Media metálica

Generalización de las proporciones áurea y plateada

Proporciones de oro, plata y bronce dentro de sus respectivos rectángulos.

La media metálica (también razón metálica , constante metálica o media noble ^[1] ) de un número natural n es un número real positivo , denotado aquí que satisface las siguientes caracterizaciones equivalentes: ${\displaystyle S_{n},}$

• el único número real positivo tal que ${\displaystyle x}$ ${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$
• la raíz positiva de la ecuación cuadrática ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$
• El número ${\textstyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$
• el número cuya expresión como fracción continua es

  ${\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}}$

Los medios metálicos son derivaciones (sucesivas) de las proporciones áurea ( ) y plateada ( ), y comparten algunas de sus interesantes propiedades. El término "proporción de bronce" ( ) (Cf. Edad de oro y medallas olímpicas ) e incluso metales como el cobre ( ) y el níquel ( ) se encuentran ocasionalmente en la literatura. ^{[2] [3]} ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n=5}$

En términos de la teoría de números algebraicos , las medias metálicas son exactamente los números enteros cuadráticos reales que son mayores que y tienen como norma . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

La ecuación definitoria de la n- ésima media metálica es la ecuación característica de una relación de recurrencia lineal de la forma De ello se deduce que, dada tal recurrencia, la solución puede expresarse como ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$ ${\displaystyle x_{k}=nx_{k-1}+x_{k-2}.}$

${\displaystyle x_{k}=aS_{n}^{k}+b\left({\frac {-1}{S_{n}}}\right)^{k},}$

donde es la n- ésima media metálica, y a y b son constantes que dependen únicamente de y Dado que la inversa de una media metálica es menor que 1 , esta fórmula implica que el cociente de dos elementos consecutivos de dicha secuencia tiende a la media metálica, cuando k tiende al infinito. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}.}$

Por ejemplo, si es la proporción áurea . Si y la secuencia es la secuencia de Fibonacci , y la fórmula anterior es la fórmula de Binet . Si se tienen los números de Lucas . Si la media metálica se denomina proporción de plata , y los elementos de la secuencia que comienzan con y se denominan números de Pell . ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{1}=1,}$ ${\displaystyle n=1,x_{0}=2,x_{1}=1}$ ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{1}=1}$

Geometría

Si se eliminan n cuadrados más grandes posibles de un rectángulo con una relación largo/ancho igual a la n -ésima media metálica, se obtiene un rectángulo con la misma relación largo/ancho (en las figuras, n es el número de líneas punteadas).

Proporción áurea dentro del pentagrama ( φ = rojo/verde = verde/azul = azul/púrpura) y proporción plateada dentro del octágono.

La ecuación definitoria de la n- ésima media metálica induce la siguiente interpretación geométrica. ${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$

Consideremos un rectángulo tal que la razón entre su longitud L y su anchura W es la n- ésima razón metálica. Si a este rectángulo le quitamos n cuadrados de lado W , obtenemos un rectángulo similar al rectángulo original, es decir, un rectángulo con la misma razón entre su longitud y su anchura (ver figuras).

Algunos medios metálicos aparecen como segmentos en la figura formada por un polígono regular y sus diagonales. Es el caso, en particular, de la proporción áurea y el pentágono , y de la proporción áurea y el octógono ; véanse las figuras.

Potestades

Denotando por la media metálica de m se tiene ${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{n-1},}$

donde los números se definen recursivamente por las condiciones iniciales K ₀ = 0 y K ₁ = 1 , y la relación de recurrencia ${\displaystyle K_{n}}$

${\displaystyle K_{n}=mK_{n-1}+K_{n-2}.}$

Prueba: La igualdad es inmediatamente verdadera para La relación de recurrencia implica que hace que la igualdad sea verdadera para Suponiendo que la igualdad es verdadera hasta uno tiene ${\displaystyle n=1.}$ ${\displaystyle K_{2}=m,}$ ${\displaystyle k=2.}$ ${\displaystyle n-1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{n}&=mS_{m}^{n-1}+S_{m}^{n-2}&&{\text{(defining equation)}}\\&=m(K_{n-1}S_{n}+K_{n-2})+(K_{n-2}S_{m}+K_{n-3})&&{\text{(recurrence hypothesis)}}\\&=(mK_{n-1}+K_{n-2})S_{n}+(mK_{n-2}+K_{n-3})&&{\text{(regrouping)}}\\&=K_{n}S_{m}+K_{n-1}&&{\text{(recurrence on }}K_{n}).\end{aligned}}}$

Fin de la prueba.

También se tiene ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle K_{n}={\frac {S_{m}^{n+1}-(m-S_{m})^{n+1}}{\sqrt {m^{2}+4}}}.}$

Las potencias impares de una media metálica son en sí mismas medias metálicas. Más precisamente, si n es un número natural impar, entonces donde se define por la relación de recurrencia y las condiciones iniciales y ${\displaystyle S_{m}^{n}=S_{M_{n}},}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}=mM_{n-1}+M_{n-2}}$ ${\displaystyle M_{0}=2}$ ${\displaystyle M_{1}=m.}$

Demostración: Sea y La definición de medio metálico implica que y Sea Como si n es impar, la potencia es una raíz de Por lo tanto, queda por demostrar que es un entero que satisface la relación de recurrencia dada. Esto resulta de la identidad ${\displaystyle a=S_{m}}$ ${\displaystyle b=-1/S_{m}.}$ ${\displaystyle a+b=m}$ ${\displaystyle ab=-1.}$ ${\displaystyle M_{n}=a^{n}+b^{n}.}$ ${\displaystyle a^{n}b^{n}=(ab)^{n}=-1}$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle x^{2}-M_{n}-1=0.}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}+b^{n}&=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+a^{n-2})\\&=m(a^{n-1}+b^{n-1})+(a^{n-2}+a^{n-2}).\end{aligned}}}$

Esto completa la prueba, dado que los valores iniciales son fáciles de verificar.

En particular, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{3}&=S_{m^{3}+3m}\\S_{m}^{5}&=S_{m^{5}+5m^{3}+5m}\\S_{m}^{7}&=S_{m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m}\\S_{m}^{9}&=S_{m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m}\\S_{m}^{11}&=S_{m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m}\end{aligned}}}$

y, en general, ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle S_{m}^{2n+1}=S_{M},}$

dónde

${\displaystyle M=\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}.}$

Para potencias pares, las cosas son más complicadas. Si n es un entero par positivo, entonces ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {S_{m}^{n}-\left\lfloor S_{m}^{n}\right\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}$

Además, ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{4}-\left\lfloor S_{m}^{4}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{4}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{4}+4m^{2}+1\right)}}$

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{6}-\left\lfloor S_{m}^{6}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{6}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1\right)}.}$

Para el cuadrado de una relación metálica tenemos: ${\displaystyle S_{m}^{2}=[m{\sqrt {m^{2}+4}}+(m+2)]/2=(p+{\sqrt {p^{2}+4}})/2}$

donde se encuentra estrictamente entre y . Por lo tanto ${\displaystyle p=m{\sqrt {m^{2}+4}}}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle m^{2}+2}$

${\displaystyle S_{m^{2}+1}<S_{m}^{2}<S_{m^{2}+2}}$

Generalización

Se puede definir la media metálica de un entero negativo − n como la solución positiva de la ecuación La media metálica de − n es el inverso multiplicativo de la media metálica de n : ${\displaystyle S_{-n}}$ ${\displaystyle x^{2}-(-n)x-1.}$

${\displaystyle S_{-n}={\frac {1}{S_{n}}}.}$

Otra generalización consiste en cambiar la ecuación definitoria de a . Si ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}-nx-c=0}$

${\displaystyle R={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4c}}}{2}},}$

es cualquier raíz de la ecuación, se tiene

${\displaystyle R-n={\frac {c}{R}}.}$

La media de plata de m también viene dada por la integral ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}$

Otra forma de la media metálica es ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }.}$

Relación con la cotangente del medio ángulo

Una fórmula de medio ángulo tangente da que puede reescribirse como Es decir, para el valor positivo de , la media metálica , lo cual es especialmente significativo cuando es un entero positivo, como sucede con algunos triángulos pitagóricos primitivos. $${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1}{2\cot {\frac {\theta }{2}}}}}$$ $${\displaystyle \cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-(2\cot \theta )\cot {\frac {\theta }{2}}-1=0\,.}$$ ${\textstyle \cot {\frac {\theta }{2}}}$ $${\displaystyle S_{2\cot \theta }=\cot {\frac {\theta }{2}}\,,}$$ ${\textstyle 2\cot \theta }$

Relación con las ternas pitagóricas

Relaciones metálicas en triángulos pitagóricos primitivos

Los medios metálicos se representan con precisión mediante algunas ternas pitagóricas primitivas , a ² + b ² = c ² , con números enteros positivos a < b < c .

En un terna pitagórica primitiva, si la diferencia entre la hipotenusa c y el cateto más largo b es 1, 2 u 8, dicha terna pitagórica representa con precisión una media metálica particular. La cotangente del cuarto del ángulo agudo menor de dicho triángulo pitagórico es igual al valor preciso de una media metálica particular.

Consideremos una terna pitagórica primitiva ( a , b , c ) en la que a < b < c y c − b ∈ {1, 2, 8} . Dicho triángulo pitagórico ( a , b , c ) arroja el valor preciso de una media metálica particular de la siguiente manera: ${\displaystyle S_{n}}$

$${\displaystyle S_{n}=\cot {\frac {\alpha }{4}}}$$

donde α es el ángulo agudo más pequeño del triángulo pitagórico y el índice medio metálico es ${\displaystyle n=2\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2a}{c-b}}=2{\sqrt {\frac {c+b}{c-b}}}\,.}$

Por ejemplo, la terna pitagórica primitiva 20-21-29 incorpora la quinta media metálica. La cotangente del cuarto del ángulo agudo menor del triángulo pitagórico 20-21-29 da el valor preciso de la quinta media metálica. De manera similar, el triángulo pitagórico 3-4-5 representa la sexta media metálica. Asimismo, la terna pitagórica 12-35-37 da la duodécima media metálica, la terna pitagórica 52-165-173 da la decimotercera media metálica, y así sucesivamente. ^[4]

Valores numéricos

Véase también

• Constante
• Significar
• Relación
• Relación de plástico

Notas

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001622 (Expansión decimal de la proporción áurea phi (o tau) = (1 + sqrt(5))/2)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. OEIS : A014176 , Expansión decimal de la media de plata, 1+sqrt(2).
3. OEIS : A098316 , Expansión decimal de [3, 3, ...] = (3 + sqrt(13))/2.
4. OEIS : A098317 , Expansión decimal de phi^3 = 2 + sqrt(5).
5. OEIS : A098318 , Expansión decimal de [5, 5, ...] = (5 + sqrt(29))/2.
6. OEIS : A176398 , Expansión decimal de 3+sqrt(10).
7. OEIS : A176439 , Expansión decimal de (7+sqrt(53))/2.
8. OEIS : A176458 , Expansión decimal de 4+sqrt(17).
9. OEIS : A176522 , Expansión decimal de (9+sqrt(85))/2.
10. OEIS : A176537 , Expansión decimal de (10+sqrt(104)/2.

Referencias

1. M. Baake, U. Grimm (2013) Orden aperiódico. Vol. 1. Una invitación matemática. Con prólogo de Roger Penrose. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, 149. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 978-0-521-86991-1.
2. de Spinadel, Vera W. (1999). "La familia de medias metálicas y los espectros multifractales" (PDF) . Análisis no lineal, teoría, métodos y aplicaciones . 36 (6). Elsevier Science: 721–745.
3. de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ed.). "Los medios metálicos y el diseño". Nexus II: Arquitectura y matemáticas . Fucecchio (Florencia): Edizioni dell'Erba: 141–157.
4. Rajput, Chetansing; Manjunath, Hariprasad (2024). "Medios metálicos y ternas pitagóricas | Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas". Academia Búlgara de Ciencias.{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
5. Weisstein, Eric W. "Tabla de medias de plata". MathWorld .
6. "Una introducción a las fracciones continuas: la media de plata", maths.surrey.ac.uk .

Lectura adicional

• Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). Las matemáticas de la armonía: desde Euclides hasta las matemáticas y la informática contemporáneas , pág. 228, 231. World Scientific. ISBN 9789812775832 . 

Enlaces externos

• Cristina-Elena Hrețcanu y Mircea Crasmareanu (2013). “Estructuras Metálicas sobre Múltiples Riemannianas”, Revista de la Unión Matemática Argentina .
• Rakočević, Miloje M. "Generalización adicional de la media áurea en relación con la ecuación 'divina' de Euler", Arxiv.org .