Campos gravitacionales no relativistas

En la relatividad general (RG), la gravedad relativista de Einstein, el campo gravitatorio se describe mediante el tensor métrico de 10 componentes . Sin embargo, en la gravedad newtoniana , que es un límite de la RG, el campo gravitatorio se describe mediante un único componente, el potencial gravitatorio newtoniano . Esto plantea la cuestión de identificar el potencial newtoniano dentro de la métrica y de identificar la interpretación física de los 9 campos restantes.

La definición de los campos gravitatorios no relativistas proporciona la respuesta a esta pregunta y, por lo tanto, describe la imagen del tensor métrico en la física newtoniana. Estos campos no son estrictamente no relativistas, sino que se aplican al límite no relativista (o post-newtoniano) de la RG.

Un lector familiarizado con el electromagnetismo (EM) se beneficiará de la siguiente analogía. En EM, uno está familiarizado con el potencial electrostático y el potencial vectorial magnético . Juntos, se combinan en el potencial de 4 vectores , que es compatible con la relatividad. Se puede pensar que esta relación representa la descomposición no relativista del potencial electromagnético de 4 vectores. De hecho, un sistema de cargas de partículas puntuales que se mueven lentamente con respecto a la velocidad de la luz se puede estudiar en una expansión en , donde es una velocidad típica y es la velocidad de la luz. Esta expansión se conoce como la expansión post-coulómbica. Dentro de esta expansión, contribuye al potencial de dos cuerpos ya en el orden 0, mientras que contribuye solo a partir del primer orden en adelante, ya que se acopla a corrientes eléctricas y, por lo tanto, el potencial asociado es proporcional a . ${\displaystyle \phi ^{\text{EM}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}{}^{\text{EM}}}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{\text{EM}}\leftrightarrow (\phi ^{\text{EM}},{\vec {A}}{}^{\text{EM}})}$ ${\displaystyle v^{2}/c^{2}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \phi ^{\text{EM}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}^{\text{EM}}}$ ${\displaystyle v^{2}/c^{2}}$

Definición

En el límite no relativista, de gravedad débil y velocidades no relativistas, la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana . Yendo más allá del límite estricto, las correcciones se pueden organizar en una teoría de perturbación conocida como la expansión post-newtoniana . Como parte de eso, el campo gravitacional métrico se redefine y se descompone en los campos gravitacionales no relativistas (NRG)  : es el potencial newtoniano , se conoce como el potencial vectorial gravito-magnético, y finalmente es un tensor simétrico 3d conocido como la perturbación métrica espacial. La redefinición del campo está dada por ^{[1] [ más explicación necesaria ]} En componentes, esto es equivalente a donde . ${\displaystyle g_{\mu \nu },\ \mu ,\nu =0,1,2,3}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }\leftrightarrow {\big (}\phi ,{\vec {A}},\sigma _{ij}{\big )}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ $${\displaystyle ds^{2}\equiv g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=e^{2\phi }(dt-2\,{\vec {A}}\cdot d{\vec {x}})^{2}-e^{-2\phi }(\delta _{ij}+\sigma _{ij})\,dx^{i}\,dx^{j}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{00}&=e^{2\phi },\\g_{0i}&=-2\,e^{2\phi }\,A_{i},\\g_{ij}&=-e^{-2\phi }\,(\delta _{ij}+\sigma _{ij})+4\,e^{2\phi }\,A_{i}\,A_{j},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i,j=1,2,3}$

Contando componentes, tiene 10, mientras que tiene 1, tiene 3 y finalmente tiene 6. Por lo tanto, en términos de componentes, la descomposición se lee . ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle 10=1+3+6}$

Motivación para la definición

En el límite post-newtoniano, los cuerpos se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz y, por lo tanto, el campo gravitacional también cambia lentamente. Para aproximar los campos a una independencia temporal, se adaptó la reducción de Kaluza-Klein (KK) para que se aplicara a la dirección temporal. Recordemos que, en su contexto original, la reducción KK se aplica a campos que son independientes de una cuarta dirección espacial compacta. En resumen, la descomposición NRG es una reducción de Kaluza-Klein a lo largo del tiempo.

La definición fue introducida esencialmente en ^[1], interpretada en el contexto de la expansión post-newtoniana en ^[2] y finalmente la normalización de fue cambiada en ^[3] para mejorar la analogía entre un objeto giratorio y un dipolo magnético. ${\displaystyle {\vec {A}}}$

Relación con aproximaciones estándar

Por definición, la expansión post-newtoniana supone una aproximación de campo débil . Dentro de la perturbación de primer orden de la métrica , donde es la métrica de Minkowski , encontramos la descomposición estándar del campo débil en un escalar, un vector y un tensor , que es similar a los campos gravitacionales no relativistas (NRG). La importancia de los campos NRG es que proporcionan una extensión no lineal , lo que facilita el cálculo en órdenes superiores en el campo débil / expansión post-newtoniana. Resumiendo, los campos NRG están adaptados para la expansión post-newtoniana de orden superior. ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }\to \left(h_{00},h_{0i},h_{ij}\right)}$

Interpretación física

El campo escalar se interpreta como el potencial gravitacional newtoniano. ${\displaystyle \phi }$

El campo vectorial se interpreta como el potencial vectorial gravitomagnético. Es similar al campo magnético o análogo al potencial vectorial magnético en el electromagnetismo (EM). En particular, se origina por corrientes masivas (el análogo de las corrientes de carga en EM), es decir, por el momento . ${\displaystyle {\vec {A}}}$

Como resultado, el potencial vectorial gravitomagnético es responsable de la interacción corriente-corriente , que aparece en el primer orden post-newtoniano. En particular, genera una contribución repulsiva a la fuerza entre corrientes masivas paralelas. Sin embargo, esta repulsión se ve anulada por la atracción gravitatoria newtoniana estándar, ya que en la gravedad un "cable" de corriente siempre debe ser masivo (cargado) - a diferencia de EM.

Un objeto giratorio es el análogo de un bucle de corriente electromagnética, que se forma como un dipolo magnético y, como tal, crea un campo dipolar similar al magnético en . ${\displaystyle {\vec {A}}}$

El tensor simétrico se conoce como perturbación métrica espacial. A partir del segundo orden posnewtoniano, debe tenerse en cuenta. Si se limita al primer orden posnewtoniano, se puede ignorar y la gravedad relativista se describe mediante los campos , . Por lo tanto, se convierte en un fuerte análogo del electromagnetismo, una analogía conocida como gravitoelectromagnetismo . ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$

Aplicaciones y generalizaciones

El problema de los dos cuerpos en la relatividad general tiene un interés tanto intrínseco como observacional y astrofísico. En particular, se utiliza para describir el movimiento de objetos binarios compactos , que son las fuentes de las ondas gravitacionales . Como tal, el estudio de este problema es esencial tanto para la detección como para la interpretación de las ondas gravitacionales .

En este problema de dos cuerpos, los efectos de la RG se capturan mediante el potencial efectivo de dos cuerpos, que se expande dentro de la aproximación post-newtoniana. Se descubrió que los campos gravitacionales no relativistas economizan la determinación de este potencial efectivo de dos cuerpos. ^{[4] [5] [6]}

Generalizaciones

En dimensiones superiores , con una dimensión espaciotemporal arbitraria , la definición de campos gravitacionales no relativistas se generaliza en ^[1] ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle ds^{2}=e^{2\phi }(dt-2\,{\vec {A}}\cdot d{\vec {x}})^{2}-e^{-2\phi /(d-3)}(\delta _{ij}+\sigma _{ij})dx^{i}dx^{j}}$$La sustitución reproduce la definición 4d estándar anterior. ${\displaystyle d=4}$

Véase también

• Espacio-tiempo no relativista

Referencias

1. Kol, Barak; Smolkin, Michael (28 de marzo de 2008). "Teoría clásica del campo efectivo y agujeros negros enjaulados". Physical Review D . 77 (6). eq. (2.6): 064033. arXiv : 0712.2822 . Código Bibliográfico :2008PhRvD..77f4033K. doi :10.1103/PhysRevD.77.064033. ISSN  1550-7998. S2CID  16299713.
2. Kol, Barak; Smolkin, Michael (21 de julio de 2008). "Gravitación no relativista: de Newton a Einstein y viceversa". Gravedad clásica y cuántica . 25 (14): 145011. arXiv : 0712.4116 . Código Bibliográfico :2008CQGra..25n5011K. doi :10.1088/0264-9381/25/14/145011. ISSN  0264-9381. S2CID  119216835.
3. Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2013). "Teoría de la radiación y reacción post-newtoniana". Phys. Rev. D . 88 (10). eq. (A.10): 104037. arXiv : 1305.6930 . Código Bibliográfico :2013PhRvD..88j4037B. doi :10.1103/PhysRevD.88.104037. S2CID  119170985.
4. Gilmore, James B.; Ross, Andreas (30 de diciembre de 2008). "Cálculo de la teoría de campo efectiva de la segunda dinámica binaria post-newtoniana". Physical Review D . 78 (12): 124021. arXiv : 0810.1328 . Bibcode :2008PhRvD..78l4021G. doi :10.1103/PhysRevD.78.124021. ISSN  1550-7998. S2CID  119271832.
5. Foffa, S.; Sturani, R. (9 de agosto de 2011). "Cálculo de la teoría de campo efectiva de la dinámica binaria conservativa en el tercer orden post-newtoniano". Physical Review D . 84 (4): 044031. arXiv : 1104.1122 . Bibcode :2011PhRvD..84d4031F. doi :10.1103/PhysRevD.84.044031. ISSN  1550-7998. S2CID  119234031.
6. Blanchet, Luc (2014). "Radiación gravitacional de fuentes post-newtonianas y sistemas binarios compactos en espiral". Living Reviews in Relativity . 17 (1): 2. arXiv : 1310.1528 . Bibcode :2014LRR....17....2B. doi : 10.12942/lrr-2014-2 . ISSN  2367-3613. PMC 5256563 . PMID  28179846.