Momento de la imagen

Promedio ponderado/momento de algunas intensidades de píxeles

En el procesamiento de imágenes , la visión por computadora y campos relacionados, un momento de la imagen es un cierto promedio ponderado ( momento ) particular de las intensidades de los píxeles de la imagen, o una función de dichos momentos, generalmente elegidos para tener alguna propiedad o interpretación atractiva.

Los momentos de la imagen son útiles para describir objetos después de la segmentación . Las propiedades simples de la imagen que se encuentran a través de los momentos de la imagen incluyen el área (o intensidad total), su centroide e información sobre su orientación.

Momentos crudos

Para una función continua 2D f ( x , y ), el momento (a veces llamado "momento bruto") de orden ( p + q ) se define como

${\displaystyle M_{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f(x,y)\,dx\,dy}$

para p , q = 0,1,2,... Adaptando esto a una imagen escalar (escala de grises) con intensidades de píxeles I ( x , y ), los momentos de la imagen sin procesar _Mij se calculan mediante

${\displaystyle M_{ij}=\sum _{x}\sum _{y}x^{i}y^{j}I(x,y)\,\!}$

En algunos casos, esto se puede calcular considerando la imagen como una función de densidad de probabilidad , es decir , dividiendo lo anterior por

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}I(x,y)\,\!}$

Un teorema de unicidad (Hu [1962]) establece que si f ( x , y ) es continua por partes y tiene valores distintos de cero sólo en una parte finita del plano xy , existen momentos de todos los órdenes y la secuencia de momentos ( M _pq ) es determinado únicamente por f ( x , y ). ^[1] Por el contrario, ( M _pq ) determina de forma única f ( x , y ). En la práctica, la imagen se resume con funciones de unos pocos momentos de orden inferior.

Ejemplos

Las propiedades de imagen simples derivadas de momentos sin procesar incluyen:

• Área (para imágenes binarias) o suma de niveles de grises (para imágenes en tonos de grises): ${\displaystyle M_{00}}$
• Centroide: ${\displaystyle \{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}}$

Momentos centrales

Los momentos centrales se definen como

${\displaystyle \mu _{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)\,dx\,dy}$

donde y son las componentes del centroide . ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}}$

Si ƒ ( x ,  y ) es una imagen digital, entonces la ecuación anterior se convierte en

${\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)}$

Los momentos centrales de orden hasta 3 son:

${\displaystyle \mu _{00}=M_{00},\,\!}$

${\displaystyle \mu _{01}=0,\,\!}$

${\displaystyle \mu _{10}=0,\,\!}$

${\displaystyle \mu _{11}=M_{11}-{\bar {x}}M_{01}=M_{11}-{\bar {y}}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01},}$

${\displaystyle \mu _{21}=M_{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{01},}$

${\displaystyle \mu _{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{01}.}$

Se puede demostrar que:

${\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{m}^{p}\sum _{n}^{q}{p \choose m}{q \choose n}(-{\bar {x}})^{(p-m)}(-{\bar {y}})^{(q-n)}M_{mn}}$

Los momentos centrales son invariantes traslacionales .

Ejemplos

La información sobre la orientación de la imagen se puede derivar utilizando primero los momentos centrales de segundo orden para construir una matriz de covarianza .

${\displaystyle \mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}}$

La matriz de covarianza de la imagen ahora es ${\displaystyle I(x,y)}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}}$.

Los vectores propios de esta matriz corresponden a los ejes mayor y menor de la intensidad de la imagen, por lo que la orientación se puede extraer del ángulo del vector propio asociado con el valor propio más grande hacia el eje más cercano a este vector propio. Se puede demostrar que este ángulo Θ viene dado por la siguiente fórmula:

${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)}$

La fórmula anterior es válida siempre que:

${\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}$

Se puede demostrar fácilmente que los valores propios de la matriz de covarianza son

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}},}$

y son proporcionales a la longitud al cuadrado de los ejes del vector propio. La diferencia relativa en magnitud de los valores propios es, por tanto, una indicación de la excentricidad de la imagen o de su alargamiento. La excentricidad es

${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}.}$

Invariantes de momento

Los momentos son bien conocidos por su aplicación en el análisis de imágenes, ya que pueden usarse para derivar invariantes con respecto a clases de transformación específicas.

En este contexto, a menudo se abusa del término momentos invariantes . Sin embargo, si bien los invariantes de momento son invariantes que se forman a partir de momentos, los únicos momentos que son invariantes en sí mismos son los momentos centrales. ^{[ cita necesaria ]}

Tenga en cuenta que las invariantes que se detallan a continuación son exactamente invariantes sólo en el dominio continuo. En un dominio discreto, ni el escalado ni la rotación están bien definidos: una imagen discreta transformada de esa manera es generalmente una aproximación y la transformación no es reversible. Por lo tanto, estos invariantes sólo son aproximadamente invariantes cuando describen una forma en una imagen discreta.

Invariantes de traducción

Los momentos centrales μ _{i j} de cualquier orden son, por construcción, invariantes con respecto a las traslaciones .

Invariantes de escala

Los invariantes η _{i j} con respecto tanto a la traslación como a la escala se pueden construir a partir de momentos centrales dividiendo por un momento central ceroésimo debidamente escalado:

${\displaystyle \eta _{ij}={\frac {\mu _{ij}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}\right)}}}\,\!}$

donde i + j ≥ 2. Tenga en cuenta que la invariancia traslacional se sigue directamente utilizando únicamente momentos centrales.

Invariantes de rotación

Como se muestra en el trabajo de Hu, ^{[2] [3]} se pueden construir invariantes con respecto a traslación , escala y rotación :

${\displaystyle I_{1}=\eta _{20}+\eta _{02}}$

${\displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^{2}}$

${\displaystyle I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]}$

${\displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})}$

${\displaystyle I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]-(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}].}$

Estos son conocidos como invariantes de momento Hu .

El primero, I ₁ , es análogo al momento de inercia alrededor del centroide de la imagen, donde las intensidades de los píxeles son análogas a la densidad física. Los primeros seis, I ₁ ... I ₆ , son simétricos por reflexión, es decir, no cambian si la imagen se cambia a una imagen especular. El último, I ₇ , es antisimétrico por reflexión (cambia de signo bajo la reflexión), lo que le permite distinguir imágenes especulares de imágenes por lo demás idénticas.

J. Flusser propuso una teoría general sobre la obtención de conjuntos completos e independientes de invariantes de momento de rotación. ^[4] Demostró que el conjunto tradicional de invariantes de momento de Hu no es independiente ni completo. I ₃ no es muy útil ya que depende de los demás ( ). En el conjunto de Hu original falta un invariante de momento independiente de tercer orden: ${\displaystyle I_{3}=(I_{5}^{2}+I_{7}^{2})/I_{4}^{3}}$

${\displaystyle I_{8}=\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})}$

Como I ₇ , I ₈ también es antisimétrico por reflexión.

Posteriormente, J. Flusser y T. Suk ^[5] especializaron la teoría para el caso de formas N-rotacionalmente simétricas.

Aplicaciones

Zhang et al. aplicó invariantes de momento Hu para resolver el problema de detección patológica del cerebro (PBD). ^[6] Doerr y Florence utilizaron información de la orientación del objeto relacionada con los momentos centrales de segundo orden para extraer eficazmente secciones transversales de objetos invariantes en traslación y rotación a partir de datos de imágenes de tomografía de microrayos X. ^[7]

enlaces externos

• Análisis de imágenes binarias, Universidad de Edimburgo
• Momentos estadísticos, Universidad de Edimburgo
• Momentos variantes, página de Percepción de Máquina y Visión por Computadora (código fuente de Matlab y Python)
• Vídeo introductorio de Hu Moments en YouTube
• Implementación esencial de esta página, jupyter y python.

Referencias

1. González, Rafael C.; Bosques, Richard E. (2001). Procesando imagen digital . Prentice Hall. pag. 672.ISBN​ 0-201-18075-8.
2. MK Hu, "Reconocimiento de patrones visuales por invariantes de momento", IRE Trans. Información. Teoría, vol. IT-8, págs. 179-187, 1962
3. http://docs.opencv.org/modules/imgproc/doc/structural_analysis_and_shape_descriptors.html?highlight=cvmatchshapes#humoments Método OpenCV de Hu Moments
4. J. Flusser: "Sobre la independencia de los invariantes del momento de rotación", Reconocimiento de patrones, vol. 33, págs. 1405-1410, 2000.
5. J. Flusser y T. Suk, "Invariantes de momento de rotación para el reconocimiento de objetos simétricos", IEEE Trans. Imagen Proc., vol. 15, págs. 3784–3790, 2006.
6. Zhang, Y. (2015). "Detección cerebral patológica basada en entropía wavelet e invariantes del momento Hu". Ingeniería y Materiales Biomédicos . 26 : 1283-1290. doi : 10.3233/BME-151426 . PMID  26405888.
7. Doerr, Federico; Florencia, Alastair (2020). "Una metodología de aprendizaje automático y análisis de imágenes micro-XRT para la caracterización de formulaciones de cápsulas multipartículas". Revista Internacional de Farmacéutica: X. 2 : 100041. doi : 10.1016/j.ijpx.2020.100041 . PMC 6997304 . PMID  32025658.