Método de efectos elementales

Método de detección

Publicado en 1991 por Max Morris ^[1], el método de efectos elementales (EE) ^[2] es uno de los métodos de detección más utilizados ^{[3] [4] [5] [6] en} el análisis de sensibilidad .

La EE se aplica para identificar entradas no influyentes para un modelo matemático computacionalmente costoso o para un modelo con una gran cantidad de entradas, donde los costos de estimar otras medidas de análisis de sensibilidad, como las medidas basadas en la varianza, no son asequibles. Como todo cribado, el método de EE proporciona medidas de análisis de sensibilidad cualitativas, es decir, medidas que permiten identificar insumos no influyentes o que permiten clasificar los factores de insumos en orden de importancia, pero no cuantifican exactamente la importancia relativa de los insumos.

Metodología

Para ejemplificar el método EE, supongamos que consideramos un modelo matemático con factores de entrada. Sea la salida de interés (un escalar por simplicidad): ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y=f(X_{1},X_{2},...X_{k}).}$

El método EE original de Morris ^[2] proporciona dos medidas de sensibilidad para cada factor de entrada:

• la medida , que evalúa la importancia general de un factor de entrada en la salida del modelo; ${\displaystyle \mu }$
• la medida , que describe efectos e interacciones no lineales . ${\displaystyle \sigma }$

Estas dos medidas se obtienen a través de un diseño basado en la construcción de una serie de trayectorias en el espacio de las entradas, donde las entradas se mueven aleatoriamente una a la vez (OAT). En este diseño, se supone que cada entrada del modelo varía entre los niveles seleccionados en el espacio de los factores de entrada. La región de experimentación es, por tanto, una cuadrícula de niveles dimensionales . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$

Cada trayectoria se compone de puntos, ya que los factores de entrada se mueven uno por uno de un paso mientras todos los demás permanecen fijos. ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{0,1/(p-1),2/(p-1),...,1\}}$

A lo largo de cada trayectoria, el llamado efecto elemental para cada factor de entrada se define como:

${\displaystyle d_{i}(X)={\frac {Y(X_{1},\ldots ,X_{i-1},X_{i}+\Delta ,X_{i+1},\ldots ,X_{k})-Y(\mathbf {X} )}{\Delta }}}$,

¿Dónde está cualquier valor seleccionado de modo que el punto transformado todavía esté en cada índice? ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},...X_{k})}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k.}$

${\displaystyle r}$Los efectos elementales se estiman para cada entrada mediante puntos de muestreo aleatorios . ${\displaystyle d_{i}\left(X^{(1)}\right),d_{i}\left(X^{(2)}\right),\ldots ,d_{i}\left(X^{(r)}\right)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X^{(1)},X^{(2)},\ldots ,X^{(r)}}$

Generalmente ~ 4-10, dependiendo de la cantidad de factores de entrada, del costo computacional del modelo y de la elección de la cantidad de niveles , ya que una gran cantidad de niveles a explorar debe equilibrarse con una gran cantidad de trayectorias. , con el fin de obtener una muestra exploratoria. Se demuestra que una elección conveniente para los parámetros y es par e igual a , ya que esto garantiza la misma probabilidad de muestreo en el espacio de entrada. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle p/[2(p-1)]}$

En caso de que los factores de entrada no estén distribuidos uniformemente, la mejor práctica es muestrear en el espacio de los cuantiles y obtener los valores de entrada utilizando funciones de distribución acumulativa inversa. Tenga en cuenta que en este caso es igual al paso dado por las entradas en el espacio de los cuantiles. ${\displaystyle \Delta }$

Las dos medidas y se definen como la media y la desviación estándar de la distribución de los efectos elementales de cada entrada: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mu _{i}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}d_{i}\left(X^{(j)}\right)}$,

${\displaystyle \sigma _{i}={\sqrt {{\frac {1}{(r-1)}}\sum _{j=1}^{r}\left(d_{i}\left(X^{(j)}\right)-\mu _{i}\right)^{2}}}}$.

Estas dos medidas deben leerse juntas (por ejemplo, en un gráfico bidimensional) para clasificar los factores de entrada en orden de importancia e identificar aquellos que no influyen en la variabilidad de la producción. Valores bajos de ambos y corresponden a un insumo no influyente. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Campolongo et al. desarrollaron una mejora de este método. ^[7] quienes propusieron una medida revisada , que por sí sola es suficiente para proporcionar una clasificación confiable de los factores de entrada. La medida revisada es la media de la distribución de los valores absolutos de los efectos elementales de los factores de entrada: ${\displaystyle \mu ^{*}}$

${\displaystyle \mu _{i}^{*}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\left|d_{i}\left(X^{(j)}\right)\right|}$.

El uso de resuelve el problema de los efectos de signos opuestos que se producen cuando el modelo no es monótono y que pueden anularse entre sí, dando como resultado un valor bajo para . ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu }$

En el artículo original de Morris se presenta un esquema técnico eficiente para construir las trayectorias utilizadas en el método EE, mientras que Campolongo et al. proponen una estrategia de mejora destinada a explorar mejor el espacio de entrada.

Referencias

1. https://www.stat.iastate.edu/people/max-morris Página de inicio de Max D. Morris en la Universidad Estatal de Iowa
2. Morris, MD (1991). Planes de muestreo factorial para experimentos computacionales preliminares. Tecnometría , 33 , 161-174.
3. Borgonovo, Emanuele y Elmar Plischke. 2016. "Análisis de sensibilidad: una revisión de avances recientes". Revista europea de investigación operativa 248 (3): 869–87. https://doi.org/10.1016/J.EJOR.2015.06.032.
4. Iooss, Bertrand y Paul Lemaître. 2015. "Una revisión sobre los métodos de análisis de sensibilidad global". En Gestión de la incertidumbre en simulación-optimización de sistemas complejos, editado por G. Dellino y C. Meloni, 101–22. Boston, MA: Springer, Boston, MA. https://doi.org/10.1007/978-1-4899-7547-8_5.
5. Norton, JP 2015. "Introducción a la evaluación de la sensibilidad de los modelos de simulación". Software y modelado ambiental 69 (C): 166–74. https://doi.org/10.1016/j.envsoft.2015.03.020.
6. Wei, Pengfei, Zhenzhou Lu y Jingwen Song. 2015. "Análisis de importancia de variables: una revisión completa". Ingeniería de confiabilidad y seguridad de sistemas 142: 399–432. https://doi.org/10.1016/j.ress.2015.05.018.
7. Campolongo, F., J. Cariboni y A. Saltelli (2007). Un diseño de detección eficaz para el análisis de sensibilidad de modelos grandes. Software y modelado ambiental , 22 , 1509-1518.