Momento de la imagen

Promedio ponderado/momento de algunas intensidades de píxeles

En el procesamiento de imágenes , la visión por computadora y campos relacionados, un momento de imagen es un promedio ponderado particular ( momento ) de las intensidades de los píxeles de la imagen, o una función de dichos momentos, generalmente elegidos para tener alguna propiedad o interpretación atractiva.

Los momentos de imagen son útiles para describir objetos después de la segmentación . Las propiedades simples de la imagen que se encuentran a través de los momentos de imagen incluyen el área (o intensidad total), su centroide e información sobre su orientación.

Momentos crudos

Para una función continua 2D f ( x , y ) el momento (a veces llamado "momento bruto") de orden ( p + q ) se define como

${\displaystyle M_{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f(x,y)\,dx\,dy}$

para p , q = 0,1,2,... Adaptando esto a una imagen escalar (escala de grises) con intensidades de píxeles I ( x , y ), los momentos de imagen sin procesar M _ij se calculan mediante

${\displaystyle M_{ij}=\sum _{x}\sum _{y}x^{i}y^{j}I(x,y)\,\!}$

En algunos casos, esto se puede calcular considerando la imagen como una función de densidad de probabilidad , es decir , dividiendo lo anterior por

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}I(x,y)\,\!}$

Un teorema de unicidad (Hu [1962]) establece que si f ( x , y ) es continua por partes y tiene valores distintos de cero solo en una parte finita del plano xy , existen momentos de todos los órdenes, y la secuencia de momentos ( M _pq ) está determinada de forma única por f ( x , y ). ^[1] Por el contrario, ( M _pq ) determina de forma única f ( x , y ). En la práctica, la imagen se resume con funciones de unos pocos momentos de orden inferior.

Ejemplos

Las propiedades de imagen simples derivadas a través de momentos sin procesar incluyen:

• Área (para imágenes binarias) o suma de niveles de gris (para imágenes de tonos de gris): ${\displaystyle M_{00}}$
• Centroide: ${\displaystyle \{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}}$

Momentos centrales

Los momentos centrales se definen como

${\displaystyle \mu _{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)\,dx\,dy}$

donde y son los componentes del centroide . ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}}$

Si ƒ ( x ,  y ) es una imagen digital, entonces la ecuación anterior se convierte en

${\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)}$

Los momentos centrales de orden hasta 3 son:

${\displaystyle \mu _{00}=M_{00},\,\!}$

${\displaystyle \mu _{01}=0,\,\!}$

${\displaystyle \mu _{10}=0,\,\!}$

${\displaystyle \mu _{11}=M_{11}-{\bar {x}}M_{01}=M_{11}-{\bar {y}}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01},}$

${\displaystyle \mu _{21}=M_{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{01},}$

${\displaystyle \mu _{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{01}.}$

Se puede demostrar que:

${\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{m}^{p}\sum _{n}^{q}{p \choose m}{q \choose n}(-{\bar {x}})^{(p-m)}(-{\bar {y}})^{(q-n)}M_{mn}}$

Los momentos centrales son invariantes traslacionales .

Ejemplos

La información sobre la orientación de la imagen se puede obtener utilizando primero los momentos centrales de segundo orden para construir una matriz de covarianza .

${\displaystyle \mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}}$

La matriz de covarianza de la imagen es ahora ${\displaystyle I(x,y)}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}}$.

Los vectores propios de esta matriz corresponden a los ejes mayor y menor de la intensidad de la imagen, por lo que la orientación puede extraerse del ángulo del vector propio asociado al valor propio mayor hacia el eje más cercano a este vector propio. Se puede demostrar que este ángulo Θ viene dado por la siguiente fórmula:

${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)}$

La fórmula anterior es válida siempre que:

${\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}$

Se puede demostrar fácilmente que los valores propios de la matriz de covarianza son

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}},}$

y son proporcionales al cuadrado de la longitud de los ejes de los vectores propios. La diferencia relativa en magnitud de los valores propios es, por tanto, una indicación de la excentricidad de la imagen, o de lo alargada que es. La excentricidad es

${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}.}$

Invariantes de momento

Los momentos son bien conocidos por su aplicación en el análisis de imágenes, ya que pueden utilizarse para derivar invariantes con respecto a clases de transformación específicas.

En este contexto, se suele abusar del término momentos invariantes . Sin embargo, si bien los invariantes de momento son invariantes que se forman a partir de momentos, los únicos momentos que son invariantes en sí mismos son los momentos centrales. ^{[ cita requerida ]}

Tenga en cuenta que los invariantes detallados a continuación son exactamente invariantes solo en el dominio continuo. En un dominio discreto, ni la escala ni la rotación están bien definidas: una imagen discreta transformada de esa manera es generalmente una aproximación y la transformación no es reversible. Por lo tanto, estos invariantes solo son aproximadamente invariantes cuando describen una forma en una imagen discreta.

Invariantes de traducción

Los momentos centrales μ _{i j} de cualquier orden son, por construcción, invariantes con respecto a las traslaciones .

Invariantes de escala

Los invariantes η _{i j} con respecto a la traslación y la escala se pueden construir a partir de momentos centrales dividiendo por un momento central cero adecuadamente escalado:

${\displaystyle \eta _{ij}={\frac {\mu _{ij}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}\right)}}}\,\!}$

donde i + j ≥ 2. Nótese que la invariancia traslacional se deduce directamente al utilizar únicamente momentos centrales.

Invariantes de rotación

Como se muestra en el trabajo de Hu, ^{[2] [3]} se pueden construir invariantes con respecto a la traslación , la escala y la rotación :

${\displaystyle I_{1}=\eta _{20}+\eta _{02}}$

${\displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^{2}}$

${\displaystyle I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]}$

${\displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})}$

${\displaystyle I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]-(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}].}$

Estos son bien conocidos como invariantes del momento de Hu .

El primero, I ₁ , es análogo al momento de inercia alrededor del centroide de la imagen, donde las intensidades de los píxeles son análogas a la densidad física. Los primeros seis, I ₁ ... I ₆ , son simétricos con respecto a la reflexión, es decir, no cambian si la imagen se transforma en una imagen especular. El último, I ₇ , es antisimétrico con respecto a la reflexión (cambia de signo con la reflexión), lo que le permite distinguir imágenes especulares de imágenes que, por lo demás, serían idénticas.

J. Flusser propuso una teoría general para derivar conjuntos completos e independientes de invariantes de momento de rotación. ^[4] Demostró que el conjunto tradicional de invariantes de momento de Hu no es independiente ni completo. I ₃ no es muy útil ya que depende de los otros ( ). En el conjunto original de Hu falta un invariante de momento independiente de tercer orden: ${\displaystyle I_{3}=(I_{5}^{2}+I_{7}^{2})/I_{4}^{3}}$

${\displaystyle I_{8}=\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})}$

Al igual que I ₇ , I ₈ también es antisimétrico en reflexión.

Posteriormente, J. Flusser y T. Suk ^[5] especializaron la teoría para el caso de formas N-rotacionalmente simétricas.

Aplicaciones

Zhang et al. aplicaron invariantes de momento de Hu para resolver el problema de detección patológica del cerebro (PBD). ^[6] Doerr y Florence utilizaron información de la orientación del objeto relacionada con los momentos centrales de segundo orden para extraer de manera efectiva secciones transversales de objetos invariantes en cuanto a traslación y rotación a partir de datos de imágenes de tomografía de microrayos X. ^[7]

DA Hoeltzel y Wei-Hua Chieng utilizaron el momento invariante de Hu para trabajar en un mecanismo de cuatro barras parametrizado dimensionalmente que produjo 15 grupos de curvas de acoplador distintos (patrones) de un total de 356 curvas de acoplador generadas. ^[8]

Enlaces externos

• Análisis de imágenes binarias, Universidad de Edimburgo
• Momentos estadísticos, Universidad de Edimburgo
• Página de momentos variantes, percepción de máquinas y visión por computadora (código fuente de Matlab y Python)
• Vídeo de presentación de Hu Moments en YouTube
• Implementación de Gist de esta página, jupyter y python.

Referencias

1. Gonzalez, Rafael C.; Woods, Richard E. (2001). Procesamiento de imágenes digitales . Prentice Hall. p. 672. ISBN 0-201-18075-8.
2. MK Hu, "Reconocimiento de patrones visuales mediante invariantes de momento", IRE Trans. Info. Theory, vol. IT-8, págs. 179-187, 1962
3. http://docs.opencv.org/modules/imgproc/doc/structural_analysis_and_shape_descriptors.html?highlight=cvmatchshapes#humoments Método OpenCV de Hu Moments
4. J. Flusser: "Sobre la independencia de los invariantes del momento de rotación", Pattern Recognition, vol. 33, págs. 1405–1410, 2000.
5. J. Flusser y T. Suk, "Invariantes del momento de rotación para el reconocimiento de objetos simétricos", IEEE Trans. Image Proc., vol. 15, págs. 3784–3790, 2006.
6. Zhang, Y. (2015). "Detección patológica del cerebro basada en la entropía wavelet y en invariantes del momento Hu". Materiales biomédicos e ingeniería . 26 : 1283–1290. doi : 10.3233/BME-151426 . PMID:  26405888.
7. Doerr, Frederik; Florence, Alastair (2020). "Una metodología de análisis de imágenes micro-XRT y aprendizaje automático para la caracterización de formulaciones de cápsulas multiparticuladas". Revista internacional de farmacia: X . 2 : 100041. doi : 10.1016/j.ijpx.2020.100041 . PMC 6997304 . PMID  32025658. 
8. Hoeltzel, DA; Chieng, Wei-Hua (1990). "Síntesis de coincidencia de patrones como un enfoque automatizado para el diseño de mecanismos". Transacciones de la ASME, Journal of Mechanical Design . 112 : 190-199. doi : 10.1115/1.2912592 .