Modelo Plummer

El modelo de Plummer o esfera de Plummer es una ley de densidad que fue utilizada por primera vez por HC Plummer para ajustar las observaciones de cúmulos globulares . ^[1] Ahora se utiliza a menudo como modelo de juguete en simulaciones de N cuerpos de sistemas estelares.

Descripción del modelo

La ley de densidad de un modelo de Plummer

El perfil de densidad tridimensional de Plummer se obtiene mediante donde es la masa total del cúmulo y a es el radio de Plummer , un parámetro de escala que establece el tamaño del núcleo del cúmulo. El potencial correspondiente es donde G es la constante gravitacional de Newton . La dispersión de velocidad es $${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{5}/{2}},}$$ ${\displaystyle M_{0}}$ $${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}$$ $${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}$$

La función de distribución isótropa se lee si , y en caso contrario, donde es la energía específica . $${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {a^{2}}{G^{5}M_{0}^{4}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$$ ${\displaystyle E<0}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$ ${\textstyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$

Propiedades

La masa encerrada dentro del radio está dada por ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}$$

Muchas otras propiedades del modelo de Plummer se describen en el artículo completo de Herwig Dejonghe. ^[2]

El radio del núcleo , donde la densidad de la superficie cae a la mitad de su valor central, es . ${\displaystyle r_{c}}$ ${\textstyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$

El radio de la mitad de la masa es ${\displaystyle r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.}$

El radio virial es . ${\displaystyle r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a}$

La densidad de superficie 2D es: y, por lo tanto, el perfil de masa proyectado 2D es: $${\displaystyle \Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}},}$$ $${\displaystyle M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}.}$$

En astronomía, es conveniente definir el radio de media masa 2D, que es el radio donde el perfil de masa proyectado 2D es la mitad de la masa total: . ${\displaystyle M(R_{1/2})=M_{0}/2}$

Para el perfil de Plummer: . ${\displaystyle R_{1/2}=a}$

La velocidad de escape en cualquier punto es $${\displaystyle v_{\rm {esc}}(r)={\sqrt {-2\Phi (r)}}={\sqrt {12}}\,\sigma (r),}$$

Para órbitas acotadas, los puntos de giro radiales de la órbita se caracterizan por la energía específica y el momento angular específico se dan por las raíces positivas de la ecuación cúbica donde , de modo que . Esta ecuación tiene tres raíces reales para : dos positivas y una negativa, dado que , donde es el momento angular específico para una órbita circular para la misma energía. Aquí se puede calcular a partir de una sola raíz real del discriminante de la ecuación cúbica , que es en sí otra ecuación cúbica donde los parámetros subrayados son adimensionales en unidades de Henon definidas como , , y . ${\textstyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$ ${\displaystyle L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|}$ $${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,}$$ ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$ ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L<L_{c}(E)}$ ${\displaystyle L_{c}(E)}$ ${\displaystyle L_{c}}$ $${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}$$ ${\displaystyle {\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})}$ ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}}$ ${\displaystyle {\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16}$

Aplicaciones

El modelo de Plummer es el que más se acerca a representar los perfiles de densidad observados en los cúmulos estelares ^{[ cita requerida ]} , aunque la rápida caída de la densidad en radios grandes ( ) no es una buena descripción de estos sistemas. ${\displaystyle \rho \rightarrow r^{-5}}$

El comportamiento de la densidad cerca del centro no coincide con las observaciones de galaxias elípticas, que normalmente exhiben una densidad central divergente.

La facilidad con la que la esfera de Plummer puede realizarse como un modelo de Monte Carlo la ha convertido en la opción favorita de los experimentadores de N cuerpos , a pesar de la falta de realismo del modelo. ^[3]

Referencias

1. Plummer, HC (1911), Sobre el problema de la distribución en cúmulos globulares de estrellas, Mon. Not. R. Astron. Soc. 71 , 460.
2. Dejonghe, H. (1987), Una familia completamente analítica de modelos anisotrópicos de Plummer. Mon. Not. R. Astron. Soc. 224 , 13.
3. Aarseth, SJ, Henon, M. y Wielen, R. (1974), Una comparación de métodos numéricos para el estudio de la dinámica de cúmulos estelares. Astronomía y Astrofísica 37 183.