Módulo (teoría algebraica de números)

En matemáticas , en el campo de la teoría algebraica de números , un módulo ( módulos en plural ) (o ciclo , ^[1] o ideal extendido ^[2] ) es un producto formal de lugares de un campo global (es decir, un campo numérico algebraico o un campo numérico algebraico) . campo de función ). Se utiliza para codificar datos de ramificación para extensiones abelianas de un campo global.

Definición

Sea K un campo global con anillo de números enteros R. Un módulo es un producto formal ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathbf {m} =\prod _{\mathbf {p} }\mathbf {p} ^{\nu (\mathbf {p} )},\,\,\nu (\mathbf {p} )\geq 0}$

donde p recorre todos los lugares de K , finitos o infinitos , los exponentes ν( p ) son cero excepto para un número finito de p . Si K es un cuerpo numérico, ν( p ) = 0 o 1 para lugares reales y ν( p ) = 0 para lugares complejos. Si K es un campo funcional, ν( p ) = 0 para todos los lugares infinitos.

En el caso del campo funcional, un módulo es lo mismo que un divisor efectivo , ^[5] y en el caso del campo numérico, un módulo puede considerarse como una forma especial del divisor de Arakelov . ^[6]

La noción de congruencia puede extenderse al establecimiento de módulos. Si a y b son elementos de K ^× , la definición de a  ≡ ^∗ b  (mod  p ^ν ) depende de qué tipo de primo p sea: ^{[7] [8]}

• si es finito, entonces

${\displaystyle a\equiv ^{\ast }\!b\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {p} ^{\nu })\Leftrightarrow \mathrm {ord} _{\mathbf {p} }\left({\frac {a}{b}}-1\right)\geq \nu }$

donde ord _p es la valoración normalizada asociada a p ;

• si es un lugar real (de un cuerpo numérico) y ν = 1, entonces

${\displaystyle a\equiv ^{\ast }\!b\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {p} )\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}>0}$

bajo la incrustación real asociada a p .

• si es cualquier otro lugar infinito, no hay condición.

Entonces, dado un módulo m , a  ≡ ^∗ b  (mod  m ) si a  ≡ ^∗ b  (mod  p ^{ν( p )} ) para todo p tal que ν( p ) > 0.

grupo de clase rayo

El módulo del rayo m es ^{[9] [10] [11]}

${\displaystyle K_{\mathbf {m} ,1}=\left\{a\in K^{\times }:a\equiv ^{\ast }\!1\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {m} )\right\}.}$

Un módulo m se puede dividir en dos partes, m _f y m _∞ , el producto de los lugares finito e infinito, respectivamente. Sea m ^uno de los siguientes:

• si K es un cuerpo numérico, el subgrupo del grupo de ideales fraccionarios generado por ideales coprimos de m _f ; ^[12]
• si K es un campo funcional de una curva algebraica sobre k , el grupo de divisores, racional sobre k , con apoyo alejado de m . ^[13]

En ambos casos, hay un homomorfismo de grupo i  : K _{m ,1} → I ^m obtenido enviando a al ideal principal (resp. divisor) ( a ).

El módulo m del grupo de clases de rayos es el cociente C _m = I ^m / i ( K _{m , 1} ). ^{[14] [15]} Una clase lateral de i( K _{m ,1} ) se llama módulo de clase de rayo m .

La definición original de Erich Hecke de los caracteres de Hecke puede interpretarse en términos de caracteres del grupo de clases de rayos con respecto a algún módulo m . ^[dieciséis]

Propiedades

Cuando K es un campo numérico, se cumplen las siguientes propiedades. ^[17]

• Cuando m = 1, el grupo de clases del rayo es simplemente el grupo de clases ideal .
• El grupo de clases de rayos es finito. Su orden es el número de clase del rayo .
• El número de clase del rayo es divisible por el número de clase de K.

Notas

1. Lang 1994, §VI.1
2. Cohn 1985, definición 7.2.1
3. Janusz 1996, §IV.1
4. Serre 1988, §III.1
5. Serre 1988, §III.1
6. Neukirch 1999, §III.1
7. Janusz 1996, §IV.1
8. Serre 1988, §III.1
9. Milne 2008, §V.1
10. Janusz 1996, §IV.1
11. Serre 1988, §VI.6
12. Janusz 1996, §IV.1
13. Serre 1988, §V.1
14. Janusz 1996, §IV.1
15. Serre 1988, §VI.6
16. Neukirch 1999, §VII.6
17. Janusz 1996, §4.1

Referencias

• Cohn, Harvey (1985), Introducción a la construcción de campos de clase , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, vol. 6, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-24762-7
• Janusz, Gerald J. (1996), Campos de números algebraicos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 7, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-0429-2
• Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 110 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, señor  1282723
• Milne, James (2008), Teoría de campos de clases (v4.0 ed.) , consultado el 22 de febrero de 2010
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1988), Grupos algebraicos y campos de clase , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 117, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96648-9