En geometría , los círculos gemelos son dos círculos especiales asociados a un arbelos . Un arbelos está determinado por tres puntos colineales A , B y C , y es la región triangular curvilínea entre los tres semicírculos que tienen como diámetro AB , BC y AC . Si el arbelos se divide en dos regiones más pequeñas por un segmento de línea que pasa por el punto medio de A , B y C , perpendicular a la línea ABC , entonces cada uno de los dos círculos gemelos se encuentra dentro de una de estas dos regiones, tangente a sus dos semicirculares. lados y al segmento de división.
Estos círculos aparecieron por primera vez en el Libro de los Lemas , que mostraba (Proposición V) que los dos círculos son congruentes . [1] Thābit ibn Qurra , quien tradujo este libro al árabe, lo atribuyó al matemático griego Arquímedes . Basado en esta afirmación, los círculos gemelos, y varios otros círculos en Arbelos congruentes con ellos, también han sido llamados círculos de Arquímedes . Sin embargo, esta atribución ha sido cuestionada por estudios posteriores. [2]
En concreto, sean , , y las tres esquinas de los arbelos, con entre y . Sea el punto donde el semicírculo más grande intercepta la línea perpendicular a la que pasa por el punto . El segmento divide los arbelos en dos partes. Los círculos gemelos son los dos círculos inscritos en estas partes, cada uno de ellos tangente a uno de los dos semicírculos menores, al segmento y al semicírculo mayor. [3]
Cada uno de los dos círculos está determinado únicamente por sus tres tangencias. Construirlo es un caso especial del Problema de Apolonio .
También se han encontrado enfoques alternativos para construir dos círculos congruentes con los círculos gemelos. [4] [5] Estos círculos también han sido llamados círculos de Arquímedes. Incluyen el círculo de Bankoff , los círculos de Schoch y los círculos de Woo .
Sean a y b los diámetros de dos semicírculos interiores, de modo que el semicírculo exterior tenga diámetro a + b . El diámetro de cada círculo gemelo es entonces [3]
Alternativamente, si el semicírculo exterior tiene un diámetro unitario y los círculos interiores tienen diámetros y , el diámetro de cada círculo gemelo es [3]
El círculo más pequeño que encierra ambos círculos gemelos tiene la misma área que los arbelos. [3]
La fuente de la afirmación de que Arquímedes estudió y nombró a los arbelos es el Libro de Lemas , también conocido como Liber assumptorum por el título de la traducción latina del siglo XVII de la traducción árabe del siglo IX del original griego perdido. Aunque esta colección de quince proposiciones está incluida en las ediciones estándar de las obras de Arquímedes, los editores reconocen que el autor del Libro de Lemas no fue Arquímedes sino más bien algún compilador anónimo posterior, que de hecho se refiere a Arquímedes en tercera persona.
