Flujo de inyección de masa

El flujo de inyección de masa ( también conocido como flujo de Limbach) se refiere al flujo adiabático no viscoso a través de un conducto de área constante donde se considera el efecto de la adición de masa. Para este modelo, el área del conducto permanece constante, se supone que el flujo es estable y unidimensional, y se agrega masa dentro del conducto. Debido a que el flujo es adiabático, a diferencia del flujo de Rayleigh , la temperatura de estancamiento es constante. ^{[1] Los efectos} de compresibilidad a menudo entran en consideración, aunque este modelo de flujo también se aplica al flujo incompresible .

En el caso de un flujo supersónico (un número de Mach ascendente mayor que 1), se produce una desaceleración con la adición de masa al conducto y el flujo puede obstruirse . Por el contrario, en el caso de un flujo subsónico (un número de Mach ascendente menor que 1), se produce una aceleración y el flujo puede obstruirse si se añade suficiente masa. Por lo tanto, la adición de masa hará que tanto los números de Mach supersónicos como los subsónicos se acerquen a Mach 1, lo que dará como resultado un flujo obstruido.

Teoría

El modelo de flujo de inyección de masa 1D comienza con una relación masa-velocidad derivada de la inyección de masa en un flujo constante, adiabático, sin fricción y de área constante de gas calóricamente perfecto :

${\displaystyle \ {\frac {dm}{m}}=-{\frac {du}{u}}\left(M^{2}-1\right)}$

donde representa un flujo de masa , . Esta expresión describe cómo cambiará la velocidad con un cambio en el flujo de masa (es decir, cómo un cambio en el flujo de masa impulsa un cambio en la velocidad ). A partir de esta relación, se observan dos modos distintos de comportamiento: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m={\dot {m}}/A}$ ${\displaystyle dm}$ ${\displaystyle du}$

1. Cuando el flujo es subsónico ( ), la cantidad es negativa, por lo que el lado derecho de la ecuación se vuelve positivo. Esto indica que el aumento del flujo de masa aumentará la velocidad del flujo subsónico hacia Mach 1. ${\displaystyle M<1}$ ${\displaystyle [M^{2}-1]}$
2. Cuando el flujo es supersónico ( ), la cantidad es positiva, por lo que el lado derecho de la ecuación se vuelve negativo. Esto indica que el aumento del flujo de masa reducirá la velocidad del flujo supersónico hacia Mach 1. ${\displaystyle M>1}$ ${\displaystyle [M^{2}-1]}$

De la relación masa-velocidad se puede derivar una relación masa-Mach explícita:

${\displaystyle {\frac {dm}{m}}={\frac {1-M^{2}}{M+{\frac {1}{2}}M^{3}(\gamma -1)}}dM}$

Derivaciones

Aunque el flujo de Fanno y el flujo de Rayleigh se tratan en detalle en muchos libros de texto, el flujo de inyección de masa no lo es. ^{[1] [2] [3] [4]} Por este motivo, aquí se dan derivaciones de propiedades fundamentales del flujo de masa. En las siguientes derivaciones, se utiliza la constante para denotar la constante específica del gas (es decir, ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R={\bar {R}}/M}$

Relación masa-velocidad

Comenzamos estableciendo una relación entre la entalpía diferencial, la presión y la densidad de un gas calóricamente perfecto:

De la ecuación de energía adiabática ( ) ^[1] encontramos: ${\displaystyle dh_{0}=0}$

Sustituyendo la relación entalpía-presión-densidad ( 1 ) en la relación de energía adiabática ( 2 ) se obtiene

A continuación, encontramos una relación entre la densidad diferencial, el flujo de masa ( ) y la velocidad: ${\displaystyle m={\dot {m}}/A}$

Sustituyendo la relación densidad-masa-velocidad ( 4 ) en la relación de energía modificada ( 3 ) se obtiene

Sustituyendo la ecuación de conservación de momento de flujo constante 1D (ver también las ecuaciones de Euler ) de la forma ^[5] en ( 5 ) se obtiene ${\displaystyle dp=-\rho udu}$

De la ley de los gases ideales encontramos que:

y de la definición de un gas calóricamente perfecto ^[1] encontramos,

Sustituyendo las expresiones ( 7 ) y ( 8 ) en la ecuación combinada ( 6 ) se obtiene

Utilizando la velocidad del sonido en un gas ideal ( ) ^[1] y la definición del número de Mach ( ) ^[1] se obtiene ${\displaystyle a^{2}=\gamma RT}$ ${\displaystyle M=u/a}$

Relación masa-velocidad

${\displaystyle {\frac {dm}{m}}=-{\frac {du}{u}}[M^{2}-1]}$

Esta es la relación masa-velocidad para la inyección de masa en un flujo constante, adiabático, sin fricción y de área constante de gas calóricamente perfecto.

Relación masa-mach

Para encontrar una relación entre la masa diferencial y el número de Mach, encontraremos una expresión para únicamente en términos del número de Mach, . Luego podemos sustituir esta expresión en la relación masa-velocidad para obtener una relación masa-Mach. Comenzamos relacionando la velocidad diferencial, el número de Mach y la velocidad del sonido: ${\displaystyle du/u}$ ${\displaystyle M}$

Ahora podemos reexpresarlo en términos de : ${\displaystyle da}$ ${\displaystyle dT}$

Sustituyendo ( 12 ) en ( 11 ) se obtiene,

Ahora podemos reexpresarlo en términos de : ${\displaystyle dT}$ ${\displaystyle du}$

Sustituyendo ( 14 ) en ( 13 ), podemos crear una expresión completamente en términos de y . Realizando esta sustitución y resolviendo para obtenemos, ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle dM}$ ${\displaystyle du/u}$

Finalmente, la expresión ( 15 ) para en términos de puede sustituirse directamente en la relación masa-velocidad ( 10 ): ${\displaystyle du/u}$ ${\displaystyle dM}$

Relación masa-mach

${\displaystyle {\frac {dm}{m}}={\frac {1-M^{2}}{M+{\frac {1}{2}}M^{3}(\gamma -1)}}dM}$

Esta es la relación masa-Mach para la inyección de masa en un flujo constante, adiabático, sin fricción y de área constante de gas calóricamente perfecto.

Ver también

• Flujo de Fanno
• Flujo de Rayleigh
• Flujo compresible
• Flujo estrangulado
• Flujo de Fanno
• Flujo no viscoso
• Proceso adiabático
• Dinámica de gases

Referencias

1. Anderson, John David (2002). Flujo compresible moderno: con perspectiva histórica (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0072424435.
2. Shapiro, AH, La dinámica y termodinámica del flujo de fluidos compresibles, Volumen 1 , Ronald Press, 1953.
3. Zucker, RD, Biblarz, O., Fundamentos de la dinámica de gases , John Wiley & Sons, 2002.
4. Hodge, BK y Koenig, K., Dinámica de fluidos compresibles con aplicaciones de computadora personal , Prentice Hall, 1995.
5. "Conservación del momento, unidimensional, flujo constante". Centro de Investigación Glenn de la NASA.