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Modelo de Fermi-Ulam

El modelo de Fermi-Ulam (FUM) es un sistema dinámico que fue introducido por el matemático polaco Stanislaw Ulam en 1961.

FUM es una variante del trabajo principal de Enrico Fermi sobre la aceleración de los rayos cósmicos , a saber, la aceleración de Fermi . El sistema consiste en una partícula que choca elásticamente entre una pared fija y otra móvil, cada una de masa infinita. Las paredes representan los espejos magnéticos con los que chocan las partículas cósmicas .

AJ Lichtenberg y MA Lieberman proporcionaron una versión simplificada de FUM (SFUM) que se deriva de la superficie de sección de Poincaré y escribe


donde es la velocidad de la partícula después de la -ésima colisión con la pared fija, es la fase correspondiente de la pared móvil, es la ley de velocidad de la pared móvil y es el parámetro de estocasticidad del sistema.

Si la ley de velocidad de la pared móvil es suficientemente diferenciable, de acuerdo con el teorema KAM existen curvas invariantes en el espacio de fases . Estas curvas invariantes actúan como barreras que no permiten que una partícula acelere más y la velocidad promedio de una población de partículas se satura después de iteraciones finitas del mapa. Por ejemplo, para la ley de velocidad sinusoidal de la pared móvil existen tales curvas, mientras que no existen para la ley de velocidad en dientes de sierra que es discontinua. En consecuencia, en el primer caso las partículas no pueden acelerar infinitamente, a la inversa de lo que sucede en el último.

Con el paso de los años, FUM se convirtió en un modelo prototipo para estudiar la dinámica no lineal y las aplicaciones acopladas .

La solución rigurosa del problema de Fermi-Ulam (la velocidad y la energía de la partícula están acotadas) fue dada por primera vez por LD Pustyl'nikov en [1] (ver también [2] y referencias allí).

A pesar de estos resultados negativos, si se considera el modelo de Fermi-Ulam en el marco de la teoría especial de la relatividad , entonces, bajo algunas condiciones generales, la energía de la partícula tiende al infinito para un conjunto abierto de datos iniciales. [3]

Generalización 2D

Aunque el modelo 1D de Fermi-Ulam no conduce a una aceleración para oscilaciones suaves, se ha observado un crecimiento ilimitado de la energía en billares 2D con límites oscilantes, [4] [5] [6] [7] [8] Se ha descubierto que la tasa de crecimiento de la energía en billares caóticos es mucho mayor que en billares que son integrables en el límite estático.

Un billar fuertemente caótico con un límite oscilante puede servir como paradigma para sistemas caóticos impulsados. [9] En el ámbito experimental, este tema surge en la teoría de la fricción nuclear , [10] [11] y más recientemente en los estudios de átomos fríos que están atrapados en billares ópticos . [12] El impulso induce difusión en energía, [13] [14] y, en consecuencia, el coeficiente de absorción está determinado por la fórmula de Kubo. [15] [16] [17] [18]

Referencias

  1. ^ LD Pustyl'nikov, (1983). Sobre un problema de Ulam. Teoret. Mat.Fiz.57, 128-132. Trad. inglesa en Theor. Math. Phys. 57.
  2. ^ LD Pustyl'nikov (1995). "Modelos de Poincaré, justificación rigurosa de la segunda ley de la termodinámica a partir de la mecánica y mecanismo de aceleración de Fermi". Matemáticas rusas. Encuestas . 50 (1): 145–189. Código Bibliográfico :1995RuMaS..50..145P. doi :10.1070/RM1995v050n01ABEH001663. S2CID  250875392.
  3. ^ LD Pustyl'nikov (1988). "Un nuevo mecanismo para la aceleración de partículas y un análogo relativista del modelo de Fermi-Ulam". Teoría. Matemáticas. Física . 77 (1): 1110–1115. Bibcode :1988TMP....77.1110P. doi :10.1007/BF01028687. S2CID  120290250.
  4. ^ Loskutov A., Ryabov AB, Akinshin LG (2000). "Propiedades de algunos billares caóticos con límites dependientes del tiempo". J. Phys. A: Math. Gen. 33 ( 44): 7973. Bibcode :2000JPhA...33.7973L. doi :10.1088/0305-4470/33/44/309. S2CID  55969054.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  5. ^ AP Itin, AI Neishtadt, AA Vasiliev (2001), Fenómenos resonantes en billares rectangulares lentamente perturbados, Phys. Lett. A 291, 133. https://doi.org/10.1016/S0375-9601(01)00670-3
  6. ^ Gelfreich V., Turaev D. (2008). "Aceleración de Fermi en billares no autónomos". J. Phys. A: Math. Theor . 41 (21): 212003. Bibcode :2008JPhA...41u2003G. doi :10.1088/1751-8113/41/21/212003. S2CID  12572964.
  7. ^ F. Lenz; FK Diakonos; P. Schmelcher (2008). "Aceleración de Fermi ajustable en el billar elíptico impulsado". Phys. Rev. Lett . 100 (1): 014103. arXiv : 0801.0641 . Código Bibliográfico :2008PhRvL.100a4103L. doi :10.1103/PhysRevLett.100.014103. PMID  18232773. S2CID  35145404.
  8. ^ AP Itin, AI Neishtadt (2012), Aceleración de Fermi en billares rectangulares dependientes del tiempo debido a múltiples pasajes a través de resonancias, Chaos 22, 026119. https://doi.org/10.1063/1.4705101
  9. ^ Sistemas mesoscópicos caóticos impulsados, disipación y decoherencia , en Actas de la 38.ª Escuela de Invierno Karpacz de Física Teórica, editado por P. Garbaczewski y R. Olkiewicz (Springer, 2002). https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403061
  10. ^ DHE Gross (1975). "Teoría de la fricción nuclear". Nucl. Phys. A . 240 (3): 472–484. Código Bibliográfico :1975NuPhA.240..472G. doi :10.1016/0375-9474(75)90305-X.
  11. ^ Blocki J., Boneh Y., Nix JR, Randrup J., Robel M., Sierk AJ, Swiatecki WJ (1978). "Disipación de un cuerpo y superviscosidad de los núcleos". Ann. Phys . 113 (2): 330. Bibcode :1978AnPhy.113..330B. doi :10.1016/0003-4916(78)90208-7.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  12. ^ Friedman N., Kaplan A., Carasso D., Davidson N. (2001). "Observación de dinámicas caóticas y regulares en billares de óptica atómica". Phys. Rev. Lett . 86 (8): 1518–21. Bibcode :2001PhRvL..86.1518F. doi :10.1103/physrevlett.86.1518. PMID  11290182.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  13. ^ E. Ott (1979). "Bondad de los invariantes adiabáticos ergódicos". Phys. Rev. Lett . 42 (24): 1628–1631. Código Bibliográfico :1979PhRvL..42.1628O. doi :10.1103/PhysRevLett.42.1628.
  14. ^ R. Brown; E. Ott; C. Grebogi (1987). "Invariantes adiabáticos ergódicos de sistemas caóticos". Phys. Rev. Lett . 59 (11): 1173–1176. Bibcode :1987PhRvL..59.1173B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.1173. PMID  10035162.
  15. ^ Wilkinson M (1988). "Aspectos estadísticos de la disipación por transiciones Landau-Zener". J. Phys. A . 21 (21): 4021. Bibcode :1988JPhA...21.4021W. doi :10.1088/0305-4470/21/21/011.
  16. ^ Cohen D (2000). "Caos y propagación de energía para hamiltonianos dependientes del tiempo y los diversos regímenes en la teoría de la disipación cuántica". Anales de Física . 283 (2): 175. arXiv : cond-mat/9902168 . Código Bibliográfico :2000AnPhy.283..175C. doi :10.1006/aphy.2000.6052. S2CID  51787849.
  17. ^ Barnett A., Cohen D., Heller EJ (2000). "Deformaciones y dilataciones de billares caóticos: tasa de disipación y cuasiortogonalidad de las funciones de onda límite". Phys. Rev. Lett . 85 (7): 1412–5. arXiv : nlin/0003018 . Código Bibliográfico :2000PhRvL..85.1412B. doi :10.1103/physrevlett.85.1412. PMID  10970517. S2CID  10273905.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  18. ^ Barnett A., Cohen D., Heller EJ (2001). "Tasa de absorción de energía para una cavidad caótica impulsada". J. Phys. A . 34 (3): 413–438. arXiv : nlin/0006041 . Bibcode :2001JPhA...34..413B. doi :10.1088/0305-4470/34/3/308. S2CID  10454573.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

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