modelo de precio

El modelo de Price (llamado así por el físico Derek J. de Solla Price ) es un modelo matemático para el crecimiento de las redes de citas . ^{[1] [2]} Fue el primer modelo que generalizó el modelo de Simon ^[3] para su uso en redes, especialmente en redes en crecimiento. El modelo de Price pertenece a la clase más amplia de modelos de crecimiento de redes (junto con el modelo Barabási-Albert ) cuyo objetivo principal es explicar el origen de redes con distribuciones de grados fuertemente sesgadas. El modelo retomó las ideas del modelo Simon y refleja el concepto de que los ricos se hacen más ricos , también conocido como efecto Matthew . Price tomó el ejemplo de una red de citas entre artículos científicos y expresó sus propiedades. Su idea era que la forma en que un vértice antiguo (artículo existente) obtiene nuevas aristas (nuevas citas) debería ser proporcional al número de aristas existentes (citas existentes) que ya tiene el vértice. Esto se conoció como ventaja acumulativa , ahora también conocida como vinculación preferencial . El trabajo de Price también es importante al proporcionar el primer ejemplo conocido de una red sin escala (aunque este término se introdujo más tarde). Sus ideas se utilizaron para describir muchas redes del mundo real, como la Web .

El modelo

Lo esencial

Considerando un grafo dirigido con n nodos. Denotemos la fracción de nodos con grado k de modo que . Cada nuevo nodo tiene un grado de salida determinado (es decir, los artículos que cita) y se fija a largo plazo. Esto no significa que los grados de salida no puedan variar entre los nodos, simplemente suponemos que el grado de salida medio m es fijo en el tiempo. Está claro que , en consecuencia, m no está restringido a números enteros. La forma más trivial de conexión preferencial significa que un nuevo nodo se conecta a un nodo existente proporcionalmente a sus grados de entrada. En otras palabras, un artículo nuevo cita un artículo existente en proporción a sus grados de entrada. La advertencia de tal idea es que no se cita ningún artículo nuevo cuando se une a la red, por lo que tendrá probabilidad cero de ser citado en el futuro (lo que necesariamente no es así como sucede). Para superar esto, Price propuso que un archivo adjunto debería ser proporcional a algunos con constante. En general , puede ser arbitrario, pero Price propone a , de esa manera se asocia una cita inicial con el artículo en sí (por lo que el factor de proporcionalidad ahora es k  + 1 en lugar de k ). La probabilidad de que una nueva arista se conecte a cualquier nodo con un grado k es ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \sum _{k}{p_{k}}=1}$ ${\displaystyle \sum _{k}{kp_{k}}=m}$ ${\displaystyle k+k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}=1}$

${\displaystyle {\frac {(k+1)p_{k}}{\sum _{k}(k+1)p_{k}}}={\frac {(k+1)p_{k}}{m+1}}}$

Evolución de la red

La siguiente pregunta es el cambio neto en el número de nodos con grado k cuando agregamos nuevos nodos a la red. Naturalmente, este número está disminuyendo, ya que algunos nodos de k grados tienen nuevas aristas, por lo que se convierten en nodos de ( k  + 1) grados; pero, por otro lado, este número también está aumentando, ya que algunos nodos de ( k  − 1) grados pueden tener nuevas aristas, convirtiéndose en nodos de k grados. Para expresar formalmente este cambio neto, denotemos la fracción de nodos de k grados en una red de n vértices con : ${\displaystyle p_{k,n}}$

${\displaystyle (n+1)p_{k,n+1}-np_{k,n}=[kp_{k-1,n}-(k+1)p_{k,n}]{\frac {m}{m+1}}{\text{ for }}k\geq 1,}$

y

${\displaystyle (n+1)p_{0,n+1}-np_{0,n}=1-p_{0,n}{\frac {m}{m+1}}{\text{ for }}k=0.}$

Para obtener una solución estacionaria para , primero expresemos usando el conocido método de la ecuación maestra , como ${\displaystyle p_{k,n+1}=p_{k,n}=p_{k}}$ ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle p_{k}={\begin{cases}[kp_{k-1}-(k+1)p_{k}]{\frac {m}{m+1}}&{\text{for }}k\geq 1\\1-p_{0}{\frac {m}{m+1}}&{\text{for }}k=0\end{cases}}}$

Después de algunas manipulaciones, la expresión anterior da como resultado

${\displaystyle p_{0}={\frac {m+1}{2m+1}}}$

y

${\displaystyle p_{k}={\frac {k!}{(k+2+1/m)\cdots (3+1/m)}}p_{0}=(1+1/m)\mathbf {B} (k+1,2+1/m),}$

siendo la función Beta . Como consecuencia, . Esto es idéntico a decir que sigue una distribución de ley de potencia con exponente . Normalmente, esto sitúa el exponente entre 2 y 3, como es el caso de muchas redes del mundo real. Price probó su modelo comparándolo con los datos de la red de citas y concluyó que la m resultante es factible para producir una distribución de ley de potencias suficientemente buena . ${\displaystyle \mathbf {B} (a,b)}$ ${\displaystyle p_{k}\sim k^{-(2+1/m)}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \alpha =2+1/m}$

Generalización

Es sencillo cómo generalizar los resultados anteriores al caso cuando . Los cálculos básicos muestran que ${\displaystyle k_{0}\neq 1}$

${\displaystyle p_{k}={\frac {m+k_{0}}{m(k_{0}+1)+k_{0}}}{\frac {\mathbf {B} (k+k_{0},2+k_{0}/m)}{\mathbf {B} (k_{0},2+k_{0}/m)}},}$

lo que una vez más da como resultado una distribución de ley de potencia con el mismo exponente para k grande y fijo . ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \alpha =2+k_{0}/m}$ ${\displaystyle k_{0}}$

Propiedades

La diferencia clave con el modelo de Barabási-Albert más reciente es que el modelo de Price produce un gráfico con aristas dirigidas, mientras que el modelo de Barabási-Albert es el mismo modelo pero con aristas no dirigidas. La dirección es fundamental para la aplicación de la red de citas que motivó a Price. Esto significa que el modelo de Price produce un gráfico acíclico dirigido y estas redes tienen propiedades distintivas.

Por ejemplo, en un gráfico acíclico dirigido tanto los caminos más largos como los más cortos están bien definidos. En el modelo de precio, la longitud de la ruta más larga desde el enésimo nodo agregado a la red hasta el primer nodo de la red se escala como ^[4] ${\displaystyle \ln(n)}$

Notas

Para una discusión más detallada, consulte ^{[5] [6]} y. ^{[7] [8]} Price pudo obtener estos resultados, pero esto era lo lejos que podía llegar, sin la provisión de recursos computacionales. Afortunadamente, gran parte del trabajo dedicado a la conexión preferencial y al crecimiento de la red ha sido posible gracias al reciente progreso tecnológico ^{[ ¿según quién? ]} .

Referencias

1. Precio de Solla, DJ (30 de julio de 1965). "Redes de artículos científicos". Ciencia . 149 (3683). Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia (AAAS): 510–515. Código Bib : 1965 Ciencia... 149.. 510D. doi : 10.1126/ciencia.149.3683.510. ISSN  0036-8075. PMID  14325149.
2. de Solla Price, Derek J. (1976), "Una teoría general de los procesos bibliométricos y otros procesos de ventajas acumulativas", J. Amer. Soc. Informar. Ciencia. , 27 (5): 292–306, CiteSeerX 10.1.1.161.114 , doi :10.1002/asi.4630270505, S2CID  8536863 
3. Simón, Herbert A. (1955). "Sobre una clase de funciones de distribución sesgada". Biometrika . 42 (3–4). Prensa de la Universidad de Oxford (OUP): 425–440. doi :10.1093/biomet/42.3-4.425. ISSN  0006-3444.
4. Evans, TS; Calmón, L.; Vasiliauskaite, V. (2020), "El camino más largo en el modelo de precios", Scientific Reports , 10 (1): 10503, arXiv : 1903.03667 , Bibcode :2020NatSR..1010503E, doi :10.1038/s41598-020-67421-8 , PMC 7324613 , PMID  32601403 
5. Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF; Samukhin, AN (20 de noviembre de 2000). "Estructura de Redes en Crecimiento con Vinculación Preferente". Cartas de revisión física . 85 (21): 4633–4636. arXiv : cond-mat/0004434 . Código bibliográfico : 2000PhRvL..85.4633D. doi :10.1103/physrevlett.85.4633. ISSN  0031-9007. PMID  11082614. S2CID  118876189.
6. Krapivsky, PL; Redner, S. (24 de mayo de 2001). "Organización de redes aleatorias en crecimiento". Revisión física E. 63 (6). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 066123. arXiv : cond-mat/0011094 . Código bibliográfico : 2001PhRvE..63f6123K. doi :10.1103/physreve.63.066123. ISSN  1063-651X. PMID  11415189. S2CID  16077521.
7. Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF (2002). "Evolución de las redes". Avances en Física . 51 (4): 1079–1187. arXiv : cond-mat/0106144 . Código Bib : 2002AdPhy..51.1079D. doi :10.1080/00018730110112519. ISSN  0001-8732. S2CID  429546.
8. Krapivsky, PL y Redner, S., Enfoque de ecuación de tasas para redes en crecimiento , en R. Pastor-Satorras y J. Rubi (eds.), Actas de la XVIII Conferencia de Sitges sobre Mecánica Estadística, Lecture Notes in Physics, Springer, Berlín (2003).

Fuentes

• Newman, MEJ (2003). "La estructura y función de redes complejas". Revisión SIAM . 45 (2): 167–256. arXiv : cond-mat/0303516 . Código Bib : 2003SIAMR..45..167N. doi :10.1137/s003614450342480. ISSN  0036-1445. S2CID  221278130.