secuencia de apelación

Tipo de secuencia polinomial

En matemáticas , una secuencia de Appell , llamada así en honor a Paul Émile Appell , es cualquier secuencia polinomial que satisface la identidad ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

y en el cual es una constante distinta de cero. ${\displaystyle p_{0}(x)}$

Entre las secuencias de Appell más notables, además del ejemplo trivial, se encuentran los polinomios de Hermite , los polinomios de Bernoulli y los polinomios de Euler . Cada secuencia de Appell es una secuencia de Sheffer , pero la mayoría de las secuencias de Sheffer no son secuencias de Appell. Las secuencias de Appell tienen una interpretación probabilística como sistemas de momentos . ${\displaystyle \{x^{n}\}}$

Caracterizaciones equivalentes de secuencias de Appell.

Se puede considerar fácilmente que las siguientes condiciones en secuencias polinómicas son equivalentes:

• Para , ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

y es una constante distinta de cero; ${\displaystyle p_{0}(x)}$

• Para alguna secuencia de escalares con , ${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle c_{0}\neq 0}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};}$

• Para la misma secuencia de escalares,

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

dónde

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}$

• Para , ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.}$

Fórmula recursiva

Suponer

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

donde se toma la última igualdad para definir el operador lineal en el espacio de polinomios en . Dejar ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}$

ser el operador inverso, siendo los coeficientes los del recíproco habitual de una serie de potencias formal , de modo que ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

En las convenciones del cálculo umbral , a menudo se trata esta serie de potencias formal como si representara la secuencia de Appell . uno puede definir ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}$

utilizando la expansión habitual de series de potencias de y la definición habitual de composición de series de potencias formales. Entonces nosotros tenemos ${\displaystyle \log(x)}$

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

(Esta diferenciación formal de una serie de potencias en el operador diferencial es un ejemplo de diferenciación de Pincherle ). ${\displaystyle D}$

En el caso de los polinomios de Hermite , esto se reduce a la fórmula de recursividad convencional para esa secuencia.

Subgrupo de polinomios de Sheffer

El conjunto de todas las secuencias de Appell está cerrado bajo la operación de composición umbral de secuencias polinómicas, definida de la siguiente manera. Supongamos que y son secuencias polinómicas, dadas por ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ and }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

Entonces la composición umbral es la secuencia polinómica cuyo ésimo término es ${\displaystyle p\circ q}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(el subíndice aparece en , ya que este es el décimo término de esa secuencia, pero no en , ya que se refiere a la secuencia en su conjunto y no a uno de sus términos). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Bajo esta operación, el conjunto de todas las secuencias de Sheffer es un grupo no abeliano , pero el conjunto de todas las secuencias de Appell es un subgrupo abeliano . Que es abeliano se puede ver considerando el hecho de que cada secuencia de Appell es de la forma

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

y esa composición umbral de las secuencias de Appell corresponde a la multiplicación de estas series de potencias formales en el operador . ${\displaystyle D}$

Convención diferente

Otra convención seguida por algunos autores (ver Chihara ) define este concepto de forma diferente, entrando en conflicto con la definición original de Appell, al utilizar la identidad

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}$

en cambio.

Polinomios hipergeométricos de Appell

La enorme clase de polinomios de Appell se puede obtener en términos de la función hipergeométrica generalizada.

Denotemos el conjunto de razones. ${\displaystyle \Delta (k,-n)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}$

Considere el polinomio ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }$

donde está la función hipergeométrica generalizada. ${\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}$

Teorema. La familia de polinomios es la secuencia de Appell para cualquier parámetro natural . ${\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}}$ ${\displaystyle a,b,p,q,m,k}$

Por ejemplo, si entonces los polinomios se convierten en los polinomios de Gould-Hopper y si se convierten en los polinomios de Hermite . ${\displaystyle p=0,q=0,}$ ${\displaystyle k=m,}$ ${\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}}$ ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)}$ ${\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)}$ ${\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2}$ ${\displaystyle H_{n}(x)}$

Ver también

• secuencia sheffer
• Cálculo umbral
• Polinomios de Appell generalizados
• Producto de mecha

Referencias

• Appell, Paul (1880). "Sur una clase de polinomios". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2ª Serie. 9 : 119-144. doi :10.24033/asens.186.
• Romano, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "El cálculo umbral". Avances en Matemáticas . 27 (2): 95–188. doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
• Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrés (1973). "Cálculo de operadores finitos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 42 (3): 685–760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Reimpreso en el libro del mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
• Steven Román. El cálculo umbral . Publicaciones de Dover .
• Theodore Seio Chihara (1978). Introducción a los polinomios ortogonales . Gordon y Breach, Nueva York. ISBN 978-0-677-04150-6.
• Bedratyuk, L.; Luno, N. (2020). "Algunas propiedades de los polinomios de Appell hipergeométricos generalizados". Matemáticas de los Cárpatos. Público . 12 (1): 129-137. arXiv : 2005.01676 . doi :10.15330/cmp.12.1.129-137.

enlaces externos

• "Polinomios de Appell", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Secuencia de apelación en MathWorld