Modelo de capa marginal libre de células

En la hemodinámica de los capilares pequeños , la capa libre de células es una capa de plasma cercana a la pared ausente de glóbulos rojos, ya que están sujetos a migración al centro capilar en el flujo de Poiseuille . ^[1] El modelo de capa marginal libre de células es un modelo matemático que intenta explicar matemáticamente el efecto Fåhræus-Lindqvist .

Modelo matematico

Ecuaciones gubernamentales

Considere un flujo constante de sangre a través de un capilar de radio . La sección transversal capilar se puede dividir en una región central y una región de plasma libre de células cerca de la pared. Las ecuaciones gobernantes para ambas regiones pueden estar dadas por las siguientes ecuaciones: ^[2] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {-\Delta P}{L}}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(\mu _{c}r{\frac {du_{c}}{dr}});}$ ${\displaystyle 0\leq r\ \leq R-\delta \,}$

${\displaystyle {\frac {-\Delta P}{L}}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(\mu _{p}r{\frac {du_{p}}{dr}});}$ ${\displaystyle R-\delta \leq r\ \leq R\ \,}$

dónde:

${\displaystyle \Delta P}$es la caída de presión a través del capilar

${\displaystyle L}$es la longitud del capilar

${\displaystyle u_{c}}$es la velocidad en la región central

${\displaystyle u_{p}}$es la velocidad del plasma en la región libre de células

${\displaystyle \mu _{c}}$es la viscosidad en la región central

${\displaystyle \mu _{p}}$es la viscosidad del plasma en la región libre de células

${\displaystyle \delta }$es el espesor de la capa de plasma libre de células

Condiciones de borde

Las condiciones de contorno para obtener la solución de las dos ecuaciones diferenciales presentadas anteriormente son que el gradiente de velocidad sea cero en el centro del tubo, que no se produzca deslizamiento en la pared del tubo y que la velocidad y el esfuerzo cortante sean continuos en la interfaz entre las dos zonas. Estas condiciones de contorno se pueden expresar matemáticamente como:

• ${\displaystyle \left.{\frac {du_{c}}{dr}}\right|_{r=0}=0}$
• ${\displaystyle \left.u_{p}\right|_{r=R}=0}$
• ${\displaystyle \left.u_{p}\right|_{r=R-\delta }=\left.u_{c}\right|_{r=R-\delta }}$
• ${\displaystyle \left.\tau _{p}\right|_{r=R-\delta }=\left.\tau _{c}\right|_{r=R-\delta }}$

Perfiles de velocidad

La integración de las ecuaciones rectoras con respecto a r y la aplicación de las condiciones de contorno discutidas anteriormente dará como resultado:

${\displaystyle u_{c}={\frac {\Delta PR^{2}}{4\mu _{p}L}}[1-({\frac {R-\delta }{R}})^{2}-{\frac {\mu _{p}}{\mu _{c}}}({\frac {r}{R}})^{2}+{\frac {\mu _{p}}{\mu _{c}}}({\frac {R-\delta }{R}})^{2}]}$

${\displaystyle u_{p}={\frac {\Delta PR^{2}}{4\mu _{p}L}}[1-({\frac {r}{R}})^{2}]}$

Caudal volumétrico para regiones centrales y libres de células

${\displaystyle Q_{p}=\int \limits _{R-\delta }^{R}2\pi *u_{p}rdr={\frac {\pi \Delta P}{8\mu _{p}L}}(R^{2}-(R-\delta )^{2})^{2}}$

${\displaystyle Q_{c}=\int \limits _{0}^{R-\delta }2\pi *u_{c}rdr={\frac {\pi \Delta P*(R-\delta )^{2}}{8L}}[{\frac {(R-\delta )^{2}}{\mu _{c}}}+{\frac {2(R^{2}-(R-\delta )^{2})}{8\mu _{p}}}]}$

El caudal volumétrico total es la suma algebraica de los caudales en la región central y plasmática. La expresión para el caudal volumétrico total se puede escribir como:

${\displaystyle Q=Q_{c}+Q_{p}={\frac {\pi \Delta PR^{4}}{8\mu _{p}L}}[1-(1-{\frac {\delta }{R}})^{4}(1-{\frac {\mu _{p}}{\mu _{c}}})]}$

La comparación con la viscosidad que se aplica en el flujo de Poiseuille produce una viscosidad efectiva , como: ${\displaystyle \mu _{e}}$

${\displaystyle \mu _{e}={\frac {\mu _{p}}{[1-(1-{\frac {\delta }{R}})^{4}(1-{\frac {\mu _{p}}{\mu _{c}}})]}}}$

Se puede realizar cuando el radio del vaso sanguíneo es mucho mayor que el espesor de la capa de plasma libre de células , la viscosidad efectiva es igual a la viscosidad total de la sangre a altas velocidades de cizallamiento (fluido newtoniano). ${\displaystyle \mu _{c}}$

Relación entre hematocrito y viscosidad aparente/efectiva

La conservación de la masa requiere:

${\displaystyle QH_{D}=Q_{c}H_{c}}$

${\displaystyle {\frac {H_{T}}{H_{C}}}=\sigma ^{2}}$

${\displaystyle H_{T}}$= Fracción de volumen promedio de glóbulos rojos (RBC) en capilar pequeño

${\displaystyle H_{D}}$= Fracción de volumen promedio de glóbulos rojos en la capa central

${\displaystyle {\frac {H_{T}}{H_{D}}}={\frac {Q}{Q_{c}}}\sigma ^{2}}$, ${\displaystyle \sigma ={\frac {R-\delta }{R}}}$

${\displaystyle u_{e}={\frac {\pi \Delta PR^{4}}{8Q}}}$

${\displaystyle {\frac {u_{p}}{u_{e}}}=1+\sigma ^{4}[{\frac {u_{a}}{u_{c}}}-1]}$

Viscosidad de la sangre como fracción del hematocrito:

${\displaystyle {\frac {u_{e}}{u}}=1-\alpha H}$

Ver también

• Efecto Fåhræus-Lindqvist
• hemorreología
• Hemodinámica

Referencias

1. W. Pan, B. Caswell y GE Karniadakis (2010). "Un modelo de bajas dimensiones para los glóbulos rojos". Materia Blanda . 6 (18): 4366. Código bibliográfico : 2010SMat....6.4366P. doi :10.1039/C0SM00183J. PMC  3838865 . PMID  24282440.
2. Krishnan B. Chandran, Alit P. Yoganathan, Ajit P. Yoganathan, Stanley E. Rittgers (2007). Mecánica de biofluidos: la circulación humana . Boca Ratón: CRC/Taylor & Francis. ISBN 978-0-8493-7328-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Chebbi, R (2015). "Dinámica del flujo sanguíneo: modelado del efecto Fahraeus-Lindqvist". Revista de Física Biológica . 41 (3): 313–26. doi :10.1007/s10867-015-9376-1. PMC  4456490 . PMID  25702195.