Círculos gemelos

Los círculos gemelos (rojos) de un arbelos (gris)

En geometría , los círculos gemelos son dos círculos especiales asociados a un arbelos . Un arbelos está determinado por tres puntos colineales A , B y C , y es la región triangular curvilínea entre los tres semicírculos que tienen AB , BC y AC como sus diámetros. Si el arbelos se divide en dos regiones más pequeñas por un segmento de línea que pasa por el punto medio de A , B y C , perpendicular a la línea ABC , entonces cada uno de los dos círculos gemelos se encuentra dentro de una de estas dos regiones, tangente a sus dos lados semicirculares y al segmento de división.

Estos círculos aparecieron por primera vez en el Libro de los Lemas , que mostraba (Proposición V) que los dos círculos son congruentes . ^[1] Thābit ibn Qurra , que tradujo este libro al árabe, lo atribuyó al matemático griego Arquímedes . Basándose en esta afirmación, los círculos gemelos, y varios otros círculos en el Arbelos congruentes con ellos, también han sido llamados círculos de Arquímedes . Sin embargo, esta atribución ha sido cuestionada por estudios posteriores. ^[2]

Construcción

Animación de círculos gemelos para varias posiciones del punto B en el segmento AC

En concreto, sean , , y los tres vértices del arbelos, con entre y . Sea el punto en el que el semicírculo mayor intercepta la línea perpendicular a que pasa por el punto . El segmento divide el arbelos en dos partes. Los círculos gemelos son los dos círculos inscritos en estas partes, cada uno tangente a uno de los dos semicírculos menores, al segmento , y al semicírculo mayor. ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle BD}$

Cada uno de los dos círculos está determinado de forma única por sus tres tangencias. Su construcción es un caso especial del Problema de Apolonio .

También se han encontrado enfoques alternativos para construir dos círculos congruentes con los círculos gemelos. ^{[4] [5]} Estos círculos también se han llamado círculos de Arquímedes. Incluyen el círculo de Bankoff , los círculos de Schoch y los círculos de Woo .

Propiedades

Sean a y b los diámetros de dos semicírculos interiores, de modo que el semicírculo exterior tenga diámetro a  +  b . El diámetro de cada círculo gemelo es entonces ^[3]

${\displaystyle d={\frac {ab}{a+b}}.}$

Alternativamente, si el semicírculo exterior tiene un diámetro unitario y los círculos interiores tienen diámetros y , el diámetro de cada círculo gemelo es ^[3] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1-s}$

${\displaystyle d=s(1-s).\,}$

El círculo más pequeño que encierra ambos círculos gemelos tiene la misma área que el arbelos. ^[3]

Véase también

• Línea Schoch

Referencias

1. Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes (Las obras de Arquímedes) . Cambridge University Press (Prensa de la Universidad de Cambridge). Proposición 5 del Libro de los Lemas . Cita: " Sea AB el diámetro de un semicírculo, C cualquier punto de AB y CD perpendicular a él, y descríbanse semicírculos dentro del primer semicírculo y que tengan AC, CB como diámetros. Entonces, si se dibujan dos círculos que toquen a CD en lados diferentes y cada uno toque dos de los semicírculos, los círculos así dibujados serán iguales " .
2. Boas, Harold P. (2006). "Reflexiones sobre el Arbelos". The American Mathematical Monthly . 113 (3): 241. doi :10.1080/00029890.2006.11920301. S2CID  14528513. La fuente de la afirmación de que Arquímedes estudió y nombró al arbelos es el Libro de los Lemas , también conocido como Liber assumptorum por el título de la traducción latina del siglo XVII de la traducción árabe del siglo IX del original griego perdido. Aunque esta colección de quince proposiciones está incluida en ediciones estándar de las obras de Arquímedes, los editores reconocen que el autor del Libro de los Lemas no fue Arquímedes sino más bien un compilador posterior anónimo, que de hecho se refiere a Arquímedes en tercera persona.
3. Weisstein, Eric W. ""Archimedes' Circles." De MathWorld—A Wolfram Web Resource" . Consultado el 10 de abril de 2008 .
4. Floor van Lamoen (2014), Un catálogo de más de cincuenta círculos de Arquímedes. Documento en línea, consultado el 8 de octubre de 2014.
5. Floor van Lamoen (2014), Círculos (A61a) y (A61b): par Dao. Documento en línea, consultado el 8 de octubre de 2014.