Microscopía de barrido con helio

Un diagrama que muestra cómo funciona un microscopio de barrido de helio. Un haz se forma mediante la expansión del gas y la colimación a través de un skimmer y un orificio. Luego, el haz incide sobre la muestra, donde el gas se dispersa y se recoge a través de una abertura del detector. Luego, el gas dispersado se detecta mediante un espectrómetro de masas. Luego, rastreando la muestra, se puede formar una imagen de la muestra.

El microscopio de barrido con helio (SHeM) es una forma novedosa de microscopía que utiliza átomos de helio neutros de baja energía (5 a 100 meV) para obtener imágenes de la superficie de una muestra sin ningún daño a la muestra causado por el proceso de obtención de imágenes. Como el helio es inerte y neutro, puede utilizarse para estudiar superficies delicadas y aislantes. Las imágenes se forman rastreando una muestra debajo de un haz de átomos y monitoreando el flujo de átomos que se dispersan en un detector en cada punto.

La técnica es diferente de un microscopio de barrido de iones de helio , que utiliza iones de helio cargados que pueden causar daños a una superficie.

Motivación

Los microscopios se pueden dividir en dos clases generales: los que iluminan la muestra con un haz y los que utilizan una sonda de barrido físico. Las microscopías de sonda de barrido trazan una pequeña sonda a través de la superficie de una muestra y monitorean la interacción de la sonda con la muestra. La resolución de las microscopías con sonda de barrido está determinada por el tamaño de la región de interacción entre la sonda y la muestra, que puede ser lo suficientemente pequeña como para permitir la resolución atómica. El uso de una punta física (por ejemplo, AFM o STM ) tiene algunas desventajas, aunque incluye un área de imagen razonablemente pequeña y dificultad para observar estructuras con una gran variación de altura en una distancia lateral pequeña.

Los microscopios que utilizan un haz tienen un límite fundamental en el tamaño mínimo de característica resoluble, que viene dado por el límite de difracción de Abbe . ${\displaystyle d_{\text{A}}}$

${\displaystyle d_{\text{A}}={\frac {\lambda }{2n\sin {\theta }}},}$

donde es la longitud de onda de la onda de sondeo, es el índice de refracción del medio en el que viaja la onda y la onda converge en un punto con un semiángulo de . Si bien es posible superar el límite de difracción en la resolución utilizando una técnica de campo cercano , suele ser bastante difícil. Dado que el denominador de la ecuación anterior para el límite de difracción de Abbe será aproximadamente dos en el mejor de los casos, la longitud de onda de la sonda es el factor principal para determinar la característica mínima resoluble, que normalmente es aproximadamente 1 μm para microscopía óptica. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta }$

Para superar el límite de difracción, se necesita una sonda que tenga una longitud de onda más pequeña, lo que se puede lograr utilizando luz con mayor energía o mediante el uso de una onda de materia .

Los rayos X tienen una longitud de onda mucho más pequeña que la luz visible y, por lo tanto, pueden alcanzar resoluciones superiores en comparación con las técnicas ópticas. Las imágenes de proyección de rayos X se utilizan convencionalmente en aplicaciones médicas, pero las imágenes de alta resolución se logran mediante microscopía de rayos X de transmisión de barrido (STXM). Al enfocar los rayos X en un punto pequeño y rastrearlos a lo largo de una muestra, se puede obtener una resolución muy alta con luz. La pequeña longitud de onda de los rayos X se produce a expensas de una alta energía fotónica, lo que significa que los rayos X pueden causar daños por radiación. Además, los rayos X interactúan débilmente, por lo que interactuarán principalmente con la mayor parte de la muestra, lo que dificulta las investigaciones de una superficie.

Las ondas de materia tienen una longitud de onda mucho más corta que la luz visible y, por lo tanto, pueden usarse para estudiar características por debajo de aproximadamente 1 μm. La llegada de la microscopía electrónica abrió una variedad de nuevos materiales que podrían estudiarse debido a la enorme mejora en la resolución en comparación con la microscopía óptica.

La longitud de onda de De Broglie , de una onda de materia en términos de su energía cinética, y masa de partícula, está dada por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{\sqrt {2mE}}}.}$

Por lo tanto, para que un haz de electrones resuelva la estructura atómica, la longitud de onda de la onda de materia necesitaría ser al menos = 1 Å y, por lo tanto, la energía del haz debería estar dada por > 100 eV. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E}$

Dado que los electrones están cargados, pueden manipularse mediante óptica electromagnética para formar puntos extremadamente pequeños en una superficie. Debido a que la longitud de onda de un haz de electrones es baja, el límite de difracción de Abbe se puede llevar por debajo de la resolución atómica y se pueden usar lentes electromagnéticas para formar puntos muy intensos en la superficie de un material. La óptica de un microscopio electrónico de barrido generalmente requiere que la energía del haz supere 1 keV para producir el haz de electrones de mejor calidad.

La alta energía de los electrones hace que el haz de electrones interactúe no solo con la superficie de un material, sino que también forme un volumen de interacción en forma de lágrima debajo de la superficie. Si bien el tamaño del punto en la superficie puede ser extremadamente bajo, los electrones viajarán hacia la masa y continuarán interactuando con la muestra. La microscopía electrónica de transmisión evita la interacción masiva al usar solo muestras delgadas; sin embargo, generalmente el haz de electrones que interactúa con la masa limitará la resolución de un microscopio electrónico de barrido.

El haz de electrones también puede dañar el material, destruyendo la estructura que se va a estudiar debido a la alta energía del haz. El daño del haz de electrones puede ocurrir a través de una variedad de procesos diferentes que son específicos de la muestra. ^[1] Ejemplos de daños en haces incluyen la rotura de enlaces en un polímero, lo que cambia la estructura, y daños por impacto en metales que crean un vacío en la red, lo que cambia la química de la superficie. Además, el haz de electrones está cargado, lo que significa que la superficie de la muestra debe ser conductora para evitar artefactos de acumulación de carga en las imágenes. Un método para mitigar el problema al obtener imágenes de superficies aislantes es utilizar un microscopio electrónico de barrido ambiental (ESEM).

Por lo tanto, en general, los electrones no suelen ser especialmente adecuados para estudiar superficies delicadas debido a la alta energía del haz y a la falta de sensibilidad superficial exclusiva. En cambio, se requiere una viga alternativa para el estudio de superficies a baja energía sin alterar la estructura.

Dada la ecuación anterior para la longitud de onda de De Broglie, se puede lograr la misma longitud de onda de un haz a energías más bajas utilizando un haz de partículas que tengan una masa mayor. Así, si el objetivo fuera estudiar la superficie de un material a una resolución inferior a la que se puede lograr con microscopía óptica, puede ser apropiado utilizar átomos como sonda. Si bien los neutrones se pueden utilizar como sonda, interactúan débilmente con la materia y sólo pueden estudiar la estructura general de un material. ^[2] Las imágenes de neutrones también requieren un alto flujo de neutrones, que normalmente sólo puede ser proporcionado por un reactor nuclear o un acelerador de partículas.

Un haz de átomos de helio con una longitud de onda = 1 Å tiene una energía de 20 meV, que es aproximadamente la misma que la energía térmica. El uso de partículas de una masa mayor que la de un electrón significa que es posible obtener un haz con una longitud de onda adecuada para sondear escalas de longitud hasta el nivel atómico con una energía mucho menor. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E\approx }$

Los haces de átomos de helio de energía térmica son exclusivamente sensibles a la superficie, lo que proporciona a la dispersión de helio una ventaja sobre otras técnicas, como la dispersión de electrones y rayos X, para estudios de superficies. Para las energías de haz que se utilizan, los átomos de helio tendrán puntos de inflexión clásicos a 2-3 Å de los núcleos de los átomos de la superficie. ^[3] El punto de inflexión está muy por encima de los núcleos de los átomos de la superficie, lo que significa que el haz solo interactuará con los electrones más externos.

Historia

La primera discusión sobre la obtención de una imagen de una superficie utilizando átomos fue por King y Bigas, ^{[4] [ ¿investigación original? ]} quien demostró que se puede obtener una imagen de una superficie calentando una muestra y monitoreando los átomos que se evaporan de la superficie ^{[ ¿cuándo? ]} . King y Bigas sugieren que sería posible formar una imagen dispersando átomos de la superficie, aunque pasó algún tiempo antes de que esto se demostrara. ^{[ ¿cuando? ]}

Posteriormente, la idea de obtener imágenes con átomos en lugar de luz fue ampliamente discutida en la literatura. ^{[5] [6] [7] [8] [9] [ ¿ investigación original? ] [ ¿cuando? ]} El enfoque inicial para producir un microscopio de helio suponía que se necesitaba un elemento de enfoque para producir un haz de átomos de alta intensidad. Uno de los primeros enfoques fue desarrollar un espejo atómico , ^{[8] [ se necesita fuente no primaria ],} lo cual es atractivo ya que el enfoque es independiente de la distribución de velocidades de los átomos entrantes. Sin embargo, los desafíos materiales para producir una superficie apropiada que sea macroscópicamente curvada y libre de defectos en una escala de longitud atómica han resultado demasiado desafiantes hasta ahora. ^{[10] [11] [ se necesita fuente no primaria ]} King y Bigas, ^[4] demostraron que se puede obtener una imagen de una superficie calentando una muestra y monitoreando los átomos que se evaporan de la superficie. King y Bigas sugieren que podría ser posible formar una imagen dispersando átomos de la superficie, aunque pasó algún tiempo antes de que se demostrara. ^{[ se necesita fuente no primaria ]}

Los átomos metaestables son átomos que han sido excitados fuera del estado fundamental, pero permanecen en un estado excitado durante un período de tiempo significativo. Se ha demostrado que es posible realizar microscopía utilizando átomos metaestables, donde los átomos metaestables liberan energía interna almacenada en la superficie, liberando electrones que proporcionan información sobre la estructura electrónica. ^{[12] [13] [ se necesita fuente no primaria ]} La energía cinética de los átomos metaestables significa que solo se prueba la estructura electrónica de la superficie, pero el gran intercambio de energía cuando el átomo metaestable se desexcita aún perturbará las delicadas superficies de la muestra.

Las primeras imágenes bidimensionales de helio neutro se obtuvieron utilizando una placa de zona de Fresnel convencional ^[9] por Koch et al. ^{[14] [ se necesita fuente no primaria ] [ ¿cuándo? ]} en una configuración de transmisión. El helio no atraviesa un material sólido, por lo que se obtiene un gran cambio en la señal medida cuando se coloca una muestra entre la fuente y el detector. Al maximizar el contraste y utilizar el modo de transmisión, fue mucho más fácil verificar la viabilidad de la técnica. Sin embargo, la configuración utilizada por Koch et al. con una placa zonal no produjo una señal lo suficientemente alta como para observar la señal reflejada desde la superficie en ese momento. Sin embargo, el enfoque obtenido con una placa zonal ofrece la posibilidad de mejorar la resolución en el futuro debido al pequeño tamaño del punto del haz. La investigación sobre microscopios de helio neutro que utilizan una placa de zona de Fresnel es un área activa en el grupo de Holst en la Universidad de Bergen.

Dado que el uso de una placa zonal resultó difícil debido a la baja eficiencia de enfoque, se exploraron métodos alternativos para formar un haz de helio para producir imágenes con átomos.

Esfuerzos recientes ^{[ ¿cuándo? ]} han evitado enfocar elementos y en su lugar coliman directamente un haz con un orificio. La falta de óptica atómica significa que el ancho del haz será significativamente mayor que en un microscopio electrónico . La primera demostración publicada de una imagen bidimensional formada por helio reflejado en la superficie fue realizada por Witham y Sánchez, quienes utilizaron un orificio para formar el haz de helio. ^{[15] [ se necesita fuente no primaria ]} Se coloca un pequeño orificio muy cerca de una muestra y el helio esparcido en un gran ángulo sólido se alimenta a un detector. Las imágenes se recopilan moviendo la muestra debajo del haz y monitoreando cómo cambia el flujo de helio disperso.

Paralelamente al trabajo de Witham y Sánchez, se estaba desarrollando en Cambridge una máquina de prueba de concepto denominada microscopio de barrido de helio (SHeM), en colaboración con el grupo de Dastoor de la Universidad de Newcastle. ^{[16] [ se necesita fuente no primaria ]} El enfoque que se adoptó fue simplificar intentos anteriores que involucraban un espejo atómico usando un orificio, pero aún usando una fuente de helio convencional para producir un haz de alta calidad. Otras diferencias con el diseño de Witham y Sánchez incluyen el uso de una distancia más grande entre la muestra y el orificio, de modo que se pueda usar una mayor variedad de muestras, y el uso de un ángulo sólido de recolección más pequeño, para que sea posible observar un contraste más sutil. Estos cambios también redujeron el flujo total en el detector, lo que significa que se requieren detectores de mayor eficiencia (lo que en sí mismo es un área activa de investigación. ^{[17] [18] [ se necesita fuente no primaria ]}

Proceso de formación de imágenes.

Una imagen del átomo de helio del ojo de una mosca.

Árbol del mecanismo de contraste SHeM

El haz atómico se forma mediante una expansión supersónica , que es una técnica estándar utilizada en la dispersión de átomos de helio . Un skimmer selecciona la línea central del gas para formar un haz de átomos con una distribución de velocidad estrecha. Luego, el gas se colima aún más mediante un orificio para formar un haz estrecho, que suele tener entre 1 y 10 μm. El uso de un elemento de enfoque (como una placa de zona) permite alcanzar tamaños de haz por debajo de 1 μm, pero actualmente todavía viene con una intensidad de señal baja.

Luego, el gas se dispersa desde la superficie y se recoge en un detector. Para medir el flujo de los átomos neutros de helio, primero hay que ionizarlos. La inercia del helio, que lo convierte en una sonda suave, significa que es difícil de ionizar y, por lo tanto, normalmente se utiliza un bombardeo de electrones razonablemente agresivo para crear los iones. Luego se utiliza una configuración de espectrómetro de masas para seleccionar solo los iones de helio para la detección.

Una vez que se recoge el flujo de una parte específica de la superficie, la muestra se mueve debajo del haz para generar una imagen. Al obtener el valor del flujo disperso a través de una cuadrícula de posiciones, los valores se pueden convertir en una imagen.

El contraste observado en las imágenes de helio ha estado típicamente dominado por la variación en la topografía de la muestra. Normalmente, dado que la longitud de onda del haz de átomos es pequeña, las superficies parecen extremadamente rugosas para el haz de átomos entrante. Por lo tanto, los átomos están dispersos de manera difusa y siguen aproximadamente la ley de Knudsen [cita?] (el equivalente atómico de la ley del coseno de Lambert en óptica). Sin embargo, trabajos más recientes han comenzado a ver divergencias con respecto a la dispersión difusa debido a efectos como la difracción ^[18] y los efectos de contraste químico. ^[19] Sin embargo, los mecanismos exactos para formar contraste en un microscopio de helio es un campo activo de investigación. La mayoría de los casos tienen alguna combinación compleja de varios mecanismos de contraste, lo que hace difícil desenredar las diferentes contribuciones.

Las combinaciones de imágenes desde múltiples perspectivas permiten que la estereofotogrametría produzca imágenes tridimensionales parciales, especialmente valiosas para muestras biológicas sujetas a degradación en microscopios electrónicos. ^[20]

Configuraciones óptimas

Las configuraciones óptimas de los microscopios de barrido de helio son configuraciones geométricas que maximizan la intensidad del haz de imágenes dentro de una resolución lateral determinada y bajo ciertas limitaciones tecnológicas . ^{[21] [22]}

Al diseñar un microscopio de barrido de helio, los científicos se esfuerzan por maximizar la intensidad del haz de imágenes y minimizar su ancho. La razón detrás de esto es que el ancho del haz proporciona la resolución del microscopio, mientras que su intensidad es proporcional a la relación señal-ruido. Debido a su neutralidad y alta energía de ionización , los átomos de helio neutros son difíciles de detectar. ^[22] Esto hace que los haces de alta intensidad sean un requisito crucial para un microscopio de barrido de helio viable.

Para generar un haz de alta intensidad, los microscopios de barrido de helio están diseñados para generar una expansión supersónica del gas al vacío, que acelera los átomos de helio neutros a altas velocidades. ^[23] Los microscopios de barrido de helio existen en dos configuraciones diferentes: la configuración de orificio estenopeico ^[24] y la configuración de placa de zona. ^[25] En la configuración de agujero estenopeico, una pequeña abertura (el agujero estenopeico) selecciona una sección de la expansión supersónica alejada de su origen, que ha sido previamente colimada por un skimmer (esencialmente, otro pequeño agujero). Esta sección se convierte entonces en el haz de imágenes. En la configuración de placa zonal, una placa zonal de Fresnel enfoca los átomos provenientes de un skimmer en un pequeño punto focal.

Cada una de estas configuraciones tiene diferentes diseños óptimos, ya que están definidas por diferentes ecuaciones ópticas.

Configuración estenopeica

Geometría de un microscopio de barrido de helio en su configuración estenopeica que muestra las variables utilizadas en este artículo. Imagen tomada de ^[22] (subida por el autor).

Para la configuración estenopeica, el ancho del haz (que pretendemos minimizar) viene dado en gran medida por la óptica geométrica . El tamaño del haz en el plano de muestra viene dado por las líneas que conectan los bordes del skimmer con los bordes del orificio. Cuando el número de Fresnel es muy pequeño ( ), el ancho del haz también se ve afectado por la difracción de Fraunhofer (ver ecuación a continuación). ${\displaystyle F\ll 1}$

${\displaystyle \Phi =2{\sqrt {2\ln 2/3}}{\sqrt {\delta ^{2}+3\sigma _{A}^{2}(1-\theta (F))}}.}$

En esta ecuación , el ancho total a la mitad del máximo del haz es la proyección geométrica del haz y es el término de difracción de Airy . es la función de paso de Heaviside utilizada aquí para indicar que la presencia del término de difracción depende del valor del número de Fresnel. Tenga en cuenta que existen variaciones de esta ecuación dependiendo de lo que se define como "ancho del haz" (para más detalles, compare ^[21] y ^[22] ). Debido a la pequeña longitud de onda del haz de helio, normalmente se puede omitir el término de difracción de Fraunhofer. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \theta }$

La intensidad del haz (que pretendemos maximizar) viene dada por la siguiente ecuación (según el modelo de Sikora y Andersen): ^[26]

${\displaystyle I=I_{0}{\frac {r_{ph}^{2}}{(R_{F}+a)^{2}}}\left(1-\exp \left[-S^{2}\left({\frac {r_{S}(R_{F}+a)}{R_{F}(R_{F}-x_{S}+a)}}\right)^{2}\right]\right).}$

Donde es la intensidad total proveniente de la boquilla de expansión supersónica (tomada como una constante en el problema de optimización), es el radio del orificio, S es la relación de velocidad del haz, es el radio del skimmer, es el radio del La superficie de salida de la expansión supersónica (el punto de la expansión desde el cual se puede considerar que los átomos viajan en línea recta), es la distancia entre la boquilla y el skimmer y es la distancia entre el skimmer y el orificio. Hay varias otras versiones de esta ecuación que dependen del modelo de intensidad, pero todas muestran una dependencia cuadrática del radio del orificio (cuanto más grande es el orificio, más intensidad) y una dependencia cuadrática inversa con la distancia entre el skimmer y el orificio. (cuanto más se dispersan los átomos, menos intensidad). ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle r_{ph}}$ ${\displaystyle r_{S}}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle a}$

Combinando las dos ecuaciones mostradas arriba, se puede obtener que para un ancho de haz dado para el régimen óptico geométrico los siguientes valores corresponden a intensidades máximas: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle r_{S}^{max}={\frac {\Phi a}{2W_{D}K}},\qquad r_{ph}^{max}={\frac {\Phi a}{2K(a+W_{D})}}.}$

Aquí, representa la distancia de trabajo del microscopio y es una constante que surge de la definición del ancho del haz. Tenga en cuenta que ambas ecuaciones están dadas con respecto a la distancia entre el skimmer y el orificio, a . El máximo global de intensidad se puede obtener numéricamente reemplazando estos valores en la ecuación de intensidad anterior. En general, se prefieren radios de skimmer más pequeños junto con distancias más pequeñas entre el skimmer y el orificio, lo que lleva en la práctica al diseño de microscopios estenopeicos cada vez más pequeños. ${\displaystyle W_{D}}$ ${\displaystyle K=2{\sqrt {2\ln 2/3}}}$

Configuración de placa de zona

Geometría de un microscopio de barrido de helio en su configuración de placa zonal que muestra las variables utilizadas en este artículo. Imagen tomada de ^[27] (subida por el autor).

El microscopio de placa zonal utiliza una placa zonal (que actúa aproximadamente como una lente clásica ) en lugar de un orificio para enfocar el haz de átomos en un pequeño punto focal. Esto significa que la ecuación del ancho del haz cambia significativamente (ver más abajo).

${\displaystyle \Phi =K{\sqrt {\sigma _{cm}^{2}+\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {Mr_{S}}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}}\sim K{\sqrt {\left({\frac {r_{ZP}}{S{\sqrt {2}}}}\right)^{2}+0.42\Delta r+\left({\frac {Mr_{S}}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}}.}$

Aquí, está el aumento de la placa de zona y es el ancho de la zona más pequeña. Nótese la presencia de aberraciones cromáticas ( ). El signo de aproximación indica el régimen en el que la distancia entre la placa zonal y el skimmer es mucho mayor que su distancia focal. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle \sigma _{cm}}$

El primer término de esta ecuación es similar a la contribución geométrica en el caso del agujero estenopeico: una placa de zona más grande (con todos los parámetros constantes) corresponde a un tamaño de punto focal más grande. El tercer término se diferencia de la óptica de configuración estenopeica en que incluye una relación cuadrática con el tamaño del skimmer (que se visualiza a través de la placa de zona) y una relación lineal con el aumento de la placa de zona, que al mismo tiempo dependerá de su radio. ${\displaystyle \delta }$

La ecuación a maximizar, la intensidad, es la misma que en el caso estenopeico con la sustitución . Por sustitución de la ecuación de magnificación: ${\displaystyle r_{ph}\leftrightarrow r_{ZP}}$

${\displaystyle M={\frac {f}{a-f}}={\frac {2r_{ZP}\Delta r}{\lambda (a-2r_{ZP}\Delta r/\lambda )}},}$

donde es la longitud de onda de De-Broglie promedio del haz. Tomando una constante , que debe ser igual al valor más pequeño alcanzable, los máximos de la ecuación de intensidad con respecto al radio de la placa de la zona y la distancia de la placa de la zona del skimmer se pueden obtener analíticamente. La derivada de la intensidad con respecto al radio de la placa zonal se puede reducir a la siguiente ecuación cúbica (una vez igualada a cero): ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a^{3}+2a^{2}\left(R_{F}-{\sqrt {3\Gamma }}r_{ZP}\right)+aR_{F}(R_{F}-4r_{ZP}{\sqrt {3\Gamma }})=r_{ZP}{\sqrt {3\Gamma }})R_{F}^{2}\left[{\frac {2S^{2}\Phi '^{2}+r_{ZP}^{2}(\Gamma -1)}{S^{2}\Phi '^{2}-0.5r_{ZP}^{2}}}\right].}$

Aquí se utilizan algunas agrupaciones: es una constante que da el tamaño relativo de la apertura más pequeña de la placa de zona en comparación con la longitud de onda promedio del haz y es el ancho del haz modificado, que se utiliza a través de la derivación para evitar operar explícitamente con la constante término aireado: . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Phi '^{2}=\sigma _{cm}^{2}+\left({\frac {Mr_{S}}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}$

Esta ecuación cúbica se obtiene bajo una serie de supuestos geométricos y tiene una solución analítica de forma cerrada que puede consultarse en el artículo original ^[27] u obtenerse mediante cualquier software de álgebra moderno. La consecuencia práctica de esta ecuación es que los microscopios de placa zonal están diseñados de manera óptima cuando las distancias entre los componentes son pequeñas y el radio de la placa zonal también es pequeño. Esto va en línea con los resultados obtenidos para la configuración estenopeica y tiene como consecuencia práctica el diseño de microscopios de barrido de helio más pequeños.

Ver también

• Dispersión del átomo de helio
• Óptica atómica
• espejo atómico
• onda de materia

Referencias

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