Localización de Bousfield

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una localización de Bousfield (izquierda) de una categoría de modelo reemplaza la estructura del modelo con otra estructura del modelo con las mismas cofibraciones pero con equivalencias más débiles.

La localización de Bousfield lleva el nombre de Aldridge Bousfield , quien introdujo por primera vez esta técnica en el contexto de la localización de espacios y espectros topológicos. ^{[1] [2]}

Estructura de categorías modelo de la localización de Bousfield

Dada una clase C de morfismos en una categoría de modelo M, la localización de Bousfield izquierda es una nueva estructura de modelo en la misma categoría que antes. Sus equivalencias, cofibraciones y fibraciones , respectivamente, son

• las C -equivalencias locales
• las cofibraciones originales de M

y (necesariamente, ya que las cofibraciones y las equivalencias débiles determinan las fibraciones)

• los mapas tienen la propiedad de elevación correcta con respecto a las cofibraciones en M que también son C -equivalencias locales.

En esta definición, una equivalencia local en C es un mapa que, en términos generales, no hace ninguna diferencia cuando se asigna a un objeto local en C. Más precisamente, se requiere que haya una equivalencia débil (de conjuntos simpliciales ) para cualquier C -objeto local W. Un objeto W se llama C -local si es fibrante (en M ) y ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {map} (Y,W)\to \operatorname {map} (X,W)}$

${\displaystyle s^{*}\colon \operatorname {map} (B,W)\to \operatorname {map} (A,W)}$

es una equivalencia débil para todos los mapas en C . La notación es, para una categoría de modelo general (no necesariamente enriquecida sobre conjuntos simpliciales), un cierto conjunto simplicial cuyo conjunto de componentes de ruta concuerda con morfismos en la categoría de homotopía de M : ${\displaystyle s\colon A\to B}$ ${\displaystyle \operatorname {map} (-,-)}$

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {map} (X,Y))=\operatorname {Hom} _{Ho(M)}(X,Y).}$

Si M es una categoría de modelo simplicial (como, por ejemplo, conjuntos simpliciales o espacios topológicos), entonces el "mapa" anterior puede considerarse como el espacio de mapeo simplicial derivado de M.

Esta descripción no afirma ninguna afirmación sobre la existencia de esta estructura modelo, que se describe a continuación.

Doblemente, existe una noción de localización de Bousfield derecha , cuya definición se obtiene sustituyendo las cofibraciones por fibraciones (e invirtiendo las direcciones de todas las flechas).

Existencia

Se sabe que la estructura del modelo de localización de Bousfield izquierdo, como se describió anteriormente, existe en varias situaciones, siempre que C sea un conjunto:

• M se deja propiamente dicho (es decir, la expulsión de una equivalencia débil a lo largo de una cofibración es nuevamente una equivalencia débil) y combinatoria
• M queda propia y celular.

La combinatoria y celularidad de una categoría de modelo garantizan, en particular, un fuerte control sobre las cofibraciones de M.

De manera similar, la localización de Bousfield correcta existe si M es correcto y celular o combinatorio y C es un conjunto.

propiedad universal

La localización de una categoría C (ordinaria) con respecto a una clase W de morfismos satisface la siguiente propiedad universal: ${\displaystyle C[W^{-1}]}$

• Hay un funtor que envía todos los morfismos en W a isomorfismos. ${\displaystyle C\to C[W^{-1}]}$
• Cualquier funtor que envíe W a isomorfismos en D se factoriza únicamente sobre el funtor mencionado anteriormente. ${\displaystyle C\to D}$

La localización de Bousfield es la noción análoga apropiada para las categorías de modelos, teniendo en cuenta que los isomorfismos en la teoría de categorías ordinarias son reemplazados por equivalencias débiles. Es decir, la localización de Bousfield (izquierda) es tal que ${\displaystyle L_{C}M}$

• Hay un functor Quillen izquierdo cuyo funtor derivado izquierdo envía todos los morfismos en C a equivalencias débiles. ${\displaystyle M\to L_{C}M}$
• Cualquier funtor Quillen izquierdo cuyo funtor derivado izquierdo envíe C a factores de equivalencias débiles únicamente a través de . ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle M\to L_{C}M}$

Ejemplos

Localización y finalización de un espectro.

La localización y la finalización de un espectro en un número primo p son ejemplos de localización de Bousfield, lo que da como resultado un espectro local. Por ejemplo, localizando el espectro de la esfera S en p , se obtiene una esfera local . ${\displaystyle S_{(p)}}$

Estructura del modelo estable en espectros.

La categoría de homotopía estable es la categoría de homotopía (en el sentido de categorías de modelo) de espectros, dotada de la estructura del modelo estable. La estructura del modelo estable se obtiene como una localización de Bousfield izquierda de la estructura del modelo de nivel (o proyectivo) en espectros, cuyas equivalencias débiles (fibraciones) son aquellos mapas que son equivalencias débiles (fibraciones, respectivamente) en todos los niveles. ^[3]

Estructura del modelo Morita en categorías dg

La estructura del modelo de Morita en la categoría de categorías dg pequeñas es la localización de Bousfield de la estructura del modelo estándar (aquel para el cual las equivalencias débiles son las cuasiequivalencias).

Ver también

• Localización de un espacio topológico.

Referencias

1. Aldridge Bousfield, La localización de espectros con respecto a la homología , Topología vol 18 (1979)
2. Aldridge Bousfield, La localización de espacios con respecto a la homología , Topología vol. 14 (1975)
3. Hovey, Mark (2001). "Espectros y espectros simétricos en categorías de modelos generales". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 165 (1): 63-127. arXiv : matemáticas/0004051 . doi :10.1016/s0022-4049(00)00172-9. SEÑOR  1860878.

• Hirschhorn, Categorías de modelos y sus localizaciones , AMS 2002
• Ausencia de mapas entre los espectros p-local y q-local

enlaces externos

• Localización de Bousfield en nlab.
• J. Lurie, Conferencia 20 sobre Teoría de la homotopía cromática (252x).