Mapa equiáreo

Transformación que preserva la medida del área de las regiones

En geometría diferencial , un mapa equiáreo , a veces llamado mapa autálico , es un mapa suave de una superficie a otra que preserva las áreas de las figuras.

Propiedades

Si M y N son dos superficies riemannianas (o pseudo-riemannianas ), entonces una función equiárea f de M a N puede caracterizarse por cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• El área superficial de f ( U ) es igual al área de U para cada conjunto abierto U en M .
• El retroceso del elemento de área μ _N sobre N es igual a μ _M , el elemento de área sobre M .
• En cada punto p de M , y vectores tangentes v y w a M en p ,

$${\displaystyle {\bigl |}df_{p}(v)\wedge df_{p}(w){\bigr |}=|v\wedge w|\,}$$

donde denota el producto de cuña euclidiana de vectores y df denota el empuje hacia adelante a lo largo de f . ${\textstyle \wedge }$

Ejemplo

Un ejemplo de un mapa equiáreo, debido a Arquímedes de Siracusa , es la proyección desde la esfera unitaria x ² + y ² + z ² = 1 al cilindro unitario x ² + y ² = 1 hacia afuera desde su eje común. Una fórmula explícita es

${\displaystyle f(x,y,z)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},z\right)}$

para ( x , y , z ) un punto en la esfera unitaria.

Transformaciones lineales

Toda isometría euclidiana del plano euclidiano es equiárea, pero la inversa no es cierta. De hecho, la aplicación de corte y la aplicación de compresión son contraejemplos de la inversa.

La aplicación de corte convierte un rectángulo en un paralelogramo de la misma área. Escrito en forma matricial, una aplicación de corte a lo largo del eje x es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.}$

El mapeo de compresión alarga y contrae los lados de un rectángulo de manera recíproca de modo que se conserva el área. Escrito en forma de matriz, con λ > 1, la compresión se lee

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}}$

Una transformación lineal multiplica áreas por el valor absoluto de su determinante | ad – bc | . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

La eliminación gaussiana muestra que toda transformación lineal equiárea ( rotaciones incluidas) puede obtenerse componiendo como máximo dos cizalladuras a lo largo de los ejes, un apretón y (si el determinante es negativo), una reflexión .

En proyecciones de mapas

En el contexto de los mapas geográficos , una proyección de mapa se denomina de áreas iguales , equivalente , auténtica , equiárea o que preserva el área , si las áreas se preservan hasta un factor constante; al incrustar el mapa de destino, generalmente considerado un subconjunto de R ² , de la manera obvia en R ³ , el requisito anterior se debilita a:

${\displaystyle |df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|}$

para algunos κ > 0 que no dependen de y . Para ejemplos de tales proyecciones, véase proyección de mapa de áreas iguales . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Véase también

• Matriz jacobiana y determinante

Referencias

• Pressley, Andrew (2001), Geometría diferencial elemental , Springer Undergraduate Mathematics Series, Londres: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8, Sr.  1800436