular  : modelo discreto estudiado en informática
• Método de elementos finitos  : método numérico para resolver problemas físicos o de ingeniería.
• Método de diferencias finitas  – Clase de técnicas numéricas

Referencias

1. Psakhie, SG; Horie, Y.; Korostelev, S. Yu.; Smolin, A. Yu.; Dmítriev, AI; Shilko, EV; Alekseev, SV (1 de noviembre de 1995). "Método de autómatas celulares móviles como herramienta de simulación en el marco de la mesomecánica". Revista Rusa de Física . 38 (11): 1157-1168. Código bibliográfico : 1995RuPhJ..38.1157P. doi :10.1007/BF00559396. S2CID  120300401.
2. Popov, VL, Psakhie SG (2001). "Principios teóricos del modelado de medios elastoplásticos mediante el método de autómatas celulares móviles. I: Medios homogéneos". Phys. Mesomechanics . 4 : 16–25.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Shilko, Evgeny V.; Popov, Valentin L.; Vasiljeva, Olga S.; Ostermeyer, Georg-Peter (2021), Ostermeyer, Georg-Peter; Popov, Valentin L.; Shilko, Evgeny V.; Vasiljeva, Olga S. (eds.), "En memoria de Sergey G. Psakhie", Biomecánica multiescala y tribología de sistemas inorgánicos y orgánicos: En memoria del profesor Sergey Psakhie , Springer Tracts in Mechanical Engineering, Cham: Springer International Publishing, págs. 1–23, doi : 10.1007/978-3-030-60124-9_1 , ISBN 978-3-030-60124-9

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Software

• Paquete de software MCA
• Software para simulación de materiales en el enfoque discreto-continuo «FEM+MCA»: Número de registro estatal en la Fundación de Investigación Aplicada de Algoritmos y Software (AFAS): 50208802297 / Smolin AY, Zelepugin SA, Dobrynin SA; el solicitante y el centro de desarrollo es la Universidad Estatal de Tomsk. – fecha de registro 28.11.2008; certificado AFAS N 11826 fecha 01.12.2008.