En matemáticas , un hipercubo mágico es la generalización k -dimensional de los cuadrados mágicos y los cubos mágicos , es decir, una matriz n × n × n × ... × n de números enteros tales que las sumas de los números en cada pilar (a lo largo de cualquier eje) así como en las diagonales del espacio principal son todas iguales. La suma común se llama constante mágica del hipercubo, y a veces se denota M k ( n ). Si un hipercubo mágico consta de los números 1, 2, ..., n k , entonces tiene un número mágico
Para k = 4, un hipercubo mágico puede llamarse teseracto mágico , con una secuencia de números mágicos dada por OEIS : A021003 .
La longitud lateral n del hipercubo mágico se denomina orden . JR Hendricks ha construido hipercubos mágicos de orden tres de cuatro, cinco, seis, siete y ocho dimensiones .
Marian Trenkler demostró el siguiente teorema: Un hipercubo mágico p -dimensional de orden n existe si y sólo si p > 1 y n es distinto de 2 o p = 1. De la prueba se desprende una construcción de un hipercubo mágico.
El lenguaje de programación R incluye un módulo, library(magic), que creará hipercubos mágicos de cualquier dimensión con n múltiplo de 4.
Si, además, los números en cada diagonal de la sección transversal también suman el número mágico del hipercubo, el hipercubo se denomina hipercubo mágico perfecto ; en caso contrario, se denomina hipercubo mágico semiperfecto . El número n se denomina orden del hipercubo mágico.
Esta definición de "perfecto" supone que se utiliza una de las definiciones más antiguas de cubos mágicos perfectos. El Sistema de Clasificación Universal para Hipercubos (John R. Hendricks) requiere que para cualquier hipercubo de dimensión, todas las líneas posibles sumen correctamente para que el hipercubo se considere mágico perfecto . Debido a la confusión con el término perfecto , nasik es ahora el término preferido para cualquier hipercubo mágico donde todas las líneas posibles sumen S. Nasik fue definido de esta manera por C. Planck en 1905. Un hipercubo mágico nasik tiene 1/2( 3 n − 1) líneas de m números que pasan por cada una de las m n celdas.
Un hipercubo mágico de Nasik es un hipercubo mágico con la restricción adicional de que todas las líneas posibles a través de cada celda suman correctamente S = m ( m n + 1/2 donde S es la constante mágica, m el orden y n la dimensión del hipercubo.
O, para decirlo de forma más concisa, todos los pan- r -agonales suman correctamente para r = 1... n . Esta definición es la misma que la definición de Hendricks de perfecto , pero diferente de la definición de Boyer/Trump.
El término nasik se aplicaría a todas las dimensiones de los hipercubos mágicos en los que el número de caminos (líneas) que se suman correctamente a través de cualquier celda del hipercubo es P = 3 n − 1/2 .
Un cuadrado mágico pandiagonal sería entonces un cuadrado Nasik porque 4 líneas mágicas pasan por cada una de las m 2 celdas. Esta fue la definición original de Nasik de AH Frost. Un cubo mágico Nasik tendría 13 líneas mágicas pasando por cada una de sus m 3 celdas. (Este cubo también contiene 9 m cuadrados mágicos pandiagonales de orden m ). Un teseracto mágico Nasik tendría 40 líneas pasando por cada una de sus m 4 celdas, y así sucesivamente.
En 1866 y 1878, el reverendo AH Frost acuñó el término Nasik para el tipo de cuadrado mágico que comúnmente llamamos pandiagonal y a menudo llamamos perfecto . Luego demostró el concepto con un cubo de orden 7 que ahora clasificamos como pandiagonal y un cubo de orden 8 que clasificamos como pantriagonal . [1] [2] En otro artículo de 1878, mostró otro cubo mágico pandiagonal y un cubo donde las 13 m líneas suman correctamente [3] es decir, perfecto de Hendricks . [4] Se refirió a todos estos cubos como nasik como un respeto al gran matemático indio DR Kaprekar , oriundo de Deolali en el distrito de Nasik en Maharashtra , India . En 1905, el Dr. Planck amplió la idea de nasik en su Teoría de caminos Nasik. En la introducción a su artículo, escribió;
La analogía sugiere que en las dimensiones superiores deberíamos emplear el término nasik como implicación de la existencia de sumas mágicas paralelas a cualquier diagonal, y no restringirlo a diagonales en secciones paralelas a las caras del plano. El término se utiliza en este sentido más amplio a lo largo del presente artículo.
— C. Planck, MA, MRCS, La teoría de los caminos Nasik, 1905 [5]
En 1917, el Dr. Planck escribió nuevamente sobre este tema.
No es difícil percibir que si llevamos la analogía de Nasik a dimensiones superiores, el número de direcciones mágicas a través de cualquier celda de un k-fold debe ser ½(3 k -1).
— WS Andrews, Cuadrados y cubos mágicos, Dover Publ., 1917, página 366 [6]
En 1939, B. Rosser y RJ Walker publicaron una serie de artículos sobre cuadrados y cubos mágicos diabólicos (perfectos). Mencionaron específicamente que estos cubos contenían líneas de suma correcta de 13 m 2 . También tenían cuadrados mágicos pandiagonales de 3 m paralelos a las caras del cubo y cuadrados mágicos pandiagonales de 6 m paralelos a los planos diagonales espaciales . [7]
Para mantener las cosas bajo control se desarrolló una notación especial:
Nota: La notación de posición también se puede utilizar para el valor de esa posición. Luego, cuando sea apropiado, se le pueden agregar dimensión y orden, formando así: n [ k i ] m
Como se indica, k recorre las dimensiones, mientras que la coordenada i recorre todos los valores posibles; cuando los valores i están fuera del rango, simplemente se vuelven a mover dentro del rango sumando o restando múltiplos apropiados de m , ya que el hipercubo mágico reside en un espacio modular n-dimensional.
Puede haber múltiples k entre paréntesis, estos no pueden tener el mismo valor, aunque en orden indeterminado, lo que explica la igualdad de:
Por supuesto, dado k también se hace referencia a un valor i .
Cuando se menciona un valor de coordenada específico, los otros valores se pueden tomar como 0, lo que es especialmente el caso cuando la cantidad de 'k' está limitada usando pe. # k = 1 como en:
(vecino "axial" de )
(#j=n-1 puede dejarse sin especificar) j ahora recorre todos los valores en [0..k-1,k+1..n-1].
Además: sin restricciones, tanto la "k" como la "i" especificadas pasan por todos los valores posibles; en combinaciones, las mismas letras asumen los mismos valores. Esto permite especificar una línea particular dentro del hipercubo (ver r-agonal en la sección del buscador de rutas)
Nota: hasta donde sé, esta notación aún no se usa de manera general (?), los hipercubos generalmente no se analizan de esta manera particular.
Además: " perm(0..n-1) " especifica una permutación de los n números 0..n-1.
Además de construcciones más específicas, se pueden distinguir dos métodos de construcción más generales:
Esta construcción generaliza el movimiento de los caballos del tablero de ajedrez (vectores ) a movimientos más generales (vectores ). El método comienza en la posición P 0 y se van colocando números adicionales en posiciones posteriores hasta que (después de m pasos) se llega a una posición que ya está ocupada, se necesita otro vector para encontrar la siguiente posición libre. Por lo tanto, el método se especifica mediante la matriz n por n+1:
Esto coloca el número 'k' en la posición:
C. Planck da en su artículo de 1905 "La teoría de Path Nasiks" las condiciones para crear con este método hipercubos "Path Nasik" (o modernos {perfectos}).
(ecuaciones modulares). Este método también se especifica mediante una matriz n por n+1. Sin embargo, esta vez se multiplica el vector n+1 [x 0 ,..,x n-1 ,1], después de esta multiplicación se toma el resultado módulo m para lograr los n hipercubos (latinos):
LP k = ( l=0 Σ n-1 LP k,l x l + LP k,n ) % m
de números de base m (también llamados " dígitos "). En estos LP k , generalmente se aplican " cambios de dígitos " (es decir, manipulación básica) antes de combinarlos en el hipercubo:
n H m = k = 0 Σ n-1 LP k m k
JRHendricks utiliza a menudo ecuaciones modulares; las condiciones para crear hipercubos de diversa calidad se pueden encontrar en http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia en varios lugares (especialmente en la sección p)
Ambos métodos llenan el hipercubo con números, el salto de caballo garantiza (dados los vectores apropiados) que todos los números estén presentes. La prescripción latina solo si los componentes son ortogonales (no hay dos dígitos que ocupen la misma posición)
Entre las diversas formas de composición, la multiplicación [8] puede considerarse como el método más básico. La multiplicación básica viene dada por:
n H m 1 * n H m 2 : n [ k i ] m 1 m 2 = n [ [[ k i \ m 2 ] m 1 m 1 n ] m 2 + [ k i % m 2 ] m 2 ] m 1 m 2
La mayoría de los métodos de composición pueden considerarse variaciones de los anteriores. Como la mayoría de los calificadores son invariantes en la multiplicación, se puede, por ejemplo, colocar cualquier variante aspectual de n H m 2 en la ecuación anterior, además de que en el resultado se puede aplicar una manipulación para mejorar la calidad. De este modo, se puede especificar la duplicación de JR Hendricks / M. Trenklar. Estas cuestiones van más allá del alcance de este artículo.
Un hipercubo conoce n! 2 n variantes aspectiales, que se obtienen por reflexión de coordenadas ([ k i] --> [ k (-i)]) y permutaciones de coordenadas ([ k i] --> [ perm[k] i]) dando efectivamente la variante aspectial:
n H m ~R perm(0..n-1) ; R = k=0 Σ n-1 ((reflect(k)) ? 2 k : 0) ; perm(0..n-1) una permutación de 0..n-1
Donde reflect(k) es verdadero solo si se refleja la coordenada k, solo entonces se agrega 2 k a R. Como es fácil ver, solo se pueden reflejar n coordenadas, lo que explica 2 n , ¡la n! permutación de n coordenadas explica el otro factor de la cantidad total de "Variantes aspectuales".
Las variantes aspectuales se consideran generalmente iguales. Por lo tanto, cualquier hipercubo se puede representar en "posición normal" mediante:
![{\displaystyle \left[{}_{k}i;\ k\en \{0,\cdots ,n-1\};\ i\en \{0,\cdots ,m-1\}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa1904a6c37992f1f09ed32d4939af3a970b8ec)
![{\displaystyle \left[{}_{1}i,{}_{k}j\right]=\left[{}_{k}j,{}_{1}i\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9317c2d345b6b002f30b30b2296ef919a94d38)
![{\displaystyle \left[{}_{k}1;\ \#k=1\right]=\left[{}_{k}1\ \ {}_{j}0\ ;\ \#k=1;\ \#j=n-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88a24f364cb5aafff50bf1db6fc4bd65d23d61d)
![{\displaystyle \left[{}_{k}0\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb70f4bddd331907ba3b8e1201abeda3464e317)
![{\displaystyle [P_{0},V_{0}\dots V_{n-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62716e47f3b08ff1a0a2cd638b163bc72bef8c99)
[ k 0] = min([ k θ ; θ ε {-1,0}]) (por reflexión)[ k 1 ; #k=1] < [ k+1 1 ; #k=1] ; k = 0..n-2 (por permutación de coordenadas)(aquí se indica explícitamente: [ k 0] el mínimo de todos los puntos de esquina. El vecino axial se basa secuencialmente en el número axial)
Además de las manipulaciones más específicas, las siguientes son de naturaleza más general.
Nota: '#', '^', '_' y '=' son parte esencial de la notación y se utilizan como selectores de manipulación.
Se define como el intercambio de componentes, variando así el factor m k en m perm(k) , debido a que hay n hipercubos componentes la permutación es sobre estos n componentes
El intercambio de coordenadas [ k i ] en [ perm(k) i ], debido a que hay n coordenadas, se requiere una permutación en estas n direcciones. El término transposición (usualmente denotado por t ) se utiliza con matrices bidimensionales, aunque tal vez "permutación de coordenadas" sea preferible.
Se define como el cambio de [ k i ] en [ k perm(i) ] a lo largo de la dirección "axial" dada. Se pueden combinar permutaciones iguales a lo largo de varios ejes sumando los factores 2 axis . De esta manera se definen todos los tipos de permutaciones r-agonales para cualquier r. Es fácil ver que todas las posibilidades están dadas por la permutación correspondiente de m números.
Cabe señalar que la reflexión es el caso especial:
~R = _R[n-1,..,0]
Además, cuando todos los ejes experimentan la misma permutación (R = 2 n -1) se logra una permutación n-agonal . En este caso especial, la 'R' generalmente se omite, de modo que:
_[permanente(0..n-1)] = _(2 n -1)[permanente(0..n-1)]
Generalmente se aplica a nivel de componente y se puede ver como dado por [ k i] en perm([ k i] ) dado que un componente se llena con dígitos de base m, una permutación sobre m números es una manera apropiada de denotarlos.
JR Hendricks llamó a las direcciones dentro de un hipercubo " buscadores de caminos ", estas direcciones se denotan de manera más simple en un sistema numérico ternario como:
Pf p donde: p = k=0 Σ n-1 ( k i + 1) 3 k <==> < k i> ; i ε {-1,0,1}Esto da 3 n direcciones. Dado que cada dirección se recorre en ambos sentidos, se puede limitar a la mitad superior [(3 n -1)/2,..,3 n -1)] del rango completo.
Con estos buscadores de rutas se puede especificar cualquier línea que se va a sumar (o que es r-agonal):
[ j 0 k p l q ; #j=1 #k=r-1 ; k > j ] < j 1 k θ l 0 ; θ ε {-1,1} > ; p,q ε [0,..,m-1]que especifica todos los r-agonales (rotos), los rangos p y q podrían omitirse de esta descripción. Los r-agonales principales (no rotos) se dan por lo tanto mediante la ligera modificación de lo anterior:
[ j 0 k 0 l -1 s p ; #j=1 #k+#l=r-1 ; k,l > j ] < j 1 k 1 l -1 s 0 >
Un hipercubo n H m con números en el rango analítico [0..m n -1] tiene la suma mágica:
nSm = m (mn - 1)/2.
Además de las calificaciones más específicas, las siguientes son las más importantes: "sumar" por supuesto significa "sumar correctamente a la suma mágica".
Nota: Esta serie no comienza con 0 ya que no existe un nill-agonal, los números corresponden con el nombre habitual: 1-agonal = monogonal, 2-agonal = diagonal, 3-agonal = triagonal, etc. Aparte de esto, el número corresponde a la cantidad de "-1" y "1" en el buscador de caminos correspondiente.
En caso de que el hipercubo también sume cuando todos los números se elevan a la potencia p, se obtienen hipercubos p-multimágicos. Los calificadores anteriores simplemente se anteponen al calificador p-multimágico. Esto define las calificaciones como {r-agonal 2-mágico}. Aquí también "2-" suele reemplazarse por "bi", "3-" por "tri", etc. ("1-mágico" sería "monomágico" pero "mono" suele omitirse). La suma de los hipercubos p-multimágicos se puede encontrar utilizando la fórmula de Faulhaber y dividiéndola por m n-1 .
También se suele asumir que es "mágico" (es decir, {1-agonal n-agonal}), el cubo {diagonal} de Trump/Boyer se ve técnicamente como {1-agonal 2-agonal 3-agonal}.
El hipercubo mágico de Nasik ofrece argumentos para usar { nasik } como sinónimo de { perfect }. Sin embargo, la extraña generalización del cuadrado 'perfect' para usarlo como sinónimo de { diagonal } en cubos también se resuelve colocando llaves alrededor de los calificadores, por lo que { perfect } significa { pan r-agonal; r = 1..n} (como se mencionó anteriormente).
Algunas calificaciones menores son:
{ n compacto } se puede expresar en notación como: (k) Σ [ j i + k 1] = 2 n n S m / m . { n completo } se puede escribir simplemente como: [ j i] + [ j i + k (m/2) ; #k=n ] = m n - 1 donde:
para {completo} el complemento de [ j i] está en la posición [ j i + k (m/2) ; #k=n ].
para cuadrados: { 2 compacto 2 completo } es la "calificación moderna/alternativa" de lo que Dame Kathleen Ollerenshaw llamó el cuadrado mágico más perfecto , { n compacto n completo} es el calificador para la característica en más de 2 dimensiones.
Precaución: algunas personas parecen equiparar {compact} con { 2 compact} en lugar de { n compact}. Dado que este artículo introductorio no es el lugar para discutir este tipo de cuestiones, puse en el pre-superíndice dimensional n a ambos calificadores (que se definen como se muestra). Las consecuencias de { n compact} son que varias figuras también suman, ya que se pueden formar sumando/restando subhipercubos de orden 2. Cuestiones como estas van más allá del alcance de este artículo.
Un hiperrayo mágico ( rectángulo mágico n-dimensional ) es una variación de un hipercubo mágico en el que los órdenes a lo largo de cada dirección pueden ser diferentes. Como tal, un hiperrayo mágico generaliza el rectángulo mágico bidimensional y el rayo mágico tridimensional , una serie que imita la serie cuadrado mágico , cubo mágico e hipercubo mágico. Este artículo imitará el artículo sobre los hipercubos mágicos en detalle y, al igual que ese artículo, sirve simplemente como una introducción al tema.
Se acostumbra a denotar la dimensión con la letra 'n' y los órdenes de un hiperhaz con la letra 'm' (a la que se añade el número subscrito de la dirección a la que se aplica).
Además: En este artículo se utiliza el rango de números analíticos [0.. k=0 Π n-1 m k -1].
Para mantener las cosas bajo control se desarrolló una notación especial:
Nota: La notación de posición también se puede utilizar para el valor de esa posición. Allí donde sea apropiado, se le pueden agregar dimensiones y órdenes, formando así: n [ k i] m 0 ,..,m n-1
Se podría incluir aquí una descripción de métodos más generales. No suelo crear hiperrayos, por lo que no sé si Knightjump o Latin Prescription funcionan aquí. Otros métodos más ad hoc son suficientes en ocasiones en las que necesito un hiperrayo.
Entre las diversas formas de composición, la multiplicación [9] puede considerarse como el método más básico. La multiplicación básica viene dada por:
(m..) abrevia: m 0 ,..,m n-1 . (m..) 1 (m..) 2 abrevia: m 0 1 m 0 2 ,..,m n-1 1 m n-1 2 .
Un hecho que se puede ver fácilmente ya que las sumas mágicas son:
Cuando cualquiera de los órdenes m k es par, el producto es par y, por lo tanto, la única forma de que S k resulte entero es cuando todos los m k son pares. Por lo tanto, basta: todos los m k son pares o impares.
Esto es con la excepción de m k = 1, por supuesto, lo que permite identidades generales como:
Lo cual va más allá del alcance de este artículo introductorio.
Como cualquier número sólo tiene un complemento, sólo una de las direcciones puede tener m k = 2.
Un hiperhaz conoce 2 n variantes aspectuales, que se obtienen por reflexión de coordenadas ([ k i] → [ k (-i)]) dando efectivamente la variante aspectual:
n B (m 0 ..m n-1 ) ~R ; R = k=0 Σ n-1 ((reflejar(k)) ? 2 k : 0) ;
Donde reflect(k) es verdadero si y solo si se refleja la coordenada k, solo entonces se agrega 2 k a R.
En caso de que se consideren como iguales las distintas orientaciones del haz, se podría considerar que el número de aspectos es n! 2 n, al igual que con los hipercubos mágicos , las direcciones con órdenes iguales aportan factores que dependen de los órdenes del hiperhaz. Esto va más allá del alcance de este artículo.
Además de las manipulaciones más específicas, las siguientes son de naturaleza más general.
Nota: '^' y '_' son parte esencial de la notación y se utilizan como selectores de manipulación.
El intercambio de coordenadas [ k i] en [ perm(k) i], debido a que hay n coordenadas, se requiere una permutación en estas n direcciones. El término transposición (usualmente denotado por t ) se utiliza con matrices bidimensionales, aunque quizás "permutación de coordenadas" podría ser preferible.
Se define como el cambio de [ k i ] en [ k perm(i) ] a lo largo de la dirección "axial" dada. Se pueden combinar permutaciones iguales a lo largo de varios ejes con órdenes iguales sumando los factores 2 axis . De esta manera se definen todos los tipos de permutaciones r-agonales para cualquier r. Es fácil ver que todas las posibilidades están dadas por la permutación correspondiente de m números.
En caso de que no se consideren restricciones sobre los n-agonales, un hiperhaz mágico se puede representar en "posición normal" mediante:
La calificación del hiperhaz está menos desarrollada que en los hipercubos mágicos ; de hecho, solo la dirección monogonal k-ésima debe sumar:
para todos los k = 0..n-1 para que el hiperhaz sea calificado { mágico }
Cuando los órdenes no son relativamente primos la suma n-agonal se puede restringir a:
con todos los órdenes relativamente primos esto alcanza su máximo:
Los siguientes hiperhaces tienen finalidades especiales:
Este hiperhaz puede considerarse como la fuente de todos los números. Un procedimiento llamado "numeración dinámica" hace uso del isomorfismo de cada hiperhaz con esta normal, cambiando la fuente, cambia el hiperhaz. Las multiplicaciones básicas de hiperhaces normales juegan un papel especial con la "numeración dinámica" de hipercubos mágicos de orden k=0 Π n-1 m k .
El hiperhaz que se suele añadir para cambiar el rango de números "analíticos" que se utiliza aquí al rango de números "regulares". Los demás hiperhaces constantes son, por supuesto, múltiplos de este.