Brecha de masa

Diferencia de energía entre el estado fundamental y el estado excitado más ligero

En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el estado de energía más bajo , el vacío, y el siguiente estado de energía más bajo. La energía del vacío es cero por definición y, suponiendo que todos los estados de energía pueden considerarse partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.

Dado que las energías de los estados propios de energía exactos (es decir, no perturbativos) están dispersas y, por lo tanto, técnicamente no son estados propios, una definición más precisa es que la brecha de masa es el límite inferior más grande de la energía de cualquier estado que sea ortogonal al vacío.

El análogo de una brecha de masa en la física de muchos cuerpos en una red discreta surge de un hamiltoniano con brecha .

Definiciones matemáticas

Para un campo cuántico de valor real dado , donde , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x=({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$$

siendo el valor de energía más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por lo tanto, la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es lo que generalmente se mide en los cálculos de red. Se demostró de esta manera que la teoría de Yang-Mills desarrolla una brecha de masa en una red. ^{[1] [2]} El valor ordenado en el tiempo correspondiente, el propagador , tendrá la propiedad ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

$${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constant} }$$

siendo la constante finita. Un ejemplo típico lo ofrece una partícula masiva libre y, en este caso, la constante tiene el valor 1/ m ² . En el mismo límite, el propagador para una partícula sin masa es singular.

Ejemplos de teorías clásicas

Un ejemplo de brecha de masa que surge para teorías sin masa, ya en el nivel clásico, se puede ver en la ruptura espontánea de simetría o mecanismo de Higgs . En el primer caso, uno tiene que lidiar ^{[ ¿cómo? ]} con la aparición de excitaciones sin masa, bosones de Goldstone , que se eliminan en el segundo caso debido a la libertad de calibre. La cuantización preserva esta propiedad de libertad de calibre.

Una teoría de campo escalar cuártico sin masa desarrolla una brecha de masa ya en el nivel clásico ^{[ se necesita aclaración ]} . Considere la ecuación

$${\displaystyle \Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.}$$

Esta ecuación tiene la solución exacta

$${\displaystyle \phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)}$$—donde y son constantes de integración, y sn es una función elíptica de Jacobi —siempre que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.}$$

En el nivel clásico aparece una brecha de masa mientras que, en el nivel cuántico, se tiene una torre de excitaciones y esta propiedad de la teoría se conserva después de la cuantificación en el límite de momentos que tienden a cero. ^[3]

Teoría de Yang-Mills

Si bien los cálculos de red han sugerido que la teoría de Yang-Mills tiene de hecho una brecha de masa y una torre de excitaciones, aún falta una prueba teórica. Este es uno de los problemas del milenio del Instituto Clay y sigue siendo un problema abierto. Dichos estados para la teoría de Yang-Mills deberían ser estados físicos, llamados bolas de pegamento , y deberían ser observables en el laboratorio.

Representación de Källén-Lehmann

Si se cumple la representación espectral de Källén-Lehmann , en esta etapa excluimos las teorías de calibre , la función de densidad espectral puede tomar una forma muy simple con un espectro discreto que comienza con una brecha de masa.

$${\displaystyle \rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})}$$

siendo la contribución de la parte multipartícula del espectro. En este caso, el propagador adoptará la forma simple ${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})}$

$${\displaystyle \Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}$$

siendo aproximadamente el punto de partida del sector multipartícula. Ahora, utilizando el hecho de que ${\displaystyle 4m_{N}^{2}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1}$$

Llegamos a la siguiente conclusión para las constantes en la densidad espectral

$${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})}$$.

Esto no podría ser cierto en una teoría de calibración . Más bien, debe probarse que una representación de Källén-Lehmann para el propagador también es válida para este caso. La ausencia de contribuciones de múltiples partículas implica que la teoría es trivial , ya que no aparecen estados ligados en la teoría y, por lo tanto, no hay interacción, incluso si la teoría tiene una brecha de masa. En este caso, tenemos inmediatamente el propagador simplemente estableciéndose en las fórmulas anteriores. ${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})=0}$

Véase también

• Teorema de Coleman-Mandula
• Teoría de campos escalares

Referencias

1. Lucini, Biagio; Teper, Michael; Wenger, Urs (2004). "Bolas de pegamento y k-cuerdas en teorías de calibración SU(N): cálculos con operadores mejorados". Journal of High Energy Physics . 0406 (6): 012. arXiv : hep-lat/0404008 . Bibcode :2004JHEP...06..012L. doi :10.1088/1126-6708/2004/06/012. S2CID  14807677..
2. Chen, Y.; Alexandru, A.; Dong, SJ; Draper, T.; Horvath, I.; Lee, FX; Liu, KF; Mathur, N.; Morningstar, C.; Peardon, M.; Tamhankar, S.; Young, BL; Zhang, JB (2006). "Espectro de bolas de pegamento y elementos de matriz en redes anisotrópicas". Physical Review D . 73 (1): 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Código Bibliográfico :2006PhRvD..73a4516C. doi :10.1103/PhysRevD.73.014516. S2CID  15741174..
3. Frasca, Marco (2006). "Teoría cuántica de campos fuertemente acoplada". Physical Review D . 73 (2): 027701. arXiv : hep-th/0511068 . Código Bibliográfico :2006PhRvD..73b7701F. doi :10.1103/PhysRevD.73.027701.

Enlaces externos

• Sadun, Lorenzo. Yang-Mills y la brecha de masa. Videoconferencia que describe la naturaleza del problema de la brecha de masa dentro de la formulación de Yang-Mills.
• Brechas de masa para teorías de campos escalares en Dispersive Wiki
• "Charla de Witten sobre el problema de la brecha de masa en la teoría cuántica de Yang-Mills en 3D". YouTube . Francis Villatoro. 1 de agosto de 2012.