Ecuación de Lugiato-Lefever

Los modelos numéricos de los láseres y la mayoría de los sistemas ópticos no lineales se derivan de las ecuaciones de Maxwell-Bloch (MBE). Este conjunto completo de ecuaciones diferenciales parciales incluye ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético y ecuaciones semiclásicas de los átomos de dos niveles (o multinivel). Por esta razón, se desarrollaron enfoques teóricos simplificados para la simulación numérica de la formación de rayos láser y su propagación desde los primeros años de la era láser. ^[1] La aproximación de envolvente de variación lenta de MBE se deriva de la ecuación de onda no lineal estándar con polarización no lineal como fuente: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{\text{NL}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\cal {E({\vec {r}},t)}}-{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\cal {E({\vec {r}},t)}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}},}$ dónde : ${\displaystyle {\cal {E}}({\vec {r}},t)\propto E({\vec {r}}_{\perp },z,t)e^{i(nk_{0})(z-ct)}+{\text{c.c.}}}$

resultando en la ecuación de onda "parabólica" estándar:

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial z}}+{\frac {\;\omega _{0}\ }{k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial E}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2k_{0}}}\ i\ \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {1}{\varepsilon _{0}k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}~}$, bajo condiciones:

${\displaystyle \displaystyle \left|\ \nabla ^{2}E\ \right|\ll \left|\ k_{0}\nabla E\ \right|}$  y .  ${\displaystyle \displaystyle \left|\ {\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}\ \right|\ll \left|\ \omega _{0}\,{\frac {\partial E}{\partial t}}\ \right|\ }$

El promedio sobre las coordenadas longitudinales da como resultado la ecuación de Suchkov-Letokhov (SLE) de "campo medio" que describe la evolución no estacionaria del patrón de modo transversal. ^[3] ${\displaystyle z}$

El modelo usualmente designado como ecuación de Lugiato-Lefever (LLE) fue formulado en 1987 por Luigi Lugiato y René Lefever ^[4] como un paradigma para la formación espontánea de patrones en sistemas ópticos no lineales. ^{[5] [6] [7]} Los patrones se originan a partir de la interacción de un campo coherente, que se inyecta en una cavidad óptica resonante, con un medio Kerr que llena la cavidad.

La misma ecuación gobierna dos tipos de patrones: los patrones estacionarios que surgen en los planos ortogonales con respecto a la dirección de propagación de la luz ( patrones transversales ) y los patrones que se forman en la dirección longitudinal ( patrones longitudinales ), viajan a lo largo de la cavidad con la velocidad de la luz en el medio y dan lugar a una secuencia de pulsos en la salida de la cavidad.

El caso de los patrones longitudinales está intrínsecamente ligado al fenómeno de los “ peines de frecuencia de Kerr ” en microresonadores, descubierto en 2007 por Tobias Kippenberg y colaboradores, ^[8] que ha suscitado un interés muy vivo, sobre todo por la vía aplicativa que ha abierto.

La ecuación LLE

La figura 1 muestra un haz de luz que se propaga en la dirección, mientras que y son las direcciones transversales. Si suponemos que el campo eléctrico como , donde denota tiempo, está polarizado linealmente y, por lo tanto, puede tratarse como un escalar, podemos expresarlo en términos de la envolvente compleja normalizada que varía lentamente de esta manera ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\cal {E}}(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E(x,y,z,t)}$

Figura 1. Un haz de luz se propaga a lo largo de la dirección. y son las direcciones transversales. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\cal {E}}(x,y,z,t)\propto E(x,y,z,t)e^{i(\omega _{0}/{\tilde {c}})(z-{\tilde {c}}t)}+{\text{c.c.}}}$

donde es la frecuencia del haz de luz que se inyecta en la cavidad y la velocidad de la luz en el medio de Kerr que llena la cavidad. Para mayor precisión, considere una cavidad en forma de anillo (Fig. 2) de muy alta calidad (cavidad de alto Q). ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {c}}}$

Figura 2. Vista superior de la cavidad del anillo.

En el LLE original, ^[4] se suponen condiciones tales que la envolvente es independiente de la variable longitudinal (es decir, uniforme a lo largo de la cavidad), de modo que . La ecuación se lee ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E=E(x,y,t)}$

${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {y}}^{2}}}}$

donde y , son variables temporales y espaciales normalizadas, es decir , , , , siendo la tasa de decaimiento de la cavidad o el ancho de línea de la cavidad, la longitud de difracción en la cavidad. es el parámetro de desafinación de la cavidad, siendo la frecuencia de la cavidad más cercana a . En el lado derecho de la ecuación ( 1 ), es la amplitud normalizada del campo de entrada que se inyecta en la cavidad, el segundo es el término de decaimiento, el tercero es el término de desafinación, el cuarto es el término no lineal cúbico que tiene en cuenta el medio de Kerr, el último término con el laplaciano transversal describe la difracción en la aproximación paraxial. Se suponen condiciones de autoenfoque. ${\displaystyle {\bar {t}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle {\bar {t}}=\kappa t}$ ${\displaystyle {\bar {x}}=x/\ell _{d}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}=y/\ell _{d}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \ell _{d}}$ ${\displaystyle \theta =(\omega _{c}-\omega _{0})/\kappa }$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle E_{\text{in}}}$ ${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}}$

Nos referimos a la ecuación ( 1 ) como la LLE transversal. Algunos años después, ^[4] se formuló la LLE longitudinal, en la que la difracción se reemplaza por la dispersión. ^{[9] [10]} En este caso se supone que la envolvente es independiente de las variables transversales y , de modo que . La LLE longitudinal se lee ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle E=E(z,t)}$

con , donde depende, en particular, del parámetro de dispersión de segundo orden. Se suponen condiciones de dispersión anómala. Un punto importante es que, una vez que se obtiene resolviendo la ecuación ( 2 ), se debe volver a las variables originales y reemplazar por , de modo que una solución estacionaria dependiente de - (patrón estacionario) se convierte en un patrón de viaje (con velocidad ). ${\displaystyle {\bar {z}}=z/a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E({\bar {z}},{\bar {t}})}$ ${\displaystyle z,t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z-{\tilde {c}}t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\tilde {c}}}$

Desde un punto de vista matemático, la LLE equivale a una ecuación de Schrödinger no lineal , amortiguada y desafinada .

La LLE transversal ( 1 ) está en 2D desde el punto de vista espacial. En una configuración de guía de ondas depende solo de una variable espacial, digamos , y el laplaciano transversal se reemplaza por y se tiene la LLE transversal en 1D. La LLE longitudinal ( 2 ) es equivalente a la LLE transversal en 1D. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}}$

En algunos artículos que tratan el caso longitudinal se considera la dispersión más allá del segundo orden, de modo que la ecuación ( 2 ) incluye también términos con derivadas de orden superior al segundo con respecto a . ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Soluciones estacionarias uniformes. Conexión conbiestabilidad óptica.Mezcla de cuatro ondasyformación de patrones.

Figura 3. Curva estacionaria de la intensidad de salida normalizada en función de la intensidad de entrada normalizada para . Los estados estacionarios en el segmento con pendiente negativa son inestables. Las flechas muestran el ciclo de histéresis que se recorre cuando se aumenta y luego se reduce. ${\displaystyle |E|^{2}}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ ${\displaystyle \theta =4}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$

Centrémonos en el caso en el que la envolvente es constante, es decir, en las soluciones estacionarias que son independientes de todas las variables espaciales. Eliminando todas las derivadas en las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ), y tomando el módulo al cuadrado , se obtiene la ecuación estacionaria ${\displaystyle E}$

Si graficamos la curva estacionaria de en función de , cuando obtenemos una curva como la que se muestra en la Fig.3. ${\displaystyle |E|^{2}}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ ${\displaystyle \theta >{\sqrt {3}}}$

La curva tiene forma de y existe un intervalo de valores de donde se tienen tres estados estacionarios. Sin embargo, los estados que se encuentran en el segmento con pendiente negativa son inestables, de modo que en el intervalo coexisten dos estados estacionarios estables: este fenómeno se denomina biestabilidad óptica . ^[11] Si se aumenta la intensidad de entrada y luego se disminuye, se cubre un ciclo de histéresis. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$ ${\displaystyle |E_{\text{in}}|^{2}}$

Si nos referimos a los modos de la cavidad vacía, en el caso de las soluciones estacionarias uniformes descritas por la Ec.( 3 ) el campo eléctrico es monomodo, correspondiente al modo de frecuencia cuasi-resonante con la frecuencia de entrada . ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

En la configuración transversal de la ecuación ( 1 ), en el caso de estas soluciones estacionarias E corresponde a una onda plana monomodo con , donde y son los componentes transversales del vector de onda, exactamente como el campo de entrada . ${\displaystyle e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}}$ ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$ ${\displaystyle E_{\text{in}}}$

La no linealidad cúbica de Kerr de las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) da lugar a una mezcla de cuatro ondas (FWM), que puede generar otros modos, de modo que la envolvente muestra un patrón espacial: en el plano transversal en el caso de la ecuación ( 1 ), a lo largo de la cavidad en el caso de la ecuación ( 2 ). ${\displaystyle E}$

Patrones transversales ysolitones de cavidad

En el caso transversal de la ecuación ( 1 ), el patrón surge de la interacción de la FWM y la difracción. La FWM puede dar lugar, por ejemplo, a procesos en los que se absorben pares de fotones con y, simultáneamente, el sistema emite pares de fotones con , y , de tal manera que se conservan la energía total de los fotones y su momento total (Fig. 4). ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}={\bar {k}}_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}=-{\bar {k}}_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}=0}$

Figura 4. Un proceso de mezcla de cuatro ondas en el que se absorben dos fotones con y se emiten dos fotones con , y son los componentes de los vectores de onda. ${\displaystyle k_{x}=k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}={\bar {k}}_{x},k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}=-{\bar {k}}_{x},k_{y}=0}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$ ${\displaystyle k_{z}}$

En realidad, entran en juego otros procesos FWM, lo que supone la configuración de un patrón hexagonal ^[12] (véase la figura 5). ${\displaystyle E(x,y)}$

Figura 5. Una configuración de patrón típica que surge en los planos transversales en la salida es un patrón hexagonal.

Un patrón muestra una matriz ordenada de picos de intensidad. También es posible generar picos de intensidad aislados, ^[13] que se denominan solitones de cavidad (véase la figura 6). Dado que los solitones de cavidad se pueden “escribir” y “borrar” uno por uno en el plano transversal como en una pizarra, son de gran interés para aplicaciones de procesamiento de información óptica y telecomunicaciones.

Figura 6. Un solitón típico de la cavidad de Kerr en el plano transversal que muestra un pico brillante en el fondo oscuro con anillos de difracción.

Patrones longitudinales y solitones de cavidad

En el caso longitudinal de la ecuación ( 2 ), los patrones surgen de la interacción entre la FWM y la dispersión. La FWM puede dar lugar, por ejemplo, a procesos en los que se absorben pares de fotones del modo longitudinal cuasirresonante y, simultáneamente, el sistema emite pares de fotones correspondientes a modos de cavidad simétricamente adyacentes al modo cuasirresonante, de tal manera que se conservan la energía total del fotón, así como el momento fotónico longitudinal total. ${\displaystyle \omega _{0}}$

Figura 7. Ejemplo de patrón longitudinal que viaja a lo largo de la cavidad con la velocidad de la luz en el medio y da lugar a una secuencia periódica de pulsos en la salida.

La figura 7 muestra un ejemplo de los patrones que se generan y viajan a lo largo de la cavidad y fuera de ella. Al igual que en el caso transversal, también en la configuración longitudinal se pueden generar solitones de cavidad Kerr individuales o múltiples; la figura 8 ilustra el caso de un solo solitón de cavidad que circula en la cavidad y produce una secuencia de pulsos estrechos en la salida. Tales solitones se han observado por primera vez en una cavidad de fibra. ^[14]

Figura 8. Solitones de la cavidad longitudinal de Kerr.

Es importante destacar que la inestabilidad que origina patrones longitudinales y solitones de cavidad en el LLE es un caso especial de la inestabilidad multimodo de la biestabilidad óptica, predicha por Bonifacio y Lugiato en ^[15] y observada experimentalmente por primera vez en ^{[16] .}

Peines de frecuencia Kerr y solitones de cavidad con microrresonador

Los peines de frecuencia óptica constituyen un conjunto equidistante de frecuencias láser que se pueden emplear para contar los ciclos de luz. Esta técnica, introducida por Theodor Haensch ^[17] y John Hall ^[18] utilizando láseres de modo bloqueado , ha dado lugar a una miríada de aplicaciones. El trabajo ^[8] demostró la realización de peines de frecuencia óptica de banda ancha que explotan los modos de galería susurrante activados por un campo láser CW inyectado en un microresonador de alto Q lleno de un medio Kerr, que da lugar a FWM. Desde entonces, los peines de frecuencia Kerr (KFC), cuyo ancho de banda puede superar una octava con tasas de repetición en las frecuencias de microondas a THz, se han generado en una amplia variedad de microresonadores; para revisiones sobre este tema, consulte, por ejemplo, ^{[19] [20].} Ofrecen un potencial sustancial para la miniaturización y la integración fotónica a escala de chip, así como para la reducción de potencia. Hoy en día, la generación de KFC es un campo maduro y esta tecnología se ha aplicado a varias áreas, incluidas las telecomunicaciones coherentes, la espectroscopia, los relojes atómicos, así como la medición de distancias por láser y la calibración de espectrómetros astrofísicos.

Un impulso clave para estos desarrollos ha sido la realización de solitones de cavidad de Kerr en microresonadores, ^[21] abriendo la posibilidad de utilizar solitones de cavidad de Kerr en microresonadores fotónicos integrados.

El LLE longitudinal ( 2 ) proporciona una imagen espacio-temporal de los fenómenos involucrados, pero desde el punto de vista espectral sus soluciones corresponden a KFC. El vínculo entre el tema de KFC óptico y el LLE fue desarrollado teóricamente en. ^{[21] [22] [23] [24] [25]} Estos autores mostraron que el LLE (o generalizaciones que incluyen términos de dispersión de orden superior) es el modelo que describe la generación de KFC y es capaz de predecir sus propiedades cuando se varían los parámetros del sistema. La formación espontánea de patrones espaciales y solitones que viajan a lo largo de la cavidad descrita por el LLE es el equivalente espacio-temporal de los peines de frecuencia y gobierna sus características. Las condiciones bastante idealizadas asumidas en la formulación del LLE, especialmente la condición de alto Q, se han materializado perfectamente por el espectacular progreso tecnológico que se ha producido mientras tanto en el campo de la fotónica y ha llevado, en particular, al descubrimiento de KFC.

La ecuación de Suchkov-Letokhov

El promedio sobre las coordenadas longitudinales da como resultado la ecuación SLE de "campo medio" donde no existe derivada longitudinal: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\;\omega _{0}\ }{k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial E}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2k_{0}}}\ i\ \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {1}{\varepsilon _{0}k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}~}$.

Un procedimiento riguroso ^[26] demostró que este precursor de LLE es aplicable al modelado de la evolución no estacionaria del patrón de modo transversal en el láser de disco (1966). En condiciones de no linealidad de Kerr estacionaria, SLE se reduce a LLE .

Aspectos cuánticos

Los dos fotones que, como se muestra en la Fig. 4, se emiten en direcciones simétricamente inclinadas en el proceso FWM, están en un estado de entrelazamiento cuántico : están correlacionados de manera precisa, por ejemplo en energía y momento. Este hecho es fundamental para los aspectos cuánticos de los patrones ópticos. Por ejemplo, la diferencia entre las intensidades de los dos haces simétricos se comprime, es decir, exhibe fluctuaciones por debajo del nivel de ruido de disparo; ^[27] el análogo longitudinal de este fenómeno se ha observado experimentalmente en KFC. ^[28] A su vez, tales aspectos cuánticos son básicos para el campo de la formación de imágenes cuánticas . ^{[29] [30]}

Artículos de revisión

Para revisiones sobre el tema de la LLE, véase también. ^{[31] [32] [33]}

Véase también

• Mezcla de cuatro ondas
• Peine de frecuencia
• Peine de frecuencia Kerr
• Ecuación no lineal de Schrödinger
• Biestabilidad óptica
• Formación de patrones
• Láser de disco

Referencias

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