Cociente (álgebra universal)

Resultado de particionar los elementos de una estructura algebraica utilizando una relación de congruencia

En matemáticas , un álgebra de cocientes es el resultado de particionar los elementos de una estructura algebraica utilizando una relación de congruencia . Las álgebras de cocientes también se denominan álgebras factoriales . Aquí, la relación de congruencia debe ser una relación de equivalencia que sea además compatible con todas las operaciones del álgebra, en el sentido formal descrito a continuación. Sus clases de equivalencia particionan los elementos de la estructura algebraica dada. El álgebra de cocientes tiene estas clases como sus elementos, y las condiciones de compatibilidad se utilizan para dar a las clases una estructura algebraica. ^[1]

La idea del álgebra cociente abstrae en una noción común la estructura cociente de los anillos cocientes de la teoría de anillos , los grupos cocientes de la teoría de grupos , los espacios cocientes del álgebra lineal y los módulos cocientes de la teoría de la representación en un marco común.

Relación compatible

Sea A el conjunto de los elementos de un álgebra y sea E una relación de equivalencia en el conjunto A. Se dice que la relación E es compatible con (o tiene la propiedad de sustitución con respecto a) una operación n -aria f si para implica para cualquier con . Una relación de equivalencia compatible con todas las operaciones de un álgebra se denomina congruencia con respecto a esta álgebra. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (a_{i},\;b_{i})\in E}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle (f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}))\in E}$ ${\displaystyle a_{i},\;b_{i}\in A}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Álgebras de cocientes y homomorfismos

Cualquier relación de equivalencia E en un conjunto A divide este conjunto en clases de equivalencia . El conjunto de estas clases de equivalencia se denomina habitualmente conjunto cociente y se denota A / E . Para un álgebra , es sencillo definir las operaciones inducidas sobre los elementos de A / E si E es una congruencia. Específicamente, para cualquier operación de aridad en (donde el superíndice simplemente denota que es una operación en , y el subíndice enumera las funciones en y sus aridades) defina como , donde denota la clase de equivalencia de generada por E (" x  módulo  E "). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}:(A/E)^{n_{i}}\to A/E}$ ${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}([a_{1}]_{E},\ldots ,[a_{n_{i}}]_{E})=[f_{i}^{\mathcal {A}}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})]_{E}}$ ${\displaystyle [x]_{E}\in A/E}$ ${\displaystyle x\in A}$

Para un álgebra , dada una congruencia E en , el álgebra se llama álgebra del cociente (o álgebra de factores ) de módulo E . Existe un homomorfismo natural de a que asigna cada elemento a su clase de equivalencia. De hecho, cada homomorfismo h determina una relación de congruencia a través del núcleo del homomorfismo, . ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})_{i\in I})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/E}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\,|\,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}}$

Dada un álgebra , un homomorfismo h define entonces dos álgebras homomorfas a , la imagen h( ) y Las dos son isomorfas , un resultado conocido como el teorema de la imagen homomórfica o como el primer teorema de isomorfismo para el álgebra universal. Formalmente, sea un homomorfismo sobreyectivo . Entonces, existe un único isomorfismo g de sobre tal que g compuesto con el homomorfismo natural inducido por es igual a h . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ ${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h}$

Red de congruencia

Para cada álgebra del conjunto A , la relación de identidad en A y son congruencias triviales. Un álgebra sin otras congruencias se llama simple . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\times A}$

Sea el conjunto de congruencias en el álgebra . Como las congruencias son cerradas bajo intersección, podemos definir una operación de encuentro : simplemente tomando la intersección de las congruencias . ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \wedge :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}}$

Por otra parte, las congruencias no están cerradas bajo unión. Sin embargo, podemos definir el cierre de cualquier relación binaria E , con respecto a un álgebra fija , tal que sea una congruencia, de la siguiente manera: . Nótese que el cierre de una relación binaria es una congruencia y, por lo tanto, depende de las operaciones en , no solo del conjunto portador. Ahora defina como . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\subseteq F\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \vee :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}}$

Para cada álgebra , con las dos operaciones definidas anteriormente se forma una red , llamada red de congruencia de . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Condiciones de Maltsev

Si dos congruencias se permutan (conmutan) con la composición de relaciones como operación, es decir , entonces su unión (en la red de congruencias) es igual a su composición: . Un álgebra se llama congruentemente permutable si cada par de sus congruencias se permuta; asimismo, se dice que una variedad es congruentemente permutable si todos sus miembros son álgebras congruentemente permutables. ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta }$

En 1954, Anatoly Maltsev estableció la siguiente caracterización de las variedades permutables por congruencia: una variedad es permutable por congruencia si y solo si existe un término ternario q ( x , y , z ) tal que q ( x , y , y ) ≈ x ≈ q ( y , y , x ) ; esto se llama término de Maltsev y las variedades con esta propiedad se llaman variedades de Maltsev. La caracterización de Maltsev explica una gran cantidad de resultados similares en grupos (tome q = xy ⁻¹ z ), anillos, cuasigrupos (tome q = (x / (y \ y))(y \ z)) , redes complementadas , álgebras de Heyting , etc. Además, cada álgebra permutable por congruencia es congruentemente modular, es decir, su red de congruencias también es una red modular ; sin embargo, lo inverso no es cierto.

Después del resultado de Maltsev, otros investigadores encontraron caracterizaciones basadas en condiciones similares a las encontradas por Maltsev pero para otros tipos de propiedades. En 1967, Bjarni Jónsson encontró las condiciones para variedades que tienen redes de congruencia que son distributivas ^[2] (por lo tanto llamadas variedades congruencia-distributivas), mientras que en 1969 Alan Day hizo lo mismo para variedades que tienen redes de congruencia que son modulares. ^[3] Genéricamente, tales condiciones se denominan condiciones de Maltsev.

Esta línea de investigación condujo al algoritmo Pixley-Wille para generar condiciones de Maltsev asociadas con identidades de congruencia. ^[4]

Véase también

• Anillo de cociente
• Problema de red de congruencia
• Red de subgrupos

Notas

1. AG Kurosh, Lectures on General Algebra, Traducido de la edición rusa (Moscú, 1960), Chelsea, Nueva York, 1963.
2. Jonnson, Bjarni (1967). "Álgebras cuyas redes de congruencia son distributivas". Mathematica Scandinavica . 21 : 110. doi : 10.7146/math.scand.a-10850 .
3. Day, Alan (1969). "Una caracterización de la modularidad para redes de congruencia de álgebras". Canadian Mathematical Bulletin . 12 (2): 167–173. doi : 10.4153/CMB-1969-016-6 . S2CID  120602601.
4. Keith Kearnes; Emil W. Kiss (2013). La forma de los retículos de congruencia . American Mathematical Soc. p. 4. ISBN 978-0-8218-8323-5.

Referencias

• Klaus Denecke; Shelly L. Wismath (2009). Álgebra universal y coalgebra. World Scientific. Págs. 14-17. ISBN. 978-981-283-745-5.
• Purna Chandra Biswal (2005). Matemática discreta y teoría de grafos. PHI Learning Pvt. Ltd. pág. 215. ISBN 978-81-203-2721-4.
• Clifford Bergman (2011). Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados . CRC Press. pp. 122–124, 137 (variedades de Maltsev). ISBN 978-1-4398-5129-6.